出発点の要請：観測量の代数と、その上の状態

量子力学の様々な構成方法　第8部 第1章 §8.1.1　★★★ 第8部の公理。観測量の代数を先に置き、状態を期待値の汎関数として定義する

第1部で基準に置いた構成（第1部第2章）では、まずヒルベルト空間 $\mathcal{H}$ があり、状態はその単位ベクトル $| \psi \rangle$（または密度行列 $\hat\rho$）、観測量は $\mathcal{H}$ の上のエルミート演算子であった。観測量はヒルベルト空間に「後から載る」ものとして扱われる。第8部では順序を逆にする。最初に置くのは観測量の全体が作る代数で、ヒルベルト空間はまだ無い。状態は、観測量を1つ入れるとその期待値を返す写像、つまり代数の上の線形汎関数として定義する。ヒルベルト空間は、代数と状態の組から次の章（第8部第2章）の GNS 構成で作り直される。

この順序にする理由は2つある。1つ目は、実験で触れることができるのは観測量の値と確率だけで、状態ベクトルの位相や表示の選び方は直接には測れないという、Heisenberg が1925年に行列力学を作ったときと同じ動機である（第2部第1章）。2つ目は、自由度が無限にある系（場・熱力学極限の物質）では、同じ交換関係を満たすヒルベルト空間の表現が1つに決まらず、どの $\mathcal{H}$ を使うかを最初に決めてしまうと相転移や自発的対称性の破れが書けなくなることである。2つ目の理由は第8部第3章から第5章で扱い、この章では出発点の要請と、その要請に登場する2つの対象（C*代数と状態）の性質を整える。

章の流れは次のとおりである。第8.1.1節で要請を書き、量子ビットの代数で期待値から確率が出る仕組みを見る。第8.1.2節で C*代数を定義し、ノルムが代数の演算だけで決まることを示す。第8.1.3節では、正準交換関係 $\left[\hat x,\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbar$ が有界な元では満たせないこと（Wielandt の定理）を証明し、指数関数の形（Weyl 形式）に書き換える理由を説明する。第8.1.4節で状態の性質を調べ、行列代数の上の状態はすべて密度行列で書けることを証明する。第8.1.5節で時間発展を代数の自己同型として書き、共通例題②の Rabi 振動を代数の言葉で解く。第8.1.6節が基準・密度行列・古典の統計との橋の節である。

4つの要請

代数的な構成の要請を、第1部の公理と並べて書けるように4つに分けて述べる。形は Segal が1947年に提案したもの¹1I. E. Segal (1947), “Postulates for general quantum mechanics”, Ann. of Math. 48, 930.下の脚注へ閉じるを、のちの教科書で標準になった C*代数の言葉で書き直したものである。

第1部の公理（第1部第2章）と比べると、ヒルベルト空間・状態ベクトル・Born の規則の3つがどこにも出てこない。そのかわり、「状態とは期待値の付け方のことである」という1行が、状態の定義そのものになっている。(A2) の正値性は「2乗の期待値は負にならない」という条件である。$A^*A$ は $A$ が自己共役なら $A^2$ で、その期待値は $A$ の2乗平均にあたるので、負になってはいけない。規格化 $\omega(1)=1$ は「確率の和が1」にあたる。(A3) の「値の分布」が本当に確率分布になることは、第8.1.4節で状態の性質を調べたあとに確かめる。

(A1) に「有界な」と書いた理由は、C*代数の元が有界な演算子に対応することにある。位置 $\hat x$・運動量 $\hat p$・ハミルトニアン $\hat H$ は有界でないので、そのままでは $\mathfrak A$ に入らない。これらは、有界な関数（$\mathrm{e}^{\mathrm{i} a\hat p/\hbar}$、$\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}$、スペクトルの射影など）を通して代数に入れる。この書き換えがなぜ必要かは第8.1.3節で証明する。

量子ビットの代数

最も小さい例で要請の意味を確かめる。1個の量子ビット（スピン $\tfrac12$）の観測量の代数は、$2\times2$ の複素行列の全体 $M_2(\mathbb{C})$ である。積は行列の積、$A^*$ はエルミート共役 $A^\dagger$ で、$1,\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$ の4つが基底になる。任意の元は

$$A=a_0 1+a_x\sigma_x+a_y\sigma_y+a_z\sigma_z\qquad(a_0,a_x,a_y,a_z\in\mathbb{C})\tag{8.1.1}$$

と書け、自己共役な元は4つの係数が実数のものである。状態 $\omega$ は線形なので、基底の4つの値 $\omega(1)=1$ と $r_i\coloneqq\omega(\sigma_i)$（$i=x,y,z$）で決まる。$\sigma_i$ は自己共役なので、正値性から $r_i$ は実数になる（第8.1.4節で示す $\omega(A^*)=\overline{\omega(A)}$ による）。つまり量子ビットの状態は3つの実数の組 $\bm{r}=(r_x,r_y,r_z)$ で決まる。これは基準の言葉の Bloch ベクトルにあたる。どの $\bm{r}$ が許されるか（$\lvert \bm{r}\rvert \le1$）は正値性から決まり、これも第8.1.4節で示す。

測定の確率は (A3) から次のように出る。単位ベクトル $\bm{n}$ の向きのスピン $\sigma_{\bm{n}}\coloneqq\bm{n}\cdot\bm{\sigma}$ は$\sigma_{\bm{n}}^2=1$ を満たすので、固有値は $\pm1$ だけである。$P_\pm\coloneqq\tfrac12(1\pm\sigma_{\bm{n}})$ とおくと$P_\pm^2=P_\pm$、$P_++P_-=1$、$\sigma_{\bm{n}}=P_+-P_-$ であり、$P_\pm$ は $\sigma_{\bm{n}}$ の多項式なので代数の中にある。$\sigma_{\bm{n}}$ の任意の関数は $f(\sigma_{\bm{n}})=f(+1)P_++f(-1)P_-$ と書けるので、

$$\omega\bigl(f(\sigma_{\bm{n}})\bigr)=f(+1)\,\omega(P_+)+f(-1)\,\omega(P_-),\qquad \omega(P_\pm)=\frac{1\pm\bm{n}\cdot\bm{r}}{2}\tag{8.1.2}$$

となる。$f$ を何にしても期待値が $p_\pm=\omega(P_\pm)$ を重みとする平均になっているので、$p_\pm$ を「結果 $\pm1$ が出る確率」と読む。基準の Born の規則 $p_\pm=\langle \psi | P_\pm | \psi \rangle$ は、ここでは要請に入れておらず、期待値の線形性から出てきた。