この章のまとめ

(1) $\hat\rho_{\mathrm M}=\tfrac14| e \rangle \langle e |+\tfrac34| g \rangle \langle g |=\mathrm{diag}(\tfrac14,\tfrac34)$。$\hat\rho_{\mathrm P}=| \chi \rangle \langle \chi |=\begin{pmatrix}\tfrac14&\tfrac{\sqrt3}{4}\\[2pt]\tfrac{\sqrt3}{4}&\tfrac34\end{pmatrix}$。Bloch ベクトルは (4.1.8) の $r_j=\operatorname{Tr}(\hat\rho\sigma_j)$ から

$$\bm{r}_{\mathrm M}=\big(0,0,-\tfrac12\big),\qquad \bm{r}_{\mathrm P}=\big(\tfrac{\sqrt3}{2},0,-\tfrac12\big)\quad(r_x=2\operatorname{Re}\rho_{eg}=\tfrac{\sqrt3}{2}).$$

(4.1.9) から純粋度は M が $\tfrac12(1+\tfrac14)=\tfrac58$、P が $1$。$\sigma_z$ の統計は $P_e=\tfrac12(1+r_z)=\tfrac14$ で両者同じなので、$\sigma_z$ の測定だけでは区別できない。

(2) $\bm{h}=(-\Omega,0,0)$ なので Bloch ベクトルは $x$ 軸のまわりに回り、$r_x$ は変わらない。$(r_y,r_z)$ は$\dot r_y=\Omega r_z$、$\dot r_z=-\Omega r_y$（$\bm{h}\times\bm{r}=(0,\Omega r_z,-\Omega r_y)$）に従い、$r_y(0)=0$、$r_z(0)=-\tfrac12$ から$r_z(t)=-\tfrac12\cos\Omega t$。これは M と P で同じなので、

$$P_e(t)=\frac12\Big(1-\frac12\cos\Omega t\Big)\qquad(\text{M・P とも}).$$

2つの準備の違いは $r_x$ だけにあり、$x$ 軸まわりの回転は $r_x$ を $r_y$・$r_z$ に混ぜないので、この駆動の後の $\sigma_z$ の測定では区別できない。Heisenberg 描像で言えば、$\sigma_x$ は $\hat H$ と交換するので $\sigma_{x,\mathrm H}(t)=\sigma_x$ で、$\sigma_z$ の Heisenberg 演算子は $\sigma_y,\sigma_z$ の組み合わせにしかならない。区別には $\sigma_x$ そのものを測ればよい（$\langle \sigma_x \rangle$ が M で $0$、P で $\tfrac{\sqrt3}{2}$）。

(3) $| \Phi \rangle \langle \Phi |$ の光の部分をトレースすると、交差項は $| 0 \rangle \langle 1 |$・$| 1 \rangle \langle 0 |$ を含むので消え、$\operatorname{Tr}_{\mathrm{光}}| \Phi \rangle \langle \Phi |=\tfrac14| e \rangle \langle e |+\tfrac34| g \rangle \langle g |=\hat\rho_{\mathrm M}$。命題 4.1.6 により原子の物理量の統計は縮約密度行列だけで決まるので、原子だけの測定では準備 M と区別できない。準備 M は「情報が足りない」混合、(3) は「全体は純粋だが一部分を見ている」混合で、成り立ちは違うが原子の側から見た状態は同じである。

(4) 熱平衡では $P_e/P_g=\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega_0}$ で、これが $\tfrac14/\tfrac34=\tfrac13$ になればよい。$\beta\hbar\omega_0=\ln3$、

$$T=\frac{\hbar\omega_0}{ k_{\mathrm B}\ln3}=\frac{0.240\ \mathrm K}{1.099}=0.218\ \mathrm K\approx218\ \mathrm{mK}.$$

（$\hbar\omega_0/ k_{\mathrm B}=0.240\ \mathrm K$ は例題 4.1.6 の値。）この温度の熱平衡も原子の状態としては $\hat\rho_{\mathrm M}$ そのもので、(1)・(3) の混合と区別できない。

(5) $\hat P_\pm=| \pm \rangle \langle \pm |$ で $\hat\rho\mapsto\hat P_+\hat\rho\hat P_++\hat P_-\hat\rho\hat P_-$。この写像は $\sigma_x$ の固有基底で非対角成分を消すので、Bloch ベクトルの $x$ 成分だけを残し、$r_y,r_z$ を $0$ にする。準備 P では $\bm{r}=(\tfrac{\sqrt3}{2},0,0)$、純粋度 $\tfrac12(1+\tfrac34)=\tfrac78$。測定前の純粋度1から下がった。準備 M では $\bm{r}=0$、$\hat\rho=\tfrac12\mathbf 1$、純粋度 $\tfrac12$。$\sigma_x$ の値の確率は $\Pr(+1)=\tfrac12(1+r_x)$ で、P では $0.933$、M では $0.5$ と、ここで初めて両者の違いが測定値に現れる。