共通例題②：2準位系を密度行列で解く

量子力学の様々な構成方法　第4部 第1章 §4.1.4　★★★ 量子ビットの密度行列は Bloch ベクトル $\bm{r}$ で $\hat\rho=\tfrac12(\mathbf 1+\bm{r}\cdot\bm{\sigma})$ と書け、$\lvert \bm{r}\rvert \le1$。von Neumann 方程式は $\bm{r}$ の回転になり、Rabi 振動が出る。離調のばらついた集団では $\lvert \bar{\bm{r}}\rvert$ が縮む

Bloch ベクトル

$2\times2$ のエルミート行列は $\mathbf 1,\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$ の実係数の線型結合で書ける。トレース1の条件で $\mathbf 1$ の係数は $\tfrac12$ に決まるので、

$$\hat\rho=\frac12\big(\mathbf 1+\bm{r}\cdot\bm{\sigma}\big),\qquad \bm{r}=\operatorname{Tr}(\hat\rho\,\bm{\sigma})=\big(\langle \sigma_x \rangle ,\langle \sigma_y \rangle ,\langle \sigma_z \rangle \big)\tag{4.1.8}$$

と書ける（$\operatorname{Tr}\sigma_j=0$、$\operatorname{Tr}(\sigma_j\sigma_k)=2\delta_{jk}$ を使えば $\bm{r}$ の成分が期待値になることが分かる）。$\bm{r}$ を Bloch ベクトルと呼ぶ。$\hat\rho$ の固有値は $\bm{r}\cdot\bm{\sigma}$ の固有値 $\pm\lvert \bm{r}\rvert$ から $\tfrac12(1\pm\lvert \bm{r}\rvert )$ で、半正定値の条件は $\lvert \bm{r}\rvert \le1$ になる。純粋度は

$$\operatorname{Tr}\hat\rho^2=\frac{1+\lvert \bm{r}\rvert ^2}{2}\tag{4.1.9}$$

である。量子ビットの状態の集合は単位球（Bloch 球）の中身全体で、表面 $\lvert \bm{r}\rvert =1$ が純粋状態、内部が混合状態、中心 $\bm{r}=0$ が最も混ざった状態 $\tfrac12\mathbf 1$ に当たる（図 4.1.1）。第4.1.1節で使った判定「期待値のベクトルの長さが1か」は、(4.1.9) と命題 4.1.2 から、純粋状態かどうかの判定そのものである。

確率的な混合 $p\hat\rho_1+(1-p)\hat\rho_2$ は (4.1.8) が $\bm{r}$ について1次なので、Bloch ベクトルの平均 $p\bm{r}_1+(1-p)\bm{r}_2$ になる。2つの点を結ぶ線分が球の中を通ることは、状態の集合が凸であることを図の上で表している。

von Neumann 方程式は Bloch ベクトルの回転

共通例題②のハミルトニアンは、回転座標で回転波近似をした後の

$$\hat H=-\frac{\hbar\Delta}{2}\sigma_z-\frac{\hbar\Omega}{2}\sigma_x=\frac\hbar2\,\bm{h}\cdot\bm{\sigma},\qquad \bm{h}=(-\Omega,0,-\Delta)\tag{4.1.10}$$

である（$\Delta$ は離調、$\Omega$ は Rabi 角周波数。光の巻 光学と量子エレクトロニクス 第18章 で導いた形をそのまま使う）。(4.1.8) を (4.1.7) に入れる。Pauli 行列の交換関係 $\left[\sigma_j,\,\sigma_k\right]=2\mathrm{i}\sum_l\epsilon_{jkl}\sigma_l$ から$\left[\bm{h}\cdot\bm{\sigma},\,\bm{r}\cdot\bm{\sigma}\right]=2\mathrm{i}(\bm{h}\times\bm{r})\cdot\bm{\sigma}$ なので、

$$\frac12\frac{\mathrm{d} \bm{r}}{\mathrm{d} t}\cdot\bm{\sigma}=\frac{\mathrm{d} \hat\rho}{\mathrm{d} t}=-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\cdot\frac\hbar2\cdot\frac12\cdot2\mathrm{i}(\bm{h}\times\bm{r})\cdot\bm{\sigma}=\frac12(\bm{h}\times\bm{r})\cdot\bm{\sigma} .$$

係数を比べて

$$\frac{\mathrm{d} \bm{r}}{\mathrm{d} t}=\bm{h}\times\bm{r}\tag{4.1.11}$$

を得る。これは $\bm{r}$ が軸 $\bm{h}/\lvert \bm{h}\rvert$ のまわりに角速度 $\lvert \bm{h}\rvert =\sqrt{\Omega^2+\Delta^2}=\Omega'$ で回る式で、$\lvert \bm{r}\rvert$ は変わらない。純粋度が保たれるという前節の結果の、量子ビットでの姿である。

初めに基底状態 $| g \rangle$、つまり $\bm{r}(0)=(0,0,-1)$ にあるとする。軸の単位ベクトルを $\bm{n}=\bm{h}/\Omega'$ とし、角度 $\Omega't$ の回転を Rodrigues の公式で書くと

$$\bm{r}(t)=\bm{r}(0)\cos\Omega't+(\bm{n}\times\bm{r}(0))\sin\Omega't+\bm{n}\,(\bm{n}\cdot\bm{r}(0))(1-\cos\Omega't).\tag{4.1.12}$$

$z$ 成分は $n_z=-\Delta/\Omega'$、$\bm{n}\cdot\bm{r}(0)=\Delta/\Omega'$、$(\bm{n}\times\bm{r}(0))_z=0$ から$r_z(t)=-\cos\Omega't-\frac{\Delta^2}{\Omega'^2}(1-\cos\Omega't)$。励起状態にある確率は $P_e=\langle e | \hat\rho | e \rangle =\tfrac12(1+r_z)$ なので

$$P_e(t)=\frac12\Big(1-\frac{\Delta^2}{\Omega'^2}\Big)(1-\cos\Omega't)=\Big(\frac{\Omega}{\Omega'}\Big)^2\sin^2\frac{\Omega't}{2}\tag{4.1.13}$$

となる。共通例題②の正答で、光の巻と同じ形である。行列力学では Pauli 行列の Heisenberg 方程式から同じ式が出る（第2部第3章）。

離調のばらついた集団：1個1個は純粋、集団は混合

ここで場面1が実験でどう現れるかを見る。原子の気体やドープした結晶中のイオンでは、Doppler 効果や局所的な環境の違いで、原子ごとに離調 $\Delta$ が少しずつ違う（不均一な広がり）。1個の原子は (4.1.11) に従って純粋なまま回るが、どの原子がどの $\Delta$ を持つかは分からない。集団全体の測定（吸収の強さ・蛍光）には、$\Delta$ の分布 $g(\Delta)$ で平均した

$$\bar{\bm{r}}(t)=\int\bm{r}_\Delta(t)\,g(\Delta)\,\mathrm{d}\Delta,\qquad \bar P_e(t)=\frac{1+\bar r_z(t)}{2}=\int\Big(\frac{\Omega}{\Omega'}\Big)^2\sin^2\frac{\Omega't}{2}\,g(\Delta)\,\mathrm{d}\Delta$$

が現れる。$\bar{\bm{r}}$ は平均なので一般に長さが1より小さく、集団の状態は混合状態になる。図 4.1.2 は、$g$ を標準偏差 $\Omega$ の Gauss 分布にとって数値積分した結果である。$\Delta=0$ の1原子の $P_e$ は $0$ と $1$ の間を振れ続けるが、集団の $\bar P_e$ は振幅が減っていく。$\lvert \bar{\bm{r}}\rvert$ は1から下がり、$\Omega t\approx8.6$ では $0.08$ 程度まで下がる。$\Omega'=\sqrt{\Omega^2+\Delta^2}$ は $\Delta=0$ の近くで $\Delta$ にほとんどよらないので、$\Delta$ の小さい原子はそろって回り続け、その後 $\lvert \bar{\bm{r}}\rvert$ はまた大きくなる。

この減り方は、各原子の時間発展がユニタリのままで起きている。系と環境の相互作用で個々の原子の純粋度が下がる緩和（第4部第5章の $T_1$・$T_2$）とは別物で、NMR の分野では、不均一な広がりを含めた横成分の減衰時間を $T_2^*$ と書いて $T_2$ と区別する。不均一な広がりによる減衰は、途中で $\bm{r}$ を $x$ 軸まわりに $\pi$ 回すと各原子の位相のずれが逆向きにたどられて戻る（スピンエコー。Hahn (1950), Phys. Rev. 80, 580）。純粋度の下がった本物の緩和は戻らない。この違いは状態ベクトル1本の公理では書き分けられず、集団の $\hat\rho$ と各原子の $\hat\rho$ を両方持つ密度行列の言葉で初めて書ける。