同じ $\hat\rho$ を与えるアンサンブルはいくつもある

量子力学の様々な構成方法　第4部 第3章 §4.3.1　★★★ 量子ビットの混合状態は Bloch 球の内部の点で、その点を通る弦の両端をとればそれだけで1つのアンサンブルになる。古典の確率分布では、純粋な状態への分解は1通りしかない

第4部第1章（第4部第1章）では、アンサンブル $\{p_i,| \psi_i \rangle \}$ の期待値がすべて $\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat A)$、$\hat\rho=\sum_ip_i| \psi_i \rangle \langle \psi_i |$ の形にまとまることから、状態を密度演算子 $\hat\rho$ に取り替えた要請 (D1)〜(D5) を立てた。その途中で、$\tfrac12| \uparrow \rangle \langle \uparrow |+\tfrac12| \downarrow \rangle \langle \downarrow |$ と $\tfrac12| + \rangle \langle + |+\tfrac12| - \rangle \langle - |$ が同じ $\tfrac12\mathbf 1$ になる例が出てきた。この章はこの現象を一般の形で扱う。

部の型（出発点の要請 → 基本の対象 → 基準との同値 → 共通例題 → 得意な問題 → 限界）の中で、この章は「基本の対象」の性質を詰める位置にある。要請 (D1) は「状態は $\hat\rho$ である」と言うが、$\hat\rho$ を作ったアンサンブルの情報を状態に含めるかどうかは、要請だけでは読み取れない。この章では、同じ $\hat\rho$ を与えるアンサンブルがどれだけあるかを Schrödinger と Hughston–Jozsa–Wootters の定理で完全に分類し（第4.3.2節）、そのどれもが浄化の相手の測定で実際に作れること（第4.3.3節）、それでもどれを作ったかが相手の側から見分けられないこと（第4.3.4節）を示す。最後の性質が崩れると光より速い通信ができてしまうので、量子力学の線形性と相対論の因果律がここで結びつく。共通例題①では、調和振動子の熱平衡がエネルギー固有状態の混合とも、コヒーレント状態の混合とも書けることを確かめる（第4.3.5節）。

アンサンブルと、規格化しないベクトル

$\hat\rho$ が与えられたとき、$p_i>0$、$\sum_ip_i=1$、単位ベクトル $| \psi_i \rangle$ の組で

$$\hat\rho=\sum_{i=1}^mp_i| \psi_i \rangle \langle \psi_i |\tag{4.3.1}$$

となるものを、$\hat\rho$ のアンサンブル（純粋状態への分解）と呼ぶ。$| \psi_i \rangle$ は互いに直交している必要はなく、個数 $m$ もヒルベルト空間の次元 $d$ より多くてよい。以下では重みとベクトルをまとめて、規格化しないベクトル

$$| \tilde\psi_i \rangle \coloneqq\sqrt{p_i}\,| \psi_i \rangle ,\qquad \hat\rho=\sum_i| \tilde\psi_i \rangle \langle \tilde\psi_i |,\qquad p_i=\langle \tilde\psi_i | \tilde\psi_i \rangle\tag{4.3.2}$$

で書く。重みは長さの2乗として取り出せるので、$\{| \tilde\psi_i \rangle \}$ だけでアンサンブルが決まる。

1つのアンサンブルは必ずある。$\hat\rho$ はエルミートで半正定値なので、正規直交な固有ベクトル $| k \rangle$ と固有値 $\lambda_k\ge0$ で $\hat\rho=\sum_k\lambda_k| k \rangle \langle k |$ と対角化でき、$\lambda_k>0$ の項だけを集めれば (4.3.1) の形になる。これを固有アンサンブルと呼ぶ。問題は、これ以外にどれだけあるかである。

量子ビット：Bloch 球の弦

量子ビットでは $\hat\rho=\tfrac12(\mathbf 1+\bm{r}\cdot\bm{\sigma})$、$\lvert \bm{r}\rvert \le1$ と書け、純粋状態は $\lvert \bm{n}\rvert =1$ の球面の点に当たる（第4部第1章）。$\hat\rho$ は $\bm{r}$ について1次なので、アンサンブル $\{p_i,\bm{n}_i\}$ が $\hat\rho$ を与える条件は

$$\bm{r}=\sum_ip_i\bm{n}_i,\qquad \lvert \bm{n}_i\rvert =1\tag{4.3.3}$$

である。つまり、球の内部の点 $\bm{r}$ を、球面の点の重み付きの平均（凸結合）に書く方法が、そのまま $\hat\rho$ のアンサンブルになる。

2点の分解は、$\bm{r}$ を通る直線（弦）の両端で与えられる。単位ベクトル $\bm{m}$ の向きの直線 $\bm{r}+t\bm{m}$ が球面と交わる点は、$\lvert \bm{r}+t\bm{m}\rvert ^2=1$ を $t$ について解いた

$$t_\pm=-\bm{r}\cdot\bm{m}\pm\sqrt{(\bm{r}\cdot\bm{m})^2+1-\lvert \bm{r}\rvert ^2},\qquad \bm{n}_\pm=\bm{r}+t_\pm\bm{m}\tag{4.3.4}$$

で決まる。$\lvert \bm{r}\rvert <1$ なら根号の中は正で、$t_+>0>t_-$ である。$\bm{r}=p_+\bm{n}_++p_-\bm{n}_-$ となる重みは、$p_+t_++p_-t_-=0$ と $p_++p_-=1$ から

$$p_+=\frac{-t_-}{t_+-t_-},\qquad p_-=\frac{t_+}{t_+-t_-}\tag{4.3.5}$$

で、どちらも正である。向き $\bm{m}$ は球面の上を自由に選べるので、$\lvert \bm{r}\rvert <1$ の混合状態には2点のアンサンブルだけでも連続無限個ある。固有アンサンブルは $\bm{m}$ を $\bm{r}$ と平行に選んだ場合で、$\bm{n}_\pm=\pm\bm{r}/\lvert \bm{r}\rvert$ は直交する2状態（球面の対蹠点）になる。$\bm{r}=0$ の $\hat\rho=\tfrac12\mathbf 1$ では、どの向きの直径も固有アンサンブルになる。

図 4.3.1 は、$\bm{r}=(0,0,\tfrac12)$、つまり $\hat\rho=\mathrm{diag}(\tfrac34,\tfrac14)$ について、$xz$ 断面に3つのアンサンブルを描いたものである。固有アンサンブル $\{\tfrac34,| \uparrow \rangle ;\tfrac14,| \downarrow \rangle \}$ は縦の直径、$\bm{m}=(1,0,0)$ の弦は横向きの弦で、その両端は $\bm{n}_\pm=(\pm\tfrac{\sqrt3}{2},0,\tfrac12)$、重みは $\tfrac12$ ずつ、状態は

$$| a_\pm \rangle =\frac{\sqrt3}{2}| \uparrow \rangle \pm\frac12| \downarrow \rangle ,\qquad \tfrac12| a_+ \rangle \langle a_+ |+\tfrac12| a_- \rangle \langle a_- |=\begin{pmatrix}\tfrac34&0\\0&\tfrac14\end{pmatrix}\tag{4.3.6}$$

である（交差項 $\pm\tfrac{\sqrt3}{4}$ が2つの項で打ち消し合う）。3点以上の分解もある。$\bm{r}$ を内部に含む球面上の三角形の頂点をとれば、その3点の重みは一意に決まり、これも1つのアンサンブルになる。

古典の確率分布との違い

古典の確率でも、状態（確率分布）の集合は凸集合で、純粋な状態（1つの値に確率1を置く分布、決定論的な状態）が端点である。$N$ 個の値をとる確率変数なら、状態の集合は $N$ 個の端点 $\delta_1,\dots,\delta_N$ を頂点とする単体（3値なら三角形）で、どの分布 $p=(p_1,\dots,p_N)$ も $p=\sum_xp_x\delta_x$ と書ける。端点 $\delta_x$ は線形独立なので、この係数は分布そのもので、分解は1通りしかない。古典の混合状態は「本当はどれか1つの値をとっていて、それを知らないだけ」と読んでも矛盾が出ない。読み方の候補が1通りしかないからである。

量子ビットの状態空間は球（Bloch 球）で、単体ではない。端点は球面上に連続無限個あって線形独立になりえないので、内部の点を端点に分ける方法が無数にある。同じ $\hat\rho$ を「本当は $| \uparrow \rangle$ か $| \downarrow \rangle$ のどちらか」と読むことも「本当は $| a_+ \rangle$ か $| a_- \rangle$ のどちらか」と読むこともでき、$\hat\rho$ だけからはどちらの読み方が正しいとも言えない。この違いが第9部の一般確率論（第9部第4章）で「古典論とは状態空間が単体である理論」と特徴づけられる。