量子力学の様々な構成方法 第9部 第2章 §9.2.6 ★★★ Gleason の定理は第9部（射影の束）から第4部（密度行列）への橋で、基準の Born の規則と第8部の状態の線型性をともに導く。共通例題②を確率の割り当てから組み直す
地図の上の位置と、両向きの証明
同値性の地図（第1部第1章 ）で第9部から出る橋の1本は、「射影の束 ──Gleason の定理──▶ 密度行列（第4部）」である。この章で両向きがそろった。
密度行列 → 射影の束の上の状態：μ ( P ^ ) = Tr ( ρ ^ P ^ ) \mu(\hat P)=\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat P) μ ( P ^ ) = Tr ( ρ ^ P ^ ) 第9部第1章 ）。
射影の束の上の状態 → 密度行列：dim H ≥ 3 \dim\mathcal{H}\ge3 dim H ≥ 3 9.2.2 ）、量子ビットを含む有限次元で効果まで広げるなら Busch の定理（定理 9.2.7 ）。
2つの向きの写像は互いに逆で、ρ ^ \hat\rho ρ ^ 9.2.2 節）が対応を1対1にする。こうして、第4部の要請「状態は密度演算子で、確率は Tr ( ρ ^ P ^ a ) \operatorname{Tr}(\hat\rho\hat P_a) Tr ( ρ ^ P ^ a )
ほかの部とのつながりを式で並べると次のとおりである。
どこで そこでの書き方（要請） Gleason の定理のもとで 基準（第1部第2章 Q3） Pr ( a ) = ∣ ⟨ a ∣ ψ ⟩ ∣ 2 \Pr(a)=\lvert \langle a | \psi \rangle \rvert ^2 Pr ( a ) = ∣⟨ a ∣ ψ ⟩ ∣ 2 加法性と非文脈性から ⟨ ψ ∣ P ^ a ∣ ψ ⟩ \langle \psi | \hat P_a | \psi \rangle ⟨ ψ ∣ P ^ a ∣ ψ ⟩ 密度行列（第4部第1章） 状態＝ρ ^ ≥ 0 \hat\rho\ge0 ρ ^ ≥ 0 Tr ρ ^ = 1 \operatorname{Tr}\hat\rho=1 Tr ρ ^ = 1 frame function の2次形式の係数として ρ ^ \hat\rho ρ ^ 代数（第8部第1章） 状態＝正値・規格化された線型 汎関数 ω \omega ω 射影の上の加法性だけから線型性が出る（von Neumann 代数への拡張は下の注） 隠れた変数（第9部第3章） 分散のない状態があるか dim H ≥ 3 \dim\mathcal{H}\ge3 dim H ≥ 3 9.2.3 ）
第8部（第8部第1章 ）は状態を観測量の代数の上の線型汎関数と定義し、線型性を要請に置いた。Gleason の定理は、線型性のうち「射影の上での加法性」だけを要請すれば残りが出ることを言う。一般の von Neumann 代数に対しては、行列環 M 2 ( C ) M_2(\mathbb{C}) M 2 ( C ) 第8部第2章 ）と合わせると、命題の確率から代数の状態を経てヒルベルト空間へ戻る道ができる。
導けたものと、仮定したもの
Gleason の定理で導けたのは確率の形 （Tr ( ρ ^ P ^ ) \operatorname{Tr}(\hat\rho\hat P) Tr ( ρ ^ P ^ ) L ( H ) \mathcal L(\mathcal{H}) L ( H ) 第9部第5章 の操作的な公理で扱う。また、非文脈性（9.2.1 節）は物理の仮定で、隠れた変数の理論はこれを捨てることで Gleason の定理を避けられる（Bell 1966 の指摘）。
授業で習った形との対応
学部の授業では、状態 ∣ ψ ⟩ | \psi \rangle ∣ ψ ⟩ ∣ ⟨ a ∣ ψ ⟩ ∣ 2 \lvert \langle a | \psi \rangle \rvert ^2 ∣⟨ a ∣ ψ ⟩ ∣ 2 ρ ^ = ∑ i p i ∣ ψ i ⟩ ⟨ ψ i ∣ \hat\rho=\sum_ip_i| \psi_i \rangle \langle \psi_i | ρ ^ = ∑ i p i ∣ ψ i ⟩ ⟨ ψ i ∣ ρ ^ = 1 2 ( 1 ^ + r ⋅ σ ) \hat\rho=\frac12(\hat 1+\bm{r}\cdot\bm{\sigma}) ρ ^ = 2 1 ( 1 ^ + r ⋅ σ ) r = ⟨ σ ⟩ \bm{r}=\langle \bm{\sigma} \rangle r = ⟨ σ ⟩ f ( x ) = ⟨ x ∣ ρ ^ ∣ x ⟩ f(x)=\langle x | \hat\rho | x \rangle f ( x ) = ⟨ x ∣ ρ ^ ∣ x ⟩ r \bm{r} r σ x , σ y , σ z \sigma_x,\sigma_y,\sigma_z σ x , σ y , σ z f ( ± ) f(\pm) f ( ± ) r i = 2 f ( e i ) − 1 r_i=2f(\bm{e}_i)-1 r i = 2 f ( e i ) − 1 (9.2.5) の量子ビット版で、3つの基底で測れば状態がすべて決まるという授業の言い方は、Gleason（または Busch）の定理が成り立つことを前提にしている。
共通例題②：Rabi 振動の状態を確率から組み直す
共通例題②の2準位系 H ^ = − ℏ Δ 2 σ z − ℏ Ω 2 σ x \hat H=-\frac{\hbar\Delta}{2}\sigma_z-\frac{\hbar\Omega}{2}\sigma_x H ^ = − 2 ℏΔ σ z − 2 ℏΩ σ x σ z ∣ e ⟩ = + ∣ e ⟩ \sigma_z| e \rangle =+| e \rangle σ z ∣ e ⟩ = + ∣ e ⟩ ∣ g ⟩ = ∣ ↓ ⟩ | g \rangle =| \downarrow \rangle ∣ g ⟩ = ∣ ↓ ⟩ Ω ′ = Ω 2 + Δ 2 \Omega'=\sqrt{\Omega^2+\Delta^2} Ω ′ = Ω 2 + Δ 2 ∣ g ⟩ | g \rangle ∣ g ⟩ U ^ ( t ) = cos Ω ′ t 2 1 ^ + i sin Ω ′ t 2 Δ σ z + Ω σ x Ω ′ \hat U(t)=\cos\frac{\Omega't}{2}\,\hat 1+\mathrm{i}\sin\frac{\Omega't}{2}\,\frac{\Delta\sigma_z+\Omega\sigma_x}{\Omega'} U ^ ( t ) = cos 2 Ω ′ t 1 ^ + i sin 2 Ω ′ t Ω ′ Δ σ z + Ω σ x i ℏ d U ^ / d t = H ^ U ^ \mathrm{i}\hbar\,\mathrm{d}\hat U/\mathrm{d} t=\hat H\hat U i ℏ d U ^ / d t = H ^ U ^ ρ ^ ( t ) = U ^ ( t ) ∣ g ⟩ ⟨ g ∣ U ^ ( t ) † \hat\rho(t)=\hat U(t)| g \rangle \langle g |\hat U(t)^\dagger ρ ^ ( t ) = U ^ ( t ) ∣ g ⟩ ⟨ g ∣ U ^ ( t ) † r = Tr ( ρ ^ σ ) \bm{r}=\operatorname{Tr}(\hat\rho\bm{\sigma}) r = Tr ( ρ ^ σ )
r x = − 2 Δ Ω Ω ′ 2 sin 2 Ω ′ t 2 , r y = − Ω Ω ′ sin Ω ′ t , r z = − 1 + 2 ( Ω Ω ′ ) 2 sin 2 Ω ′ t 2 (9.2.13) r_x=-\frac{2\Delta\Omega}{\Omega'^2}\sin^2\frac{\Omega't}{2},\qquad r_y=-\frac{\Omega}{\Omega'}\sin\Omega't,\qquad r_z=-1+2\Bigl(\frac{\Omega}{\Omega'}\Bigr)^2\sin^2\frac{\Omega't}{2}\tag{9.2.13} r x = − Ω ′2 2ΔΩ sin 2 2 Ω ′ t , r y = − Ω ′ Ω sin Ω ′ t , r z = − 1 + 2 ( Ω ′ Ω ) 2 sin 2 2 Ω ′ t ( 9.2.13 )
で、∣ r ∣ = 1 \lvert \bm{r}\rvert =1 ∣ r ∣ = 1
P e ( t ) = Tr ( ρ ^ ( t ) P ^ z + ) = 1 + r z 2 = ( Ω Ω ′ ) 2 sin 2 Ω ′ t 2 (9.2.14) P_e(t)=\operatorname{Tr}\bigl(\hat\rho(t)\hat P_{z+}\bigr)=\frac{1+r_z}{2}=\Bigl(\frac{\Omega}{\Omega'}\Bigr)^2\sin^2\frac{\Omega't}{2}\tag{9.2.14} P e ( t ) = Tr ( ρ ^ ( t ) P ^ z + ) = 2 1 + r z = ( Ω ′ Ω ) 2 sin 2 2 Ω ′ t ( 9.2.14 )
で、共通例題②の正答と同じ形になる。
逆向きに、実験で3つの命題 P ^ x + , P ^ y + , P ^ z + \hat P_{x+},\hat P_{y+},\hat P_{z+} P ^ x + , P ^ y + , P ^ z + r = ( 2 f x − 1 , 2 f y − 1 , 2 f z − 1 ) \bm{r}=(2f_x-1,\,2f_y-1,\,2f_z-1) r = ( 2 f x − 1 , 2 f y − 1 , 2 f z − 1 ) P ^ n \hat P_{\bm{n}} P ^ n 1 2 ( 1 + r ⋅ n ) \frac12(1+\bm{r}\cdot\bm{n}) 2 1 ( 1 + r ⋅ n )
量子ビットに Gleason の定理そのものを使う別の道もある。原子にはふつう3つ目の準位 ∣ a ⟩ | a \rangle ∣ a ⟩ C 3 \mathbb{C}^3 C 3 C 3 \mathbb{C}^3 C 3 { ∣ e ⟩ , ∣ g ⟩ } \{| e \rangle ,| g \rangle \} { ∣ e ⟩ , ∣ g ⟩} P ^ e g ρ ^ P ^ e g / Tr ( ρ ^ P ^ e g ) \hat P_{eg}\hat\rho\hat P_{eg}/\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat P_{eg}) P ^ e g ρ ^ P ^ e g / Tr ( ρ ^ P ^ e g )
例題 9.2.6 Rabi 振動の途中の状態を3つの確率から組む ★★★
オリジナル 上の2準位系で Δ = Ω \Delta=\Omega Δ = Ω Ω ′ t = π 2 \Omega't=\frac\pi2 Ω ′ t = 2 π
(1) (9.2.13) から r \bm{r} r P ^ x + , P ^ y + , P ^ z + \hat P_{x+},\hat P_{y+},\hat P_{z+} P ^ x + , P ^ y + , P ^ z + f x , f y , f z f_x,f_y,f_z f x , f y , f z (2) 逆に (1) の3つの確率だけから r \bm{r} r (3) 組み直した状態で P e P_e P e (9.2.14) と比べよ。また Ω ′ t = π \Omega't=\pi Ω ′ t = π r \bm{r} r 1 1 1
解答 (1) Ω ′ = 2 Ω \Omega'=\sqrt2\,\Omega Ω ′ = 2 Ω Ω / Ω ′ = 1 / 2 \Omega/\Omega'=1/\sqrt2 Ω/ Ω ′ = 1/ 2 2 Δ Ω / Ω ′ 2 = 1 2\Delta\Omega/\Omega'^2=1 2ΔΩ/ Ω ′2 = 1 sin 2 π 4 = 1 2 \sin^2\frac\pi4=\frac12 sin 2 4 π = 2 1 sin π 2 = 1 \sin\frac\pi2=1 sin 2 π = 1
r = ( − 1 2 , − 1 2 , − 1 2 ) , f x = 1 + r x 2 = 1 4 , f y = 1 2 ( 1 − 1 2 ) ≈ 0.146 , f z = 1 4 . \bm{r}=\Bigl(-\frac12,\ -\frac{1}{\sqrt2},\ -\frac12\Bigr),\qquad f_x=\frac{1+r_x}{2}=\frac14,\quad f_y=\frac12\Bigl(1-\frac{1}{\sqrt2}\Bigr)\approx0.146,\quad f_z=\frac14 . r = ( − 2 1 , − 2 1 , − 2 1 ) , f x = 2 1 + r x = 4 1 , f y = 2 1 ( 1 − 2 1 ) ≈ 0.146 , f z = 4 1 .
(2) r i = 2 f i − 1 r_i=2f_i-1 r i = 2 f i − 1 r \bm{r} r ∣ r ∣ 2 = 1 4 + 1 2 + 1 4 = 1 \lvert \bm{r}\rvert ^2=\frac14+\frac12+\frac14=1 ∣ r ∣ 2 = 4 1 + 2 1 + 4 1 = 1 ρ ^ = 1 2 ( 1 ^ + r ⋅ σ ) \hat\rho=\frac12(\hat 1+\bm{r}\cdot\bm{\sigma}) ρ ^ = 2 1 ( 1 ^ + r ⋅ σ ) Tr ρ ^ 2 = 1 2 ( 1 + ∣ r ∣ 2 ) = 1 \operatorname{Tr}\hat\rho^2=\frac12(1+\lvert \bm{r}\rvert ^2)=1 Tr ρ ^ 2 = 2 1 ( 1 + ∣ r ∣ 2 ) = 1
(3) P e = f z = 1 4 P_e=f_z=\frac14 P e = f z = 4 1 (9.2.14) でも 1 2 sin 2 π 4 = 1 4 \frac12\sin^2\frac\pi4=\frac14 2 1 sin 2 4 π = 4 1 Ω ′ t = π \Omega't=\pi Ω ′ t = π r x = − 1 r_x=-1 r x = − 1 r y = − 1 2 sin π = 0 r_y=-\frac{1}{\sqrt2}\sin\pi=0 r y = − 2 1 sin π = 0 r z = − 1 + 2 ⋅ 1 2 = 0 r_z=-1+2\cdot\frac12=0 r z = − 1 + 2 ⋅ 2 1 = 0 r = ( − 1 , 0 , 0 ) \bm{r}=(-1,0,0) r = ( − 1 , 0 , 0 ) 1 1 1 P ^ − e x = 1 2 ( 1 ^ − σ x ) \hat P_{-\bm{e}_x}=\frac12(\hat 1-\sigma_x) P ^ − e x = 2 1 ( 1 ^ − σ x ) σ x = − 1 \sigma_x=-1 σ x = − 1
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
