この章のまとめ

(1) $V=\frac m2(\omega_+^2x_+^2+\omega_-^2x_-^2)$ なので、基底状態は $\psi_0\propto\mathrm{e}^{-x_+^2/(4\sigma_+^2)-x_-^2/(4\sigma_-^2)}$ で、各座標の浸透速度は $u_\pm=-\omega_\pm x_\pm$（$\nu/\sigma_\pm^2=\omega_\pm$）。回転 $x_\pm=(x_1\pm x_2)/\sqrt2$ は直交変換なので、Brown 運動 $(W_1,W_2)$ を回したもの $(W_+,W_-)$ も同じ拡散係数の独立な Brown 運動で、$\mathrm{d} X_\pm=-\omega_\pm X_\pm\mathrm{d} t+\mathrm{d} W_\pm$ である。粒子 1 のドリフトは $b_1=(b_++b_-)/\sqrt2=-\frac12[\omega_+(x_1+x_2)+\omega_-(x_1-x_2)]$ で、$\partial b_1/\partial x_2=-(\omega_+-\omega_-)/2=\omega/2$。粒子 1 は粒子 2 の現在の位置の方へ $\omega/2$ の割合で引かれる。

(2) $X_1=(X_++X_-)/\sqrt2$、$X_2=(X_+-X_-)/\sqrt2$ で $X_\pm$ は独立なので$\mathrm E[X_1(0)X_2(t)]=\frac12(\sigma_+^2\mathrm{e}^{-\omega_+t}-\sigma_-^2\mathrm{e}^{-\omega_-t})=\frac{\sigma_{\mathrm g}^2}{2}(\mathrm{e}^{-\omega t}-\tfrac12\mathrm{e}^{-2\omega t})$（$\sigma_+^2=\sigma_{\mathrm g}^2$、$\sigma_-^2=\sigma_{\mathrm g}^2/2$）。基準では各モードで (7.6.8) を使い、$\operatorname{Re}\langle 0 | \hat x_{2,\mathrm H}(t)\hat x_1 | 0 \rangle =\frac{\sigma_{\mathrm g}^2}{2}(\cos\omega t-\frac12\cos2\omega t)$。$t=0$ ではどちらも共分散 $\sigma_{\mathrm g}^2/4$ で一致する。$\omega t=\pi$ では Nelson が $\frac12(\mathrm{e}^{-\pi}-\frac12\mathrm{e}^{-2\pi})=0.0211$、基準が $\frac12(-1-\frac12)=-0.75$ で、符号まで違う。

(3) 原点から出た2次元の Brown 運動を $(W_+,W_-)$ に回すと、それぞれが原点から出た独立な1次元の Brown 運動で、重みも $\mathrm{e}^{-\int(m\omega_+^2W_+^2+m\omega_-^2W_-^2)\mathrm{d} s/(2\hbar)}$ と積に分かれる。例題 7.6.1 を各モードに使って $F(\tau)=(\cosh\omega_+\tau\,\cosh\omega_-\tau)^{-1/2}$。$\tau\to\infty$ で $\ln F\approx-(\omega_++\omega_-)\tau/2$ なので$E_0=\hbar(\omega_++\omega_-)/2=3\hbar\omega/2$。2つのモードの零点エネルギーの和である。

(4) 測定のあとの波動関数は $\psi_0(x_1,x_2)\mathrm{e}^{-(x_1-x_0)^2/(4\delta^2)}$ に比例する実のガウス関数なので $\langle \hat p_\pm \rangle =0$ で、各モードの平均は $\langle \hat x_\pm \rangle _t=\langle \hat x_\pm \rangle _0\cos\omega_\pm t$。ガウス分布の条件付き平均は線形で、$x_0$ の分布（分散 $\operatorname{Var}x_1+\delta^2$）について平均すると、例題 7.6.4 と同じ約分が起きて $\mathrm E[x_0\langle \hat x_\pm \rangle _0]=\mathrm E[x_1x_\pm]=\sigma_\pm^2/\sqrt2$ になる（$\delta$ は $\operatorname{Var}x_1$ に足される分と、条件付き平均の係数が小さくなる分とで打ち消し合う。検算のスクリプトで $\delta$ を記号のまま確かめた）。$\langle \hat x_2 \rangle _t=(\langle \hat x_+ \rangle _t-\langle \hat x_- \rangle _t)/\sqrt2$ から

$$\mathrm E[x_0\langle \hat x_2 \rangle _t]=\tfrac12\bigl(\sigma_+^2\cos\omega_+t-\sigma_-^2\cos\omega_-t\bigr),$$

で、(2) の基準の値に一致する。Nelson の過程で同じ値を出すには、時刻 $0$ より後の粒子 2 のドリフトが、測定のあとの波動関数の $b_2=2\nu\partial_{x_2}\ln\psi$ に変わらなければならない。測ったのは粒子 1 だけなので、これは粒子 1 での操作が粒子 2 の過程に瞬時に及ぶことを意味する。ただし粒子 2 の位置の分布（$x_0$ について平均したもの）は測定の有無で変わらず、これは粒子 2 の縮約密度行列が粒子 1 への操作で変わらないこと（第4部第2章）の表れなので、信号は送れない。ばねを切った後でも状態がもつれていれば同じことが起き、Nelson（1986）が指摘した非局所性になる。

(5) 波動関数は $x_-=0$、すなわち $x_1=x_2$ に節を持つ。第2節により、相対座標の過程は $x_->0$ か $x_-<0$ の片方に閉じ込められ、例題 7.6.5 (1) の次元3の Bessel 過程と同じく節に到達しない。したがって $X_1-X_2$ の符号は変わらず、2つの粒子は互いに追い越さない。$X_-$ の相関は例題 7.6.3 の $\sigma_{\mathrm g}$ を $\sigma_-$ に、$\omega$ を $\omega_-$ に替えたもので、$t\to\infty$ で $8\sigma_-^2/\pi=4\sigma_{\mathrm g}^2/\pi=1.27\,\sigma_{\mathrm g}^2$ が残る。基準の対称化した相関は $3\sigma_-^2\cos\omega_-t=\frac32\sigma_{\mathrm g}^2\cos2\omega t$ で振動し、平均は $0$ である。基準では粒子の順序という量は観測量として定義されず、Nelson の過程の「追い越さない」は、測らない道筋の性質として第3節の食い違いと同じ種類のものである。