状態：正値で規格化された線形汎関数

(1)(2) 任意の $\lambda\in\mathbb{C}$ について正値性から $0\le\omega\bigl((A+\lambda B)^*(A+\lambda B)\bigr) =\omega(A^*A)+\lambda\,\omega(A^*B)+\overline\lambda\,\omega(B^*A)+\lvert \lambda\rvert ^2\omega(B^*B)$。右辺が $\lambda=1$ と $\lambda=\mathrm{i}$ で実数であることから、$\omega(A^*B)+\omega(B^*A)$ と $\mathrm{i}\,\omega(A^*B)-\mathrm{i}\,\omega(B^*A)$ がともに実数になり、(1) が出る。$B=1$ とおけば $\omega(A^*)=\overline{\omega(A)}$。次に $\omega(B^*B)>0$ のとき$\lambda=-\omega(B^*A)/\omega(B^*B)$ を代入すると、(1) を使って $0\le\omega(A^*A)-\lvert \omega(B^*A)\rvert ^2/\omega(B^*B)$ となり (2) を得る（$\omega(B^*B)=0$ のときは $\lambda$ を実数倍して大きくとれば $\omega(B^*A)=0$ が出る）。

(3) まず自己共役な $C$ について $\omega(C)\le\lVert C\rVert$ を示す。$\lVert C\rVert 1-C$ は自己共役で、スペクトルは$\lVert C\rVert -\sigma(C)\subset[0,2\lVert C\rVert ]$ なので正の元であり、$\omega(\lVert C\rVert 1-C)\ge0$ から $\omega(C)\le\lVert C\rVert$。これを $C=A^*A$ に使い、(2) で $B=1$ とおくと $\lvert \omega(A)\rvert ^2\le\omega(1)\,\omega(A^*A)\le\lVert A^*A\rVert =\lVert A\rVert ^2$。最後の等号は C*条件 (8.1.3) である。

行列単位 $E_{ij}\coloneqq| i \rangle \langle j |$ を使い、$\hat\rho$ の成分を $\rho_{ij}\coloneqq\omega(E_{ji})$ で定める。$A=\sum_{ij}A_{ij}E_{ij}$ と展開すると $\omega(A)=\sum_{ij}A_{ij}\rho_{ji}=\operatorname{Tr}(\hat\rho A)$ となる。エルミート性：$E_{ji}^*=E_{ij}$ と命題 8.1.6(1) から $\rho_{ji}=\omega(E_{ij})=\overline{\omega(E_{ji})}=\overline{\rho_{ij}}$。正値性：任意のベクトル $v$ と単位ベクトル $e$ について $B=| e \rangle \langle v |$ とおくと $B^*B=| v \rangle \langle v |$ なので、$\langle v | \hat\rho | v \rangle =\operatorname{Tr}(\hat\rho| v \rangle \langle v |)=\omega(B^*B)\ge0$。規格化：$\operatorname{Tr}\hat\rho=\omega(1)=1$。一意性：$\operatorname{Tr}(\hat\rho A)=\operatorname{Tr}(\hat\rho'A)$ がすべての $A=E_{ji}$ で成り立てば成分がすべて一致する。逆向きは、$\operatorname{Tr}(\hat\rho B^*B)=\sum_kp_k\lVert B| k \rangle \rVert ^2\ge0$（$\hat\rho=\sum_kp_k| k \rangle \langle k |$ と固有値分解した）と $\operatorname{Tr}\hat\rho=1$ から出る。