C*代数：ノルムが代数で決まる代数

量子力学の様々な構成方法　第8部 第1章 §8.1.2　★★ 要請 (A1) の対象を定義する。C*条件のおかげでノルムは代数の演算から一意に決まる

定義と例

代表的な例は3つある。1つ目はヒルベルト空間 $\mathcal{H}$ の上の有界演算子の全体 $B(\mathcal{H})$ で、$A^*$ はエルミート共役、ノルムは作用素ノルム $\lVert A\rVert =\sup_{\lVert \psi\rVert =1}\lVert A\psi\rVert$ である。C条件は$\lVert A\psi\rVert ^2=\langle \psi | A^\dagger A | \psi \rangle \le\lVert A^\dagger A\rVert$ から $\lVert A\rVert ^2\le\lVert A^\dagger A\rVert$、逆向きは $\lVert A^\dagger A\rVert \le\lVert A^\dagger\rVert \lVert A\rVert =\lVert A\rVert ^2$ から出る。$\mathcal{H}=\mathbb{C}^n$ なら $B(\mathcal{H})=M_n(\mathbb{C})$ である。2つ目は $B(\mathcal{H})$ の部分集合で、和・積・$*$ について閉じ、ノルムについても閉じたもの（$B(\mathcal{H})$ の C部分代数）である。3つ目は、コンパクトな空間 $X$ の上の複素数値連続関数の全体 $C(X)$ で、積は各点ごとの積、$f^*=\overline f$、ノルムは最大値 $\lVert f\rVert =\max_{x\in X}\lvert f(x)\rvert$ である。$\lvert \overline ff\rvert =\lvert f\rvert ^2$ なので C*条件は自明に成り立つ。$C(X)$ は可換で、古典力学の観測量（相空間 $X$ の上の関数）の代数にあたる。

この3つで C*代数は尽きている。Gelfand と Naimark は1943年に、次の2つを示した¹1I. Gelfand and M. Neumark (1943), “On the imbedding of normed rings into the ring of operators in Hilbert space”, Mat. Sbornik 12(54), 197.下の脚注へ閉じる。

(1) は「可換な観測量の代数は古典の相空間の関数の代数と同じもの」と読める。(2) は「C*代数から出発しても、結局はどこかのヒルベルト空間の演算子として書ける」ことを言っており、その $\mathcal{H}$ を状態から具体的に作る手続きが次の章の GNS 構成である。この定理の証明はここでは書かず、使うときに結果だけ引く。

C*条件はノルムを代数で決める

C*条件 (8.1.3) は単なる技術的な条件ではない。この条件があると、ノルムは代数の演算（和・積・$*$）だけで決まる。まず元 $A$ のスペクトルを

$$\sigma(A)\coloneqq\{\lambda\in\mathbb{C} : A-\lambda1\ \text{が}\ \mathfrak A\ \text{の中に逆元をもたない}\}\tag{8.1.4}$$

で定義する。これは「逆元があるか」という代数の言葉だけで書かれている。行列なら $\sigma(A)$ は固有値の集合である。スペクトル半径 $r(A)\coloneqq\max_{\lambda\in\sigma(A)}\lvert \lambda\rvert$ は、Banach 代数で一般に$r(A)=\lim_{n\to\infty}\lVert A^n\rVert ^{1/n}$（Gelfand の公式）を満たす。

右辺の $r(B^*B)$ はスペクトルだけで決まり、スペクトルは逆元の有無という代数の性質だけで決まる。したがって、同じ代数に C*条件を満たすノルムを2通り入れることはできない。量子力学の観測量の「大きさ」は、観測量どうしの代数関係から一意に決まっていることになる。$B$ が自己共役でないとき、$\lVert B\rVert$ と $r(B)$ は一般に違う。$N=\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}\bigr)$ では固有値が $0$ だけなので $r(N)=0$ だが、$N^*N=\bigl(\begin{smallmatrix}0&0\\0&1\end{smallmatrix}\bigr)$の固有値は $0,1$ なので $\lVert N\rVert =1$ である。