量子力学の様々な構成方法 第9部 第4章 §9.4.1 ★★★ この章の出発点の要請。準備の手順と測定の結果の組に確率を割り当てる表から、状態を凸集合の点として、測定の結果を affine な関数として定める
第9部のここまでの3章は、命題（射影）の側から量子力学を組み立て直した。第9部第1章 は命題の束が分配律を満たさないことを、第9部第2章 はその束の上の確率が3次元以上では必ず Tr ( ρ ^ P ^ ) \operatorname{Tr}(\hat\rho\hat P) Tr ( ρ ^ P ^ ) 第9部第3章 は測る前から値が決まっているという非文脈的な模型が3次元以上で作れないこと（Kochen–Specker の定理）を示した。どの章も、ヒルベルト空間の射影の束を最初から与えたうえで、その上に何が載るかを調べている。
この章では、ヒルベルト空間も射影も仮定しない。実験室で実際に記録できるもの、すなわち「この手順で系を準備し、この装置で測ったら、この結果がこの頻度で出た」という確率の表だけを出発点に置く。この表から、状態の全体は凸集合になり、測定の結果は状態の上の affine な関数になることが出てくる。この枠を一般確率論 （generalized probabilistic theory、GPT）と呼ぶ。古典論も量子論も一般確率論の1つの例で、状態の全体（状態空間）の形が違うだけである。古典ビットの状態空間は線分（一般には単体）、量子ビットの状態空間は Bloch 球、PR 箱を局所的に見た系（gbit）の状態空間は正方形になる。
第9部の型（出発点の要請 → 基本の対象 → 基準との同値 → 共通例題 → 得意な問題 → 限界）のうち、この章は「出発点の要請」を操作的な形に置き直し、共通例題②（量子ビット）を状態空間の言葉で解く。9.4.1節で確率の表から状態空間を作り、9.4.2 節で古典の状態空間が単体であることと分解の一意性の同値を証明する。9.4.3 節で量子ビットの状態空間と効果を求め、共通例題②の Rabi 振動を球の回転として、緩和を球の内側への縮小として解く。緩和の写像が球を球の中へ写すという条件だけから T 2 ≤ 2 T 1 T_2\le2T_1 T 2 ≤ 2 T 1 9.4.4 節で PR 箱を無信号の箱の多面体の頂点として扱い、9.4.5 節で3つの状態空間を区別できる状態の数・可逆な変換・複製・相関の強さで比べる。9.4.6 節が橋の節で、Bloch 球の一般確率論が量子ビットの密度行列と同じものであることを両向きに証明し、第4部・第8部・第9部の前の章と並べる。
確率の表と状態
実験は3つの段階に分けて記述することができる。系を用意する準備 、系に何かを施す変換 、結果を読む測定 である。準備の手順を P P P M M M k k k P P P M M M k k k Pr ( k ∣ P , M ) \Pr(k\,|\,P,M) Pr ( k ∣ P , M ) Pr ( k ∣ P , M ) \Pr(k|P,M) Pr ( k ∣ P , M )
2つの準備 P P P P ′ P' P ′ 状態 と呼び、s s s M M M k k k 効果 と呼び、e e e e e e s s s e ( s ) ∈ [ 0 , 1 ] e(s)\in[0,1] e ( s ) ∈ [ 0 , 1 ]
準備の手順を混ぜることができる。確率 p p p P 1 P_1 P 1 1 − p 1-p 1 − p P 2 P_2 P 2 p P 1 + ( 1 − p ) P 2 pP_1+(1-p)P_2 p P 1 + ( 1 − p ) P 2 k k k
Pr ( k ∣ p P 1 + ( 1 − p ) P 2 , M ) = p Pr ( k ∣ P 1 , M ) + ( 1 − p ) Pr ( k ∣ P 2 , M ) (9.4.1) \Pr\bigl(k\,\big|\,pP_1+(1-p)P_2,M\bigr)=p\Pr(k|P_1,M)+(1-p)\Pr(k|P_2,M)\tag{9.4.1} Pr ( k p P 1 + ( 1 − p ) P 2 , M ) = p Pr ( k ∣ P 1 , M ) + ( 1 − p ) Pr ( k ∣ P 2 , M ) ( 9.4.1 )
である。左辺は混ぜた準備の状態、右辺は2つの状態の確率の重みつき平均なので、状態の全体には「混ぜる」という演算 p s 1 + ( 1 − p ) s 2 ps_1+(1-p)s_2 p s 1 + ( 1 − p ) s 2
定義 9.4.1（一般確率論の系）
次の (G1)〜(G4) を満たす組を一般確率論の系 と呼ぶ。
(G1) 状態空間 ：状態の全体 S \mathcal S S R K \mathbb{R}^{K} R K p s 1 + ( 1 − p ) s 2 ps_1+(1-p)s_2 p s 1 + ( 1 − p ) s 2 (G2) 効果 ：効果は S \mathcal S S e : S → [ 0 , 1 ] e:\mathcal S\to[0,1] e : S → [ 0 , 1 ] 1 1 1 単位効果 u u u (G3) 測定 ：結果が n n n { e 1 , … , e n } \{e_1,\dots,e_n\} { e 1 , … , e n } ∑ k e k = u \sum_ke_k=u ∑ k e k = u (G4) 変換 ：変換は S \mathcal S S S \mathcal S S 可逆な変換 と呼ぶ。
(G1) の「コンパクト」は、状態の極限も状態に含めるという約束で、有限次元では有界で閉じていることと同じである。(G4) の affine 性は、変換を施してから混ぜても、混ぜてから変換を施しても同じ準備になることから出る。定義 9.4.1 は効果として許すものを決めていない。この章では、S \mathcal S S [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] 制限なしの仮定 ）。古典ビット・量子ビット・gbit はどれもこの仮定を満たす。
基準の測定と、状態を表すベクトル
状態は「すべての効果の確率」の一覧で決まるが、効果が affine なので、実際には有限個の確率で足りる。
命題 9.4.2（基準の効果 ★★★）
状態空間 S \mathcal S S K − 1 K-1 K − 1 K − 1 K-1 K − 1 e 1 , … , e K − 1 e_1,\dots,e_{K-1} e 1 , … , e K − 1 s s s ( e 1 ( s ) , … , e K − 1 ( s ) ) \bigl(e_1(s),\dots,e_{K-1}(s)\bigr) ( e 1 ( s ) , … , e K − 1 ( s ) ) e e e e 1 , … , e K − 1 e_1,\dots,e_{K-1} e 1 , … , e K − 1 e ( s ) = c 0 + ∑ j c j e j ( s ) e(s)=c_0+\sum_jc_je_j(s) e ( s ) = c 0 + ∑ j c j e j ( s )
証明 S \mathcal S S A \mathbb A A K K K s 0 , … , s K − 1 s_0,\dots,s_{K-1} s 0 , … , s K − 1 A \mathbb A A ( θ 0 , … , θ K − 1 ) (\theta_0,\dots,\theta_{K-1}) ( θ 0 , … , θ K − 1 ) ∑ θ i = 1 \sum\theta_i=1 ∑ θ i = 1 s i s_i s i A \mathbb A A e e e S \mathcal S S 1 1 1 K K K A \mathcal A A S \mathcal S S S \mathcal S S A \mathcal A A 1 , g 1 , … , g K − 1 1,g_1,\dots,g_{K-1} 1 , g 1 , … , g K − 1 g j g_j g j e j = α j g j + β j e_j=\alpha_jg_j+\beta_j e j = α j g j + β j α j > 0 \alpha_j>0 α j > 0 β j \beta_j β j [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] e j e_j e j 1 , e 1 , … , e K − 1 1,e_1,\dots,e_{K-1} 1 , e 1 , … , e K − 1 A \mathcal A A e ∈ A e\in\mathcal A e ∈ A c 0 + ∑ j c j e j c_0+\sum_jc_je_j c 0 + ∑ j c j e j s , s ′ s,s' s , s ′ e j ( s ) = e j ( s ′ ) e_j(s)=e_j(s') e j ( s ) = e j ( s ′ ) j j j s s s s ′ s' s ′
命題 9.4.2 の e 1 , … , e K − 1 e_1,\dots,e_{K-1} e 1 , … , e K − 1 基準の効果 と呼ぶ。状態は K − 1 K-1 K − 1 1 1 1 ( 1 , e 1 ( s ) , … , e K − 1 ( s ) ) ∈ R K \bigl(1,e_1(s),\dots,e_{K-1}(s)\bigr)\in\mathbb{R}^K ( 1 , e 1 ( s ) , … , e K − 1 ( s ) ) ∈ R K K K K K K K N N N s 1 , … , s n s_1,\dots,s_n s 1 , … , s n { e 1 , … , e n } \{e_1,\dots,e_n\} { e 1 , … , e n } e k ( s l ) = δ k l e_k(s_l)=\delta_{kl} e k ( s l ) = δ k l n n n K K K N N N d d d K = N = d K=N=d K = N = d d d d K = d 2 K=d^2 K = d 2 N = d N=d N = d 第9部第5章 で Hardy の公理を扱うときの出発点になる。
例題 9.4.1 量子ビットの基準の測定と、表からの予言 ★★
オリジナル スピン½の系で、σ x , σ y , σ z \sigma_x,\sigma_y,\sigma_z σ x , σ y , σ z + 1 +1 + 1 ∣ ↑ ⟩ | \uparrow \rangle ∣ ↑ ⟩ σ z = + 1 \sigma_z=+1 σ z = + 1 σ x = + 1 \sigma_x=+1 σ x = + 1
(1) この準備の基準の確率 ( p x , p y , p z ) \bigl(p_x,p_y,p_z\bigr) ( p x , p y , p z ) (2) p k = 1 2 ( 1 + r k ) p_k=\frac12(1+r_k) p k = 2 1 ( 1 + r k ) r \bm{r} r n = ( 1 , 0 , 1 ) / 2 \bm{n}=(1,0,1)/\sqrt2 n = ( 1 , 0 , 1 ) / 2 + 1 +1 + 1 (3) K K K
解答 (1) ∣ ↑ ⟩ | \uparrow \rangle ∣ ↑ ⟩ ( 0 , 0 , 1 ) (0,0,1) ( 0 , 0 , 1 ) σ x = + 1 \sigma_x=+1 σ x = + 1 ( 1 , 0 , 0 ) (1,0,0) ( 1 , 0 , 0 ) n ⋅ σ \bm{n}\cdot\bm{\sigma} n ⋅ σ + 1 +1 + 1 1 2 ( 1 + r ⋅ n ) \frac12(1+\bm{r}\cdot\bm{n}) 2 1 ( 1 + r ⋅ n ) ∣ ↑ ⟩ | \uparrow \rangle ∣ ↑ ⟩ ( p x , p y , p z ) = ( 1 2 , 1 2 , 1 ) (p_x,p_y,p_z)=(\frac12,\frac12,1) ( p x , p y , p z ) = ( 2 1 , 2 1 , 1 ) σ x = + 1 \sigma_x=+1 σ x = + 1 ( 1 , 1 2 , 1 2 ) (1,\frac12,\frac12) ( 1 , 2 1 , 2 1 ) (9.4.1) から平均をとって ( p x , p y , p z ) = ( 3 4 , 1 2 , 3 4 ) (p_x,p_y,p_z)=(\frac34,\frac12,\frac34) ( p x , p y , p z ) = ( 4 3 , 2 1 , 4 3 )
(2) r k = 2 p k − 1 r_k=2p_k-1 r k = 2 p k − 1 r = ( 1 2 , 0 , 1 2 ) \bm{r}=(\frac12,0,\frac12) r = ( 2 1 , 0 , 2 1 ) n ⋅ σ \bm{n}\cdot\bm{\sigma} n ⋅ σ + 1 +1 + 1 1 2 ( 1 + n ⋅ r ) \frac12(1+\bm{n}\cdot\bm{r}) 2 1 ( 1 + n ⋅ r ) r \bm{r} r 1 2 ( 1 + 1 2 ) ≈ 0.854 \frac12\bigl(1+\frac{1}{\sqrt2}\bigr)\approx0.854 2 1 ( 1 + 2 1 ) ≈ 0.854 ρ ^ = 1 2 ( ∣ ↑ ⟩ ⟨ ↑ ∣ + ∣ + x ⟩ ⟨ + x ∣ ) \hat\rho=\frac12\bigl(| \uparrow \rangle \langle \uparrow |+| +_x \rangle \langle +_x |\bigr) ρ ^ = 2 1 ( ∣ ↑ ⟩ ⟨ ↑ ∣ + ∣ + x ⟩ ⟨ + x ∣ )
(3) 状態は r \bm{r} r 1 1 1 K = 4 K=4 K = 4 r \bm{r} r a + b ⋅ r a+\bm{b}\cdot\bm{r} a + b ⋅ r 9.4.3 節）なので、r \bm{r} r
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
