量子力学の様々な構成方法 第9部 第4章 §9.4.4 ★★★ 2者の入力と出力の確率の表（箱）を一般確率論の状態として扱い、信号を送れないという条件だけで許される相関が量子より強くなりうることを、PR 箱を頂点とする多面体で示す
箱と3つの集合
離れた2人 A と B が、それぞれ入力 x , y ∈ { 0 , 1 } x,y\in\{0,1\} x , y ∈ { 0 , 1 } a , b ∈ { 0 , 1 } a,b\in\{0,1\} a , b ∈ { 0 , 1 } p ( a b ∣ x y ) p(ab|xy) p ( ab ∣ x y ) 箱 と呼ぶ（相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第3部第5章 と同じ設定。出力をここでは 0 , 1 0,1 0 , 1 E x y = Pr ( a = b ∣ x y ) − Pr ( a ≠ b ∣ x y ) E_{xy}=\Pr(a=b|xy)-\Pr(a\ne b|xy) E x y = Pr ( a = b ∣ x y ) − Pr ( a = b ∣ x y ) S = E 00 + E 01 + E 10 − E 11 S=E_{00}+E_{01}+E_{10}-E_{11} S = E 00 + E 01 + E 10 − E 11
箱の全体には3つの入れ子の集合がある。
(i) 局所的な箱 L \mathcal L L λ \lambda λ p ( a b ∣ x y ) = ∫ q ( λ ) p A ( a ∣ x , λ ) p B ( b ∣ y , λ ) d λ p(ab|xy)=\int q(\lambda)p_A(a|x,\lambda)p_B(b|y,\lambda)\,\mathrm{d}\lambda p ( ab ∣ x y ) = ∫ q ( λ ) p A ( a ∣ x , λ ) p B ( b ∣ y , λ ) d λ ( a 0 , a 1 , b 0 , b 1 ) (a_0,a_1,b_0,b_1) ( a 0 , a 1 , b 0 , b 1 ) ∣ S ∣ ≤ 2 \lvert S\rvert \le2 ∣ S ∣ ≤ 2 第9部第3章 で非文脈的な模型と同値であることを示した）。(ii) 量子の箱 Q \mathcal Q Q ρ ^ A B \hat\rho_{AB} ρ ^ A B p ( a b ∣ x y ) = Tr ( ρ ^ A B Π ^ a ∣ x A ⊗ Π ^ b ∣ y B ) p(ab|xy)=\operatorname{Tr}\bigl(\hat\rho_{AB}\,\hat\Pi^A_{a|x}\otimes\hat\Pi^B_{b|y}\bigr) p ( ab ∣ x y ) = Tr ( ρ ^ A B Π ^ a ∣ x A ⊗ Π ^ b ∣ y B ) ∣ S ∣ ≤ 2 2 \lvert S\rvert \le2\sqrt2 ∣ S ∣ ≤ 2 2 (iii) 無信号の箱 N S \mathcal{NS} N S
∑ b p ( a b ∣ x 0 ) = ∑ b p ( a b ∣ x 1 ) , ∑ a p ( a b ∣ 0 y ) = ∑ a p ( a b ∣ 1 y ) . (9.4.9) \sum_bp(ab|x0)=\sum_bp(ab|x1),\qquad \sum_ap(ab|0y)=\sum_ap(ab|1y).\tag{9.4.9} b ∑ p ( ab ∣ x 0 ) = b ∑ p ( ab ∣ x 1 ) , a ∑ p ( ab ∣0 y ) = a ∑ p ( ab ∣1 y ) . ( 9.4.9 )
無信号の条件 (9.4.9) は、B が y y y 第1部第2章 の式で示した）ので、L ⊂ Q ⊂ N S \mathcal L\subset\mathcal Q\subset\mathcal{NS} L ⊂ Q ⊂ N S
PR 箱
Popescu と Rohrlich は、無信号を満たしながら S = 4 S=4 S = 4
p P R ( a b ∣ x y ) = { 1 2 ( a ⊕ b = x y ) 0 ( それ以外 ) (9.4.10) p_{\mathrm{PR}}(ab|xy)=\begin{cases}\frac12 & (a\oplus b=xy)\\ 0 & (\text{それ以外})\end{cases}\tag{9.4.10} p PR ( ab ∣ x y ) = { 2 1 0 ( a ⊕ b = x y ) ( それ以外 ) ( 9.4.10 )
ここで ⊕ \oplus ⊕ ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) ∑ b p P R ( a b ∣ x y ) = 1 2 \sum_bp_{\mathrm{PR}}(ab|xy)=\frac12 ∑ b p PR ( ab ∣ x y ) = 2 1 x , y x,y x , y E 00 = E 01 = E 10 = 1 E_{00}=E_{01}=E_{10}=1 E 00 = E 01 = E 10 = 1 E 11 = − 1 E_{11}=-1 E 11 = − 1 S = 4 S=4 S = 4 S S S ∣ E x y ∣ ≤ 1 \lvert E_{xy}\rvert \le1 ∣ E x y ∣ ≤ 1 ∣ S ∣ ≤ 4 \lvert S\rvert \le4 ∣ S ∣ ≤ 4
命題 9.4.6（PR 箱は無信号の多面体の頂点 ★★★）
無信号の箱で、PR 箱と同じ8か所（a ⊕ b ≠ x y a\oplus b\ne xy a ⊕ b = x y 0 0 0 N S \mathcal{NS} N S
証明 条件を満たす箱は、x y ∈ { 00 , 01 , 10 } xy\in\{00,01,10\} x y ∈ { 00 , 01 , 10 } p ( 00 ∣ x y ) = α x y p(00|xy)=\alpha_{xy} p ( 00∣ x y ) = α x y p ( 11 ∣ x y ) = 1 − α x y p(11|xy)=1-\alpha_{xy} p ( 11∣ x y ) = 1 − α x y x y = 11 xy=11 x y = 11 p ( 01 ∣ 11 ) = β p(01|11)=\beta p ( 01∣11 ) = β p ( 10 ∣ 11 ) = 1 − β p(10|11)=1-\beta p ( 10∣11 ) = 1 − β x = 0 x=0 x = 0 y = 0 y=0 y = 0 y = 1 y=1 y = 1 p ( a = 0 ) p(a=0) p ( a = 0 ) α 00 = α 01 \alpha_{00}=\alpha_{01} α 00 = α 01 y = 0 y=0 y = 0 α 00 = α 10 \alpha_{00}=\alpha_{10} α 00 = α 10 x = 1 x=1 x = 1 y = 0 y=0 y = 0 p ( a = 0 ) = α 10 p(a=0)=\alpha_{10} p ( a = 0 ) = α 10 y = 1 y=1 y = 1 p ( 01 ∣ 11 ) = β p(01|11)=\beta p ( 01∣11 ) = β α 10 = β \alpha_{10}=\beta α 10 = β y = 1 y=1 y = 1 x = 0 x=0 x = 0 p ( b = 0 ) = α 01 p(b=0)=\alpha_{01} p ( b = 0 ) = α 01 x = 1 x=1 x = 1 p ( 10 ∣ 11 ) = 1 − β p(10|11)=1-\beta p ( 10∣11 ) = 1 − β α 01 = 1 − β \alpha_{01}=1-\beta α 01 = 1 − β β = α 10 = α 00 = α 01 = 1 − β \beta=\alpha_{10}=\alpha_{00}=\alpha_{01}=1-\beta β = α 10 = α 00 = α 01 = 1 − β 1 2 \frac12 2 1
PR 箱が p P R = θ p ′ + ( 1 − θ ) p ′ ′ p_{\mathrm{PR}}=\theta p'+(1-\theta)p'' p PR = θ p ′ + ( 1 − θ ) p ′′ 0 < θ < 1 0<\theta<1 0 < θ < 1 p ′ , p ′ ′ ∈ N S p',p''\in\mathcal{NS} p ′ , p ′′ ∈ N S p P R p_{\mathrm{PR}} p PR 0 0 0 p ′ , p ′ ′ p',p'' p ′ , p ′′ 0 0 0 p ′ = p ′ ′ = p P R p'=p''=p_{\mathrm{PR}} p ′ = p ′′ = p PR
入力と出力の名前を付け替える（a ⊕ b = x y ⊕ r x ⊕ s y ⊕ t a\oplus b=xy\oplus rx\oplus sy\oplus t a ⊕ b = x y ⊕ r x ⊕ sy ⊕ t r , s , t ∈ { 0 , 1 } r,s,t\in\{0,1\} r , s , t ∈ { 0 , 1 } ( 16 8 ) = 12870 \binom{16}{8}=12870 ( 8 16 ) = 12870
PR 箱を一般確率論の状態として見る：gbit
PR 箱の片側だけを見る。A の手元の系は、2つの測定 x = 0 , 1 x=0,1 x = 0 , 1 a = 0 , 1 a=0,1 a = 0 , 1 ( Pr ( a = 0 ∣ x = 0 ) , Pr ( a = 0 ∣ x = 1 ) ) ∈ [ 0 , 1 ] 2 \bigl(\Pr(a=0|x=0),\Pr(a=0|x=1)\bigr)\in[0,1]^2 ( Pr ( a = 0∣ x = 0 ) , Pr ( a = 0∣ x = 1 ) ) ∈ [ 0 , 1 ] 2 gbit （generalized bit）と呼ぶ（Barrett 2007）。正方形の4つの頂点は、2つの測定の結果がどちらも確定した状態で、gbit は「2つの測定が両方とも確定値を持てるが、混合の分解が一意でない」系である。PR 箱は2つの gbit の合成系の状態で、片側の状態（周辺）は正方形の中心 ( 1 2 , 1 2 ) (\frac12,\frac12) ( 2 1 , 2 1 ) 箱の世界 （boxworld）と呼ぶ。
PR 箱が自然界にあれば、離れた2人が1ビットの通信だけで、どんな2変数の Boole 関数も計算できてしまう（W. van Dam, arXiv:quant-ph/0501159 (2005)；Natural Computing 12, 9–12 (2013)）。情報の因果律と呼ばれる条件、すなわち m m m m m m S > 2 2 S>2\sqrt2 S > 2 2 2 2 2\sqrt2 2 2
図 9.4.3 CHSH の量 S S S ∣ S ∣ ≤ 2 \lvert S\rvert \le2 ∣ S ∣ ≤ 2 ∣ S ∣ ≤ 2 2 \lvert S\rvert \le2\sqrt2 ∣ S ∣ ≤ 2 2 ∣ S ∣ ≤ 4 \lvert S\rvert \le4 ∣ S ∣ ≤ 4 V p P R + ( 1 − V ) p U Vp_{\mathrm{PR}}+(1-V)p_{\mathrm U} V p PR + ( 1 − V ) p U p U p_{\mathrm U} p U V ≤ 1 2 V\le\frac12 V ≤ 2 1 V ≤ 1 2 V\le\frac1{\sqrt2} V ≤ 2 1 9.4.5 ）。
例題 9.4.5 PR 箱に雑音を混ぜる ★★
オリジナル PR 箱と、すべての出力が確率 1 4 \frac14 4 1 p U p_{\mathrm U} p U p V = V p P R + ( 1 − V ) p U p_V=Vp_{\mathrm{PR}}+(1-V)p_{\mathrm U} p V = V p PR + ( 1 − V ) p U 0 ≤ V ≤ 1 0\le V\le1 0 ≤ V ≤ 1
(1) p V p_V p V E x y E_{xy} E x y S S S (2) Bell 状態 ∣ Φ + ⟩ | \Phi^+ \rangle ∣ Φ + ⟩ x z xz x z α 0 = 0 \alpha_0=0 α 0 = 0 α 1 = π 2 \alpha_1=\frac\pi2 α 1 = 2 π β 0 = π 4 \beta_0=\frac\pi4 β 0 = 4 π β 1 = − π 4 \beta_1=-\frac\pi4 β 1 = − 4 π E x y = cos ( α x − β y ) E_{xy}=\cos(\alpha_x-\beta_y) E x y = cos ( α x − β y ) p 1 / 2 p_{1/\sqrt2} p 1/ 2 (3) CHSH ゲーム（a ⊕ b = x y a\oplus b=xy a ⊕ b = x y
解答 (1) p U p_{\mathrm U} p U 0 0 0 E x y = V ( − 1 ) x y E_{xy}=V(-1)^{xy} E x y = V ( − 1 ) x y S = 4 V S=4V S = 4 V
(2) cos ( 0 − π 4 ) = cos ( 0 + π 4 ) = cos ( π 2 − π 4 ) = 1 2 \cos(0-\frac\pi4)=\cos(0+\frac\pi4)=\cos(\frac\pi2-\frac\pi4)=\frac{1}{\sqrt2} cos ( 0 − 4 π ) = cos ( 0 + 4 π ) = cos ( 2 π − 4 π ) = 2 1 cos ( π 2 + π 4 ) = − 1 2 \cos(\frac\pi2+\frac\pi4)=-\frac{1}{\sqrt2} cos ( 2 π + 4 π ) = − 2 1 E x y = 1 2 ( − 1 ) x y E_{xy}=\frac{1}{\sqrt2}(-1)^{xy} E x y = 2 1 ( − 1 ) x y ∣ Φ + ⟩ | \Phi^+ \rangle ∣ Φ + ⟩ 1 ^ / 2 \hat 1/2 1 ^ /2 E x y E_{xy} E x y p ( a b ∣ x y ) = 1 4 ( 1 + ( − 1 ) a ⊕ b E x y ) p(ab|xy)=\frac14\bigl(1+(-1)^{a\oplus b}E_{xy}\bigr) p ( ab ∣ x y ) = 4 1 ( 1 + ( − 1 ) a ⊕ b E x y ) p V p_V p V E x y = V ( − 1 ) x y E_{xy}=V(-1)^{xy} E x y = V ( − 1 ) x y V = 1 2 V=\frac1{\sqrt2} V = 2 1
(3) 勝率は P w i n = 1 4 ∑ x y Pr ( a ⊕ b = x y ∣ x y ) = 1 4 ∑ x y 1 + ( − 1 ) x y E x y 2 = 1 2 + S 8 P_{\mathrm{win}}=\frac14\sum_{xy}\Pr(a\oplus b=xy|xy)=\frac14\sum_{xy}\frac{1+(-1)^{xy}E_{xy}}{2}=\frac12+\frac S8 P win = 4 1 ∑ x y Pr ( a ⊕ b = x y ∣ x y ) = 4 1 ∑ x y 2 1 + ( − 1 ) x y E x y = 2 1 + 8 S S ≤ 2 S\le2 S ≤ 2 3 4 \frac34 4 3 3 4 \frac34 4 3 1 2 + 2 4 = cos 2 π 8 ≈ 0.854 \frac12+\frac{\sqrt2}{4}=\cos^2\frac\pi8\approx0.854 2 1 + 4 2 = cos 2 8 π ≈ 0.854 1 1 1
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
