期待値は $\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat A)$ の形にまとまる

量子力学の様々な構成方法　第4部 第1章 §4.1.2　★★★ アンサンブルの期待値は $\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat A)$、$\hat\rho=\sum_ip_i| \psi_i \rangle \langle \psi_i |$ と書ける。予言に要るのは $\hat\rho$ だけで、アンサンブルの細部は要らない

アンサンブルの期待値

アンサンブル $\{p_i,| \psi_i \rangle \}$（$p_i\ge0$、$\sum_ip_i=1$、各 $| \psi_i \rangle$ は単位ベクトルで、互いに直交している必要はない）で物理量 $\hat A$ を測る。状態 $| \psi_i \rangle$ が選ばれる確率が $p_i$ で、選ばれた後の期待値が基準の公理により $\langle \psi_i | \hat A | \psi_i \rangle$ なので、全体の期待値は

$$\langle \hat A \rangle =\sum_ip_i\langle \psi_i | \hat A | \psi_i \rangle$$

である。正規直交基底 $\{| k \rangle \}$ を1組取り、$\langle \psi | \hat A | \psi \rangle =\sum_k\langle \psi | \hat A | k \rangle \langle k | \psi \rangle =\sum_k\langle k | \big(| \psi \rangle \langle \psi |\big)\hat A | k \rangle =\operatorname{Tr}\big(| \psi \rangle \langle \psi |\hat A\big)$ と書き直すと、

$$\langle \hat A \rangle =\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat A),\qquad \hat\rho\coloneqq\sum_ip_i| \psi_i \rangle \langle \psi_i |\tag{4.1.4}$$

を得る。測定値の確率も同じ形になる。$\hat A$ のスペクトル分解を $\hat A=\sum_aa\hat P_a$（$\hat P_a$ は固有値 $a$ の固有空間への射影）とすると、状態 $| \psi_i \rangle$ で $a$ が出る確率は Born の規則により $\langle \psi_i | \hat P_a | \psi_i \rangle$ なので、

$$\Pr(a)=\sum_ip_i\langle \psi_i | \hat P_a | \psi_i \rangle =\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat P_a).\tag{4.1.5}$$

(4.1.4) と (4.1.5) の右辺には $p_i$ と $| \psi_i \rangle$ が $\hat\rho$ の形でしか入っていない。したがって、同じ $\hat\rho$ を与える2つのアンサンブルは、どんな物理量のどんな測定でも同じ統計を示す。例題 4.1.1 (3) の2つのアンサンブルは

$$\tfrac12| \uparrow \rangle \langle \uparrow |+\tfrac12| \downarrow \rangle \langle \downarrow |=\tfrac12\mathbf 1=\tfrac12| + \rangle \langle + |+\tfrac12| - \rangle \langle - |$$

と同じ $\hat\rho$ を与えるので、Pauli 行列に限らずどの測定でも区別できない。同じ $\hat\rho$ を与えるアンサンブルがどれだけあるか、それを区別する方法が本当に無いかは、第4部第3章（第4部第3章）の主題である。この章では、$\hat\rho$ が予言に必要な情報をすべて含み、それ以上の情報（どのアンサンブルから作ったか）は予言に使われないことを出発点に取る。

密度演算子の3つの性質

(4.1.4) の $\hat\rho$ は次の3つを満たす。

3つの性質の確かめ方は短い。各 $| \psi_i \rangle \langle \psi_i |$ はエルミートで、実係数 $p_i$ の和もエルミートである。$\langle \phi | \hat\rho | \phi \rangle =\sum_ip_i\lvert \langle \phi | \psi_i \rangle \rvert ^2\ge0$。$\operatorname{Tr}| \psi_i \rangle \langle \psi_i |=\langle \psi_i | \psi_i \rangle =1$ なので $\operatorname{Tr}\hat\rho=\sum_ip_i=1$。この3つは、(4.1.5) の $\Pr(a)$ が実数で、非負で、和が1になるための条件と対応している。

逆に、(4.1.6) を満たす $\hat\rho$ はどれもアンサンブルから作れる。有限次元なら $\hat\rho$ はエルミートなので固有値分解 $\hat\rho=\sum_k\lambda_k| k \rangle \langle k |$ ができ、半正定値から $\lambda_k\ge0$、トレース1から $\sum_k\lambda_k=1$ である。そこで $\{\lambda_k,| k \rangle \}$ をアンサンブルとみなせばよい。

純粋状態と混合状態

$\hat\rho=| \psi \rangle \langle \psi |$ と1本の状態ベクトルで書けるものを純粋状態、そうでないものを混合状態と呼ぶ。両者を区別する量が純粋度 $\operatorname{Tr}\hat\rho^2$ である。

証明

固有値を $\lambda_k$ とすると $\operatorname{Tr}\hat\rho^2=\sum_k\lambda_k^2$。$0\le\lambda_k\le1$ なので $\lambda_k^2\le\lambda_k$、和を取って $\operatorname{Tr}\hat\rho^2\le\sum_k\lambda_k=1$。等号は各 $k$ で $\lambda_k^2=\lambda_k$、つまり $\lambda_k\in\{0,1\}$ のときに限る。和が1なので固有値1がちょうど1つで、$\hat\rho=| k \rangle \langle k |$ になる。逆に $\hat\rho=| \psi \rangle \langle \psi |$ なら $\hat\rho^2=| \psi \rangle \langle \psi | \psi \rangle \langle \psi |=\hat\rho$ で $\operatorname{Tr}\hat\rho^2=1$。下限は Cauchy–Schwarz の不等式 $1=(\sum_k\lambda_k)^2\le d\sum_k\lambda_k^2$ から出て、等号はすべての $\lambda_k$ が等しいときに限る。

純粋状態の $\hat\rho=| \psi \rangle \langle \psi |$ は、$| \psi \rangle$ に全体の位相 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}$ を掛けても変わらない。基準の公理では「状態は単位ベクトルだが、位相だけ違うものは同じ状態とみなす」という但し書きが要ったが、密度演算子ではこの但し書きが要らない。状態ベクトルの書き方に含まれていた余分な自由度を、$\hat\rho$ は最初から持っていない。