時間発展と部分系：*自己同型と制限

量子力学の様々な構成方法　第8部 第1章 §8.1.5　★★ 要請 (A4) の時間発展を *自己同型で、部分系を部分代数への制限で書く。共通例題②の Rabi 振動を代数の言葉で解く

時間発展は代数の自己同型

C*代数の *自己同型とは、線形で全単射な写像 $\alpha:\mathfrak A\to\mathfrak A$ で、$\alpha(AB)=\alpha(A)\alpha(B)$ と$\alpha(A^*)=\alpha(A)^*$ を満たすものをいう。*自己同型はスペクトルを変えない（$A-\lambda1$ の逆元を $\alpha$ で送れば $\alpha(A)-\lambda1$ の逆元になる）ので、命題 8.1.4 によりノルムも変えない。状態 $\omega$ に対して $\omega\circ\alpha$ も状態になる。

基準の構成で $\mathfrak A=B(\mathcal{H})$、ハミルトニアン $\hat H$ が与えられているとき、

$$\alpha_t(A)\coloneqq\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}A\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}\tag{8.1.7}$$

は *自己同型で、$\alpha_t\circ\alpha_s=\alpha_{t+s}$、$\alpha_0=\mathrm{id}$ を満たす1径数群である。$\alpha_t(A)$ は Heisenberg 描像の演算子 $A_{\mathrm H}(t)$ そのものである。状態 $\omega$ の時刻 $t$ の期待値 $\omega(\alpha_t(A))$ を、状態のほうを動かして $\omega_t\coloneqq\omega\circ\alpha_t$ と読めば Schrödinger 描像になる。$\omega=\langle \psi | \cdot | \psi \rangle$ なら $\omega_t(A)=\langle \psi(t) | A | \psi(t) \rangle$（$| \psi(t) \rangle =\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}| \psi \rangle$）である。2つの描像の違いは、$\omega(\alpha_t(A))$ の括弧の付け方の違いにすぎない。第2部の最終章で描像の変換として示したこと（第2部第6章）は、代数の言葉では恒等式になる。

要請 (A4) は、ハミルトニアンが代数に入っていなくても時間発展を書ける形になっている。無限系では $\hat H$ そのものは発散するが、局所的な観測量に対する $\alpha_t$ は極限として定義できる場合がある。熱平衡を $\alpha_t$ だけで特徴づける KMS 条件は、この形を前提にする（第8部第4章）。

共通例題②：Rabi 振動を自己同型で解く

2準位系のハミルトニアンを、この巻の約束どおり$\hat H=-\tfrac{\hbar\Delta}2\sigma_z-\tfrac{\hbar\Omega}2\sigma_x$ とする（$\sigma_z| e \rangle =+| e \rangle$、$\sigma_z| g \rangle =-| g \rangle$）。$\Omega'\coloneqq\sqrt{\Omega^2+\Delta^2}$、$\bm{n}\coloneqq(\Omega,0,\Delta)/\Omega'$ とおくと $\hat H=-\tfrac{\hbar\Omega'}2\,\bm{n}\cdot\bm{\sigma}$ である。$(\bm{n}\cdot\bm{\sigma})^2=1$ より $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}=\cos\tfrac{\Omega't}2-\mathrm{i}\sin\tfrac{\Omega't}2\,\bm{n}\cdot\bm{\sigma}$ となり、$\alpha_t$ は Pauli 行列を $\bm{n}$ のまわりに回転させる写像になる。具体的には、自己共役な元 $\bm{u}\cdot\bm{\sigma}$ は$\alpha_t(\bm{u}\cdot\bm{\sigma})=\bm{u}(t)\cdot\bm{\sigma}$、

$$\bm{u}(t)=(\bm{n}\cdot\bm{u})\bm{n}+\cos(\Omega't)\bigl(\bm{u}-(\bm{n}\cdot\bm{u})\bm{n}\bigr)+\sin(\Omega't)\,\bm{n}\times\bm{u}\tag{8.1.8}$$

に移る。これは $\bm{u}$ を $\bm{n}$ のまわりに角度 $\Omega't$ だけ回したベクトルで、$\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta\,\bm{n}\cdot\bm{\sigma}/2}(\bm{u}\cdot\bm{\sigma})\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta\,\bm{n}\cdot\bm{\sigma}/2}$ が角度 $\theta$ の回転になることに $\theta=\Omega't$ を入れたものである。

ここでの $\hat H$ は、光の巻（光学と量子エレクトロニクス 第18章）と同じく、原子の遷移角周波数 $\omega_0$ で回る座標に移って回転波近似をしたあとの形である。この章の計算は、与えられた $\hat H$ の上では近似を含まない。

部分系は部分代数への制限

2つの系 A・B を合わせた系の観測量の代数は $\mathfrak A_A\otimes\mathfrak A_B$ で、A だけの観測量は $A\otimes1$ の形の元である。これらは部分代数 $\mathfrak A_A\otimes1$ を作る。合成系の状態 $\omega$ が与えられたとき、A の状態は

$$\omega_A(A)\coloneqq\omega(A\otimes1)\tag{8.1.9}$$

で決まる。これは $\omega$ を部分代数に制限しただけで、新しい操作を定義していない。基準の言葉では部分トレース$\hat\rho_A=\operatorname{Tr}_B\hat\rho$ を使って $\omega_A(A)=\operatorname{Tr}(\hat\rho_AA)$ と書くもので、代数の言葉では部分トレースは「制限」の別名になる。

例として Bell 状態 $| \Phi^+ \rangle =(| 00 \rangle +| 11 \rangle )/\sqrt2$ の $\omega=\langle \Phi^+ | \cdot | \Phi^+ \rangle$ を A に制限すると、$\omega(\sigma_i\otimes1)=0$（$i=x,y,z$）なので $\bm{r}_A=0$、つまり $\omega_A$ は Bloch 球の中心の最大混合状態である。合成系では純粋な状態が、部分代数に制限すると混合状態になる。代数の言葉では、純粋かどうかは「どの代数の上の状態として見るか」によって変わる性質である。

この見方は無限系に進むときの準備になる。スピンが無限個並んだ鎖では、有限個のスピンの代数 $M_2(\mathbb{C})^{\otimes N}$ を $N$ について合併し、ノルムで閉じたもの（準局所代数）を観測量の代数にとる。全部のスピンが上を向いた積状態と、全部が $x$ 方向を向いた積状態は、どの有限の $N$ に制限しても同じ $\mathbb{C}^{2^N}$ の上のベクトル状態である。ところが無限個の極限では、この2つの状態から GNS 構成で作るヒルベルト空間が互いに移り合えなくなる。これを第8部第3章で示す。