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同値の意味と、固有値分解による1つ目の道

2026年10月17日10分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第4部 第2章 基準との同値：部分トレース・Schmidt 分解・浄化
目次
  1. 何を示せば同値か
  2. 1つ目の道：固有値分解
  3. 1つ目の道の限界：もつれの相関
  4. 木下の層

AI 生成・木下が未勉強

量子力学の様々な構成方法　第4部 第2章 §4.2.1　★★★ 2つの構成が同値とは、同じ準備と測定に同じ確率を与えること。固有値分解は1つの系の予言を純粋状態の混合で再現するが、ほかの系との相関までは再現しない

第4部第1章（第4部第1章）では、状態ベクトルの公理で書けない場面から出発して、状態を密度演算子 ρ^\hat\rho に取り替えた要請 (D1)〜(D5) を立てた。そこで確かめたのは、ρ^=∣ψ⟩⟨ψ∣\hat\rho=| \psi \rangle \langle \psi | と置けば (D1)〜(D5) が基準の公理 Q1〜Q6（第1部第2章）に戻ること、つまり基準から密度行列へ向かう矢印である。部の型（出発点の要請 → 基本の対象 → 基準との同値 → 共通例題 → 得意な問題 → 限界）のうち、この章は3つ目の「基準との同値」を受け持ち、逆向きの矢印を証明する。

逆向きの主張は「密度演算子の要請で書けることは、状態ベクトルの公理だけでも書ける」というものである。この章では2つの道を比べる。1つ目は固有値分解で、どの ρ^\hat\rho も直交する純粋状態の確率的な混合として書けることを使う。この道は1つの系の予言を再現するが、その系がほかの系ともつれている場合の相関を失う。2つ目は浄化で、どの ρ^\hat\rho も補助の系 R を足した大きな系の純粋状態 ∣Ψ⟩| \Psi \rangle の部分トレースとして書けることを使う。この道を使うと、(D2) の確率・(D3) の時間発展・(D4) の測定・(D5) の部分系のすべてを、∣Ψ⟩| \Psi \rangle に基準の公理を当てた結果として導くことができる。浄化が存在すること、補助の系の取り方によらず予言が同じになることの証明には、Schmidt 分解を使う。

章の流れは次のとおりである。第4.2.1節で同値の意味を確かめ、固有値分解による1つ目の道とその限界を見る。第4.2.2節で Schmidt 分解を証明し、第4.2.3節で浄化の存在と一意性を示す。第4.2.4節で (D1)〜(D5) を基準の公理から導き、両者の同値を定理にまとめる。第4.2.5節では共通例題③（自由粒子の波束の広がり）を、純粋な波束と混合した波束について、密度行列・アンサンブル・浄化の3通りで解いて答えが一致することを確かめる。第4.2.6節が橋の節で、この章の結果を同値性の地図の上に置き、ほかの部（位相空間・代数的量子論・熱平衡）での同じものの書き方を並べる。

何を示せば同値か

第1部第1章（第1部第1章）では、2つの構成が同値であることを「同じ準備と同じ測定に同じ確率（したがって同じ期待値）を与える」ことと定めた。基準の構成では、準備は単位ベクトル ∣ψ⟩| \psi \rangle（Q1）、測定の確率は ⟨ψ∣P^a∣ψ⟩\langle \psi | \hat P_a | \psi \rangle（Q3）、時間発展は U^∣ψ⟩\hat U| \psi \rangle（Q5）、測定後の状態は Lüders の規則（Q4）、合成系はテンソル積（Q6）で書く。密度演算子の構成では、それぞれが (D1)〜(D5) に置き換わる。示すべきことは2つある。

  1. (i) 基準の構成で書ける準備と測定は、密度演算子の構成でも同じ確率を与える。
  2. (ii) 密度演算子の構成で書ける準備と測定は、基準の構成でも同じ確率を与える。

(i) は第4部第1章で示した。純粋状態 ρ^=∣ψ⟩⟨ψ∣\hat\rho=| \psi \rangle \langle \psi | では Tr⁡(ρ^P^a)=⟨ψ∣P^a∣ψ⟩\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat P_a)=\langle \psi | \hat P_a | \psi \rangle で、時間発展・測定後の状態・合成系も1行の計算で一致する。純粋な密度演算子が ρ^2=ρ^\hat\rho^2=\hat\rho、Tr⁡ρ^=1\operatorname{Tr}\hat\rho=1 で特徴づけられ、位相を除いて ∣ψ⟩| \psi \rangle と1対1に対応することは、第1部第1章と第1部第2章で証明済みである。

この章の仕事は (ii) である。(ii) は自明ではない。密度演算子の構成は、基準の構成には無い対象（混合状態）を状態として認めているので、その混合状態の予言を状態ベクトルだけで作り直す手続きを示さなければならない。

1つ目の道：固有値分解

ρ^\hat\rho はエルミートで半正定値なので、正規直交な固有ベクトル ∣k⟩| k \rangle と非負の固有値 λk\lambda_k（∑kλk=1\sum_k\lambda_k=1）を使って

ρ^=∑kλk∣k⟩⟨k∣(4.2.1)\hat\rho=\sum_k\lambda_k| k \rangle \langle k |\tag{4.2.1}

と分解できる。これは「確率 λk\lambda_k で純粋状態 ∣k⟩| k \rangle を準備する」アンサンブルの密度演算子そのものである。このアンサンブルの各成分に基準の公理を当てて平均すると、確率は ∑kλk⟨k∣P^a∣k⟩=Tr⁡(ρ^P^a)\sum_k\lambda_k\langle k | \hat P_a | k \rangle =\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat P_a) で (D2) に一致し、時間発展は各 ∣k⟩| k \rangle を U^∣k⟩\hat U| k \rangle に送るので ∑kλkU^∣k⟩⟨k∣U^†=U^ρ^U^†\sum_k\lambda_k\hat U| k \rangle \langle k |\hat U^\dagger=\hat U\hat\rho\hat U^\dagger で (D3) に一致する。(D4) も、各成分の測定後の状態をその成分の確率と測定値の確率で重みづけて足せば一致する（第4部第1章でアンサンブルの平均として (D4) を選んだ理由がこれである）。したがって、1つの系だけを見ている限り、どの ρ^\hat\rho の予言も「直交する純粋状態を確率 λk\lambda_k で混ぜたもの」として状態ベクトルの公理で再現することができる。

1つ目の道の限界：もつれの相関

この道で再現できないものがある。第4部第1章の場面2、つまり2つの量子ビットが∣Φ+⟩=(∣↑↑⟩+∣↓↓⟩)/2| \Phi^+ \rangle =(| \uparrow\uparrow \rangle +| \downarrow\downarrow \rangle )/\sqrt2 にあって A だけを見る場合である。A の状態は ρ^A=121\hat\rho_{\mathrm A}=\tfrac12\mathbf 1 で、固有値分解の道に従えば「A は確率 12\tfrac12 で ∣↑⟩| \uparrow \rangle、確率 12\tfrac12 で ∣↓⟩| \downarrow \rangle にある」と読める。ところがこの読み方を全体に広げ、B の側も A と同じ向きにそろっていると考えると、全体の状態は

ρ^cl=12(∣↑↑⟩⟨↑↑∣+∣↓↓⟩⟨↓↓∣)(4.2.2)\hat\rho_{\mathrm{cl}}=\tfrac12\big(| \uparrow\uparrow \rangle \langle \uparrow\uparrow |+| \downarrow\downarrow \rangle \langle \downarrow\downarrow |\big)\tag{4.2.2}

になる。ρ^cl\hat\rho_{\mathrm{cl}} と ∣Φ+⟩⟨Φ+∣| \Phi^+ \rangle \langle \Phi^+ | は、A だけ・B だけの統計も、σz⊗σz\sigma_z\otimes\sigma_z の相関も同じだが、σx⊗σx\sigma_x\otimes\sigma_x の相関が違う（次の例題）。A を「本当はどちらかの純粋状態にある」と読む固有値分解の道は、A の側の予言は正しく与えるが、A と B の相関を正しく与えない。もつれた系の一部分としての混合状態を、ほかの系との相関まで含めて状態ベクトルの公理で再現するには、部分系をそれを含む大きな系の純粋状態として書き直す2つ目の道（浄化）が要る。その道具が次の節の Schmidt 分解である。

例題 4.2.1　固有値分解の道で再現できるもの・できないもの ★★

オリジナル

  1. (1) 量子ビットの状態 ρ^=12(1+35σx)\hat\rho=\tfrac12(\mathbf 1+\tfrac35\sigma_x) を固有値分解し、アンサンブルとして読め。このアンサンブルから σz\sigma_z の値 +1+1 の確率を計算し、Tr⁡(ρ^P^z+)\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat P_{z+}) と比べよ。
  2. (2) ∣Φ+⟩| \Phi^+ \rangle と (4.2.2) の ρ^cl\hat\rho_{\mathrm{cl}} について、⟨σz⊗σz⟩\langle \sigma_z\otimes\sigma_z \rangle、⟨σx⊗σx⟩\langle \sigma_x\otimes\sigma_x \rangle、⟨σy⊗σy⟩\langle \sigma_y\otimes\sigma_y \rangle を求めよ。
  3. (3) 両者の A の縮約密度行列が等しいことを確かめ、(2) の結果と合わせて何が言えるかを述べよ。
解答

(1) σx\sigma_x の固有状態は ∣±⟩=(∣↑⟩±∣↓⟩)/2| \pm \rangle =(| \uparrow \rangle \pm| \downarrow \rangle )/\sqrt2（固有値 ±1\pm1）なので、

ρ^=12(1+35)∣+⟩⟨+∣+12(1−35)∣−⟩⟨−∣=45∣+⟩⟨+∣+15∣−⟩⟨−∣.\hat\rho=\tfrac12\big(1+\tfrac35\big)| + \rangle \langle + |+\tfrac12\big(1-\tfrac35\big)| - \rangle \langle - |=\tfrac45| + \rangle \langle + |+\tfrac15| - \rangle \langle - |.

「確率 45\tfrac45 で ∣+⟩| + \rangle、確率 15\tfrac15 で ∣−⟩| - \rangle」のアンサンブルとして読める。∣⟨↑∣±⟩∣2=12\lvert \langle \uparrow | \pm \rangle \rvert ^2=\tfrac12 なので σz=+1\sigma_z=+1 の確率は45⋅12+15⋅12=12\tfrac45\cdot\tfrac12+\tfrac15\cdot\tfrac12=\tfrac12。一方 Tr⁡(ρ^∣↑⟩⟨↑∣)=⟨↑∣ρ^∣↑⟩=12\operatorname{Tr}(\hat\rho| \uparrow \rangle \langle \uparrow |)=\langle \uparrow | \hat\rho | \uparrow \rangle =\tfrac12（σx\sigma_x は対角成分を持たない）で一致する。

(2) ∣Φ+⟩| \Phi^+ \rangle では、σz⊗σz\sigma_z\otimes\sigma_z の固有値は ∣↑↑⟩,∣↓↓⟩| \uparrow\uparrow \rangle ,| \downarrow\downarrow \rangle でともに +1+1 なので 11。σx⊗σx\sigma_x\otimes\sigma_x は ∣↑↑⟩↔∣↓↓⟩| \uparrow\uparrow \rangle \leftrightarrow| \downarrow\downarrow \rangle を入れ替えるので ∣Φ+⟩| \Phi^+ \rangle を変えず、期待値 11。σy⊗σy\sigma_y\otimes\sigma_y は ∣↑↑⟩↦(i)(i)∣↓↓⟩=−∣↓↓⟩| \uparrow\uparrow \rangle \mapsto(\mathrm{i})(\mathrm{i})| \downarrow\downarrow \rangle =-| \downarrow\downarrow \rangle、∣↓↓⟩↦(−i)(−i)∣↑↑⟩=−∣↑↑⟩| \downarrow\downarrow \rangle \mapsto(-\mathrm{i})(-\mathrm{i})| \uparrow\uparrow \rangle =-| \uparrow\uparrow \rangle と送るので期待値 −1-1。ρ^cl\hat\rho_{\mathrm{cl}} では、σz⊗σz\sigma_z\otimes\sigma_z は 11 だが、σx⊗σx\sigma_x\otimes\sigma_x と σy⊗σy\sigma_y\otimes\sigma_y は対角の ∣↑↑⟩,∣↓↓⟩| \uparrow\uparrow \rangle ,| \downarrow\downarrow \rangle を互いに移すので、対角要素が 00 になり期待値は 00。

(3) どちらも ρ^A=121\hat\rho_{\mathrm A}=\tfrac12\mathbf 1（∣Φ+⟩| \Phi^+ \rangle は第4部第1章で計算済み、ρ^cl\hat\rho_{\mathrm{cl}} は 12∣↑⟩⟨↑∣+12∣↓⟩⟨↓∣\tfrac12| \uparrow \rangle \langle \uparrow |+\tfrac12| \downarrow \rangle \langle \downarrow |）。A だけの測定では区別できないが、A と B を両方測ると ⟨σx⊗σx⟩\langle \sigma_x\otimes\sigma_x \rangle が 11 と 00 で違う。A の混合状態を固有値分解のアンサンブルとして読み、それを全体に広げた (4.2.2) は、A の予言は正しいが AB の相関を再現しない。

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