量子力学の様々な構成方法 第8部 第1章 §8.1.3 ★★ スペクトルが観測量の取りうる値であること、[x,p]=iħ が有界な元では満たせないことを示し、Weyl 形式へ書き換える
スペクトルは取りうる値
要請 (A3) で「値の分布」と書いたものを、C代数の言葉で確かめる。自己共役な元 A A A ∥ A ∥ \lVert A\rVert ∥ A ∥ [ − ∥ A ∥ , ∥ A ∥ ] [-\lVert A\rVert ,\lVert A\rVert ] [ − ∥ A ∥ , ∥ A ∥] 代数の標準的な事実で、ここでは結果を使う）。1 1 1 A A A C ∗ ( A ) C^*(A) C ∗ ( A ) 8.1.3 (1) により C ( X ) C(X) C ( X ) X X X σ ( A ) \sigma(A) σ ( A ) A A A λ ↦ λ \lambda\mapsto\lambda λ ↦ λ f ( A ) f(A) f ( A ) f f f 連続関数計算 と呼ぶ。行列なら、A = ∑ a a P a A=\sum_a aP_a A = ∑ a a P a f ( A ) = ∑ a f ( a ) P a f(A)=\sum_af(a)P_a f ( A ) = ∑ a f ( a ) P a
この対応から次の2つのことが分かる。1つ目は、A A A σ ( A ) \sigma(A) σ ( A ) σ ( A ) \sigma(A) σ ( A ) 0 0 0 f f f f ( A ) = 0 f(A)=0 f ( A ) = 0 ω ( f ( A ) ) = 0 \omega(f(A))=0 ω ( f ( A )) = 0 σ ( A ) \sigma(A) σ ( A ) 正の元 の特徴づけである。C*代数では、「A = B ∗ B A=B^*B A = B ∗ B A A A σ ( A ) ⊂ [ 0 , ∞ ) \sigma(A)\subset[0,\infty) σ ( A ) ⊂ [ 0 , ∞ ) B † B B^\dagger B B † B A ≥ 0 A\ge0 A ≥ 0
有界な元では [ x , p ] = i ℏ [x,p]=\mathrm{i}\hbar [ x , p ] = i ℏ
量子力学の基本の関係 [ x ^ , p ^ ] = i ℏ \left[\hat x,\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbar [ x ^ , p ^ ] = i ℏ Tr ( X P ) − Tr ( P X ) = 0 \operatorname{Tr}(XP)-\operatorname{Tr}(PX)=0 Tr ( X P ) − Tr ( P X ) = 0 i ℏ n \mathrm{i}\hbar n i ℏ n
定理 8.1.5（Wintner–Wielandt の定理 ★★）
C*代数の中に、自己共役な x x x p p p x p − p x = i ℏ 1 xp-px=\mathrm{i}\hbar1 x p − p x = i ℏ1 ℏ > 0 \hbar>0 ℏ > 0
証明 そのような x , p x,p x , p x n p − p x n = i ℏ n x n − 1 x^np-px^n=\mathrm{i}\hbar n\,x^{n-1} x n p − p x n = i ℏ n x n − 1 n ≥ 1 n\ge1 n ≥ 1 n = 1 n=1 n = 1 n n n x n + 1 p − p x n + 1 = x ( x n p − p x n ) + ( x p − p x ) x n = i ℏ n x n + i ℏ x n = i ℏ ( n + 1 ) x n x^{n+1}p-px^{n+1}=x(x^np-px^n)+(xp-px)x^n=\mathrm{i}\hbar n\,x^n+\mathrm{i}\hbar\,x^n=\mathrm{i}\hbar(n+1)x^n x n + 1 p − p x n + 1 = x ( x n p − p x n ) + ( x p − p x ) x n = i ℏ n x n + i ℏ x n = i ℏ ( n + 1 ) x n x x x 8.1.4 の証明と同じ理由で ∥ x n ∥ = ∥ x ∥ n \lVert x^n\rVert =\lVert x\rVert ^n ∥ x n ∥ = ∥ x ∥ n r ( x ) n r(x)^n r ( x ) n
ℏ n ∥ x ∥ n − 1 = ∥ x n p − p x n ∥ ≤ 2 ∥ x n ∥ ∥ p ∥ = 2 ∥ x ∥ n ∥ p ∥ . \hbar n\lVert x\rVert ^{n-1}=\lVert x^np-px^n\rVert \le2\lVert x^n\rVert \lVert p\rVert =2\lVert x\rVert ^n\lVert p\rVert . ℏ n ∥ x ∥ n − 1 = ∥ x n p − p x n ∥ ≤ 2 ∥ x n ∥ ∥ p ∥ = 2 ∥ x ∥ n ∥ p ∥ .
x = 0 x=0 x = 0 i ℏ 1 = 0 \mathrm{i}\hbar1=0 i ℏ1 = 0 ∥ x ∥ > 0 \lVert x\rVert >0 ∥ x ∥ > 0 ∥ x ∥ n − 1 \lVert x\rVert ^{n-1} ∥ x ∥ n − 1 ℏ n ≤ 2 ∥ x ∥ ∥ p ∥ \hbar n\le2\lVert x\rVert \lVert p\rVert ℏ n ≤ 2 ∥ x ∥ ∥ p ∥ n n n n n n
この結果は Wintner（1947）が行列の場合に、Wielandt（1949）が一般のノルム環の場合に示した1 1 A. Wintner (1947), Phys. Rev. 71 , 738；H. Wielandt (1949), “Über die Unbeschränktheit der Operatoren der Quantenmechanik”, Math. Ann. 121 , 21.x x x 近似の数理 第3章 で述べた。
C*代数に正準交換関係を入れるには、有界な指数関数に書き換える。U ( a ) ≔ e i a p ^ / ℏ U(a)\coloneqq\mathrm{e}^{\mathrm{i} a\hat p/\hbar} U ( a ) : = e i a p ^ /ℏ V ( b ) ≔ e i b x ^ / ℏ V(b)\coloneqq\mathrm{e}^{\mathrm{i} b\hat x/\hbar} V ( b ) : = e i b x ^ /ℏ a , b ∈ R a,b\in\mathbb{R} a , b ∈ R 1 1 1 U ( a ) ψ ( x ) = ψ ( x + a ) U(a)\psi(x)=\psi(x+a) U ( a ) ψ ( x ) = ψ ( x + a ) V ( b ) ψ ( x ) = e i b x / ℏ ψ ( x ) V(b)\psi(x)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} bx/\hbar}\psi(x) V ( b ) ψ ( x ) = e i b x /ℏ ψ ( x )
U ( a ) V ( b ) ψ ( x ) = e i b ( x + a ) / ℏ ψ ( x + a ) = e i a b / ℏ V ( b ) U ( a ) ψ ( x ) U(a)V(b)\psi(x)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} b(x+a)/\hbar}\psi(x+a)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} ab/\hbar}\,V(b)U(a)\psi(x) U ( a ) V ( b ) ψ ( x ) = e i b ( x + a ) /ℏ ψ ( x + a ) = e i ab /ℏ V ( b ) U ( a ) ψ ( x )
となり、
U ( a ) V ( b ) = e i a b / ℏ V ( b ) U ( a ) (8.1.5) U(a)V(b)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} ab/\hbar}\,V(b)U(a)\tag{8.1.5} U ( a ) V ( b ) = e i ab /ℏ V ( b ) U ( a ) ( 8.1.5 )
を得る。これを正準交換関係の Weyl 形式 と呼ぶ。(8.1.5) は U ( a ) V ( b ) U ( a ) − 1 V ( b ) − 1 = e i a b / ℏ U(a)V(b)U(a)^{-1}V(b)^{-1}=\mathrm{e}^{\mathrm{i} ab/\hbar} U ( a ) V ( b ) U ( a ) − 1 V ( b ) − 1 = e i ab /ℏ a , b a,b a , b a b ab ab ( i a / ℏ ) ( i b / ℏ ) [ p ^ , x ^ ] = − a b [ p ^ , x ^ ] / ℏ 2 (\mathrm{i} a/\hbar)(\mathrm{i} b/\hbar)\left[\hat p,\,\hat x\right]=-ab\left[\hat p,\,\hat x\right]/\hbar^2 ( i a /ℏ ) ( i b /ℏ ) [ p ^ , x ^ ] = − ab [ p ^ , x ^ ] / ℏ 2 a b ab ab i a b / ℏ \mathrm{i} ab/\hbar i ab /ℏ [ p ^ , x ^ ] = − i ℏ \left[\hat p,\,\hat x\right]=-\mathrm{i}\hbar [ p ^ , x ^ ] = − i ℏ [ x ^ , p ^ ] = i ℏ \left[\hat x,\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbar [ x ^ , p ^ ] = i ℏ (8.1.5) の両辺は有界なので、U ( a ) U(a) U ( a ) V ( b ) V(b) V ( b ) 第2部第6章 ）で、自由度が無限になると表現が無数に分かれることを第8部第3章で示す。
例題 8.1.3 切り詰めた振動子の交換関係 ★★
オリジナル 調和振動子の消滅演算子を、個数状態 ∣ 0 ⟩ , … , ∣ N − 1 ⟩ | 0 \rangle ,\dots,| N-1 \rangle ∣0 ⟩ , … , ∣ N − 1 ⟩ N N N a N = ∑ n = 1 N − 1 n ∣ n − 1 ⟩ ⟨ n ∣ a_N=\sum_{n=1}^{N-1}\sqrt n\,| n-1 \rangle \langle n | a N = ∑ n = 1 N − 1 n ∣ n − 1 ⟩ ⟨ n ∣
(1) [ a N , a N † ] = 1 − N ∣ N − 1 ⟩ ⟨ N − 1 ∣ \left[a_N,\,a_N^\dagger\right]=1-N| N-1 \rangle \langle N-1 | [ a N , a N † ] = 1 − N ∣ N − 1 ⟩ ⟨ N − 1∣ (2) x ^ N = ℏ / ( 2 m ω ) ( a N + a N † ) \hat x_N=\sqrt{\hbar/(2m\omega)}\,(a_N+a_N^\dagger) x ^ N = ℏ/ ( 2 mω ) ( a N + a N † ) p ^ N = i ℏ m ω / 2 ( a N † − a N ) \hat p_N=\mathrm{i}\sqrt{\hbar m\omega/2}\,(a_N^\dagger-a_N) p ^ N = i ℏ mω /2 ( a N † − a N ) [ x ^ N , p ^ N ] \left[\hat x_N,\,\hat p_N\right] [ x ^ N , p ^ N ] (3) ∥ a N ∥ \lVert a_N\rVert ∥ a N ∥ N → ∞ N\to\infty N → ∞ 8.1.5 と結びつけて述べよ。
解答 (1) a N a N † = ∑ n = 1 N − 1 n ∣ n − 1 ⟩ ⟨ n − 1 ∣ = ∑ k = 0 N − 2 ( k + 1 ) ∣ k ⟩ ⟨ k ∣ a_Na_N^\dagger=\sum_{n=1}^{N-1}n| n-1 \rangle \langle n-1 |=\sum_{k=0}^{N-2}(k+1)| k \rangle \langle k | a N a N † = ∑ n = 1 N − 1 n ∣ n − 1 ⟩ ⟨ n − 1∣ = ∑ k = 0 N − 2 ( k + 1 ) ∣ k ⟩ ⟨ k ∣ a N † a N = ∑ n = 1 N − 1 n ∣ n ⟩ ⟨ n ∣ a_N^\dagger a_N=\sum_{n=1}^{N-1}n| n \rangle \langle n | a N † a N = ∑ n = 1 N − 1 n ∣ n ⟩ ⟨ n ∣ k = 0 , … , N − 2 k=0,\dots,N-2 k = 0 , … , N − 2 ( k + 1 ) − k = 1 (k+1)-k=1 ( k + 1 ) − k = 1 k = N − 1 k=N-1 k = N − 1 0 − ( N − 1 ) 0-(N-1) 0 − ( N − 1 )
[ a N , a N † ] = ∑ k = 0 N − 2 ∣ k ⟩ ⟨ k ∣ − ( N − 1 ) ∣ N − 1 ⟩ ⟨ N − 1 ∣ = 1 − N ∣ N − 1 ⟩ ⟨ N − 1 ∣ . \left[a_N,\,a_N^\dagger\right]=\sum_{k=0}^{N-2}| k \rangle \langle k |-(N-1)| N-1 \rangle \langle N-1 |=1-N| N-1 \rangle \langle N-1 |. [ a N , a N † ] = k = 0 ∑ N − 2 ∣ k ⟩ ⟨ k ∣ − ( N − 1 ) ∣ N − 1 ⟩ ⟨ N − 1∣ = 1 − N ∣ N − 1 ⟩ ⟨ N − 1∣.
左辺は交換子なのでトレースが 0 0 0 N − N = 0 N-N=0 N − N = 0
(2) 係数の積は ℏ / ( 2 m ω ) ⋅ ℏ m ω / 2 = ℏ / 2 \sqrt{\hbar/(2m\omega)}\cdot\sqrt{\hbar m\omega/2}=\hbar/2 ℏ/ ( 2 mω ) ⋅ ℏ mω /2 = ℏ/2 [ x ^ N , p ^ N ] = i ℏ 2 ( [ a N , a N † ] − [ a N † , a N ] ) = i ℏ [ a N , a N † ] = i ℏ ( 1 − N ∣ N − 1 ⟩ ⟨ N − 1 ∣ ) \left[\hat x_N,\,\hat p_N\right]=\mathrm{i}\tfrac\hbar2\bigl(\left[a_N,\,a_N^\dagger\right]-\left[a_N^\dagger,\,a_N\right]\bigr)=\mathrm{i}\hbar\left[a_N,\,a_N^\dagger\right]=\mathrm{i}\hbar\bigl(1-N| N-1 \rangle \langle N-1 |\bigr) [ x ^ N , p ^ N ] = i 2 ℏ ( [ a N , a N † ] − [ a N † , a N ] ) = i ℏ [ a N , a N † ] = i ℏ ( 1 − N ∣ N − 1 ⟩ ⟨ N − 1∣ ) − N i ℏ -N\mathrm{i}\hbar − N i ℏ
(3) a N † a N a_N^\dagger a_N a N † a N N − 1 N-1 N − 1 8.1.4 から ∥ a N ∥ = N − 1 \lVert a_N\rVert =\sqrt{N-1} ∥ a N ∥ = N − 1 N → ∞ N\to\infty N → ∞ ∥ a N ∥ \lVert a_N\rVert ∥ a N ∥ [ x ^ , p ^ ] = i ℏ \left[\hat x,\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbar [ x ^ , p ^ ] = i ℏ 8.1.5 の内容である。
1 A. Wintner (1947), Phys. Rev. 71 , 738；H. Wielandt (1949), “Über die Unbeschränktheit der Operatoren der Quantenmechanik”, Math. Ann. 121 , 21.
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
