量子ビットと Bloch 球：共通例題②

量子力学の様々な構成方法　第9部 第4章 §9.4.3　★★★ 量子ビットの状態空間（球）と効果（2重の円錐）を求め、共通例題②の Rabi 振動を球の回転、緩和を球の縮小として解く。正値性だけから $T_2\le2T_1$ を出す

状態空間と効果

量子ビットの密度行列は Bloch ベクトル $\bm{r}=\operatorname{Tr}(\hat\rho\bm{\sigma})$ を使って $\hat\rho=\frac12(\hat 1+\bm{r}\cdot\bm{\sigma})$ と書ける（第4部第1章）。その固有値は $\frac12(1\pm\lvert \bm{r}\rvert )$ なので、$\hat\rho\ge0$ は $\lvert \bm{r}\rvert \le1$ と同じである。一般確率論の言葉では、量子ビットの状態空間は $\mathbb{R}^3$ の単位球 $\{\bm{r}:\lvert \bm{r}\rvert \le1\}$ で、$K=4$ である。端点は球面全体で、無数にある。

効果は $\bm{r}$ の affine な関数 $e(\bm{r})=a+\bm{b}\cdot\bm{r}$（$a\in\mathbb{R}$、$\bm{b}\in\mathbb{R}^3$）で、値が球全体で $[0,1]$ に入るものである。球の上の最小値と最大値は $a-\lvert \bm{b}\rvert$ と $a+\lvert \bm{b}\rvert$（$\bm{r}=\mp\bm{b}/\lvert \bm{b}\rvert$ で達する）なので、

$$e(\bm{r})=a+\bm{b}\cdot\bm{r}\ \text{が効果}\iff \lvert \bm{b}\rvert \le a\le1-\lvert \bm{b}\rvert\tag{9.4.3}$$

である。$(a,\bm{b})\in\mathbb{R}^4$ の中でこの集合は、頂点が $(0,\bm{0})$ と $(1,\bm{0})$ にある2重の円錐をなす。端点は2つの頂点と、$a=\frac12$、$\lvert \bm{b}\rvert =\frac12$ の球面（$e(\bm{r})=\frac12(1+\bm{n}\cdot\bm{r})$、射影の測定の結果）である。

証明

$\bm{r}_1,\bm{r}_2,\bm{r}_3$ と効果 $e_1,e_2,e_3$ で $e_k(\bm{r}_l)=\delta_{kl}$ になったとする。$e_1=a_1+\bm{b}_1\cdot\bm{r}$ が $\bm{r}_1$ で $1$ をとるので $a_1+\lvert \bm{b}_1\rvert \ge1$、(9.4.3) と合わせて $a_1+\lvert \bm{b}_1\rvert =1$ で、$\bm{b}_1\neq0$（$\bm{b}_1=0$ なら $e_1$ は定数で、$1$ と $0$ の両方はとれない）。最大値 $1$ をとる点は $\bm{r}_1=\bm{b}_1/\lvert \bm{b}_1\rvert$ だけである。同じように $e_1$ が $\bm{r}_2$ と $\bm{r}_3$ で $0$ をとるので $a_1=\lvert \bm{b}_1\rvert$ で、最小値 $0$ をとる点は $-\bm{b}_1/\lvert \bm{b}_1\rvert$ だけである。すると $\bm{r}_2=\bm{r}_3$ となり、$e_2(\bm{r}_2)=1$ と $e_2(\bm{r}_3)=0$ が両立しない。

可逆な変換は球の回転

可逆な変換は、球を球へ写す affine な全単射である。このような写像は球の中心を中心へ写す（中心は球の重心で、affine な全単射は重心を重心へ写す）ので線型で、単位球を単位球へ写す線型写像は直交行列である。したがって Bloch 球の一般確率論の可逆な変換は直交群 $O(3)$ の元である。量子力学のユニタリ変換 $\hat\rho\mapsto\hat U\hat\rho\hat U^\dagger$ は、このうち行列式 $+1$ の回転 $SO(3)$ に当たる。行列式 $-1$ の反転（例えば $\bm{r}\mapsto(r_x,-r_y,r_z)$、すなわち転置 $\hat\rho\mapsto\hat\rho^{\mathsf T}$）は1つの量子ビットの状態空間を状態空間へ写すが、もつれた相手がいると正値性を壊すので、物理的な変換から除かれる。回転の群は連結なので、どの純粋な状態からどの純粋な状態へも、純粋な状態のまま連続に移ることができる。古典の単体の可逆な変換は頂点の置換だけで、連続には移れない。この違いが 第9部第5章 で連続な可逆変換の公理として回収される。

共通例題②：Rabi 振動は球の回転

共通例題②のハミルトニアン $\hat H=-\frac{\hbar\Delta}{2}\sigma_z-\frac{\hbar\Omega}{2}\sigma_x$ を $\hat H=\frac\hbar2\bm{h}\cdot\bm{\sigma}$、$\bm{h}=(-\Omega,0,-\Delta)$ と書く。von Neumann 方程式 $\mathrm{i}\hbar\,\mathrm{d}\hat\rho/\mathrm{d} t=[\hat H,\hat\rho]$ に $\hat\rho=\frac12(\hat 1+\bm{r}\cdot\bm{\sigma})$ を入れ、$[\bm{h}\cdot\bm{\sigma},\bm{r}\cdot\bm{\sigma}]=2\mathrm{i}(\bm{h}\times\bm{r})\cdot\bm{\sigma}$ を使うと

$$\frac{\mathrm{d} \bm{r}}{\mathrm{d} t}=\bm{h}\times\bm{r}\tag{9.4.4}$$

となる。Bloch ベクトルは $-\bm{h}$ の向き、すなわち $\bm{n}=(\Omega,0,\Delta)/\Omega'$ の軸のまわりを角速度 $\Omega'=\sqrt{\Omega^2+\Delta^2}$ で回る。時間発展は球の回転の1径数群で、上の小節の $SO(3)$ の中の連続な道である。$| g \rangle$（$\bm{r}(0)=(0,0,-1)$）から始めると、(9.4.4) の解は

$$r_x=-\frac{2\Delta\Omega}{\Omega'^2}\sin^2\frac{\Omega't}{2},\qquad r_y=-\frac{\Omega}{\Omega'}\sin\Omega't,\qquad r_z=-1+2\Bigl(\frac{\Omega}{\Omega'}\Bigr)^2\sin^2\frac{\Omega't}{2}\tag{9.4.5}$$

である（第9部第2章 で求めた形と同じ。微分して (9.4.4) を満たすことと、$t=0$ の値を検算で確かめた）。回転なので $\lvert \bm{r}\rvert =1$ と、軸への射影 $\bm{r}\cdot\bm{n}=-\Delta/\Omega'$ が保たれる。励起状態 $| e \rangle$ を見つける測定の効果は、(9.4.3) で $a=\frac12$、$\bm{b}=\frac12\bm{e}_z$ とした $e_{\mathrm{ex}}(\bm{r})=\frac12(1+r_z)$ である。これを (9.4.5) に当てると

$$P_e(t)=e_{\mathrm{ex}}\bigl(\bm{r}(t)\bigr)=\Bigl(\frac{\Omega}{\Omega'}\Bigr)^2\sin^2\frac{\Omega't}{2}\tag{9.4.6}$$

となり、共通例題②の正答と同じ形が出る。一般確率論の言葉では、Rabi 振動は「状態空間の点が回転で動き、固定した affine な関数の値を読む」ことである。

緩和は球の縮小：正値性から $T_2\le2T_1$

次に共通例題②に緩和を入れる。Lindblad 方程式で $\hat L=\sqrt\Gamma\,\sigma_-$（自然放出）と $\hat L_\phi=\sqrt{\gamma_\phi/2}\,\sigma_z$（純粋な位相緩和）を入れると、駆動のないときの Bloch 方程式は

$$\frac{\mathrm{d} r_x}{\mathrm{d} t}=-\frac{r_x}{T_2},\quad \frac{\mathrm{d} r_y}{\mathrm{d} t}=-\frac{r_y}{T_2},\quad \frac{\mathrm{d} r_z}{\mathrm{d} t}=-\frac{r_z+1}{T_1},\qquad \frac1{T_1}=\Gamma,\quad \frac1{T_2}=\frac\Gamma2+\gamma_\phi\tag{9.4.7}$$

となる（$\gamma_\phi=1/T_\phi$。Lindblad 方程式の導出は 第4部第5章）。時刻 $t$ までの発展は affine な写像

$$\Phi_t(\bm{r})=\bigl(\lambda r_x,\ \lambda r_y,\ -1+\mu(r_z+1)\bigr),\qquad \lambda=\mathrm{e}^{-t/T_2},\quad \mu=\mathrm{e}^{-t/T_1}\tag{9.4.8}$$

で、球を南極 $(0,0,-1)$（$| g \rangle$）に向かって縮める。

一般確率論の要請 (G4) は、変換が状態空間を状態空間の中へ写すことだけを求める。この要請を (9.4.8) に課すと、$T_1$ と $T_2$ の関係が出てくる。

証明

$\Phi_t$ は affine で、ノルムは凸関数なので、球面の点で $\lvert \Phi_t(\bm{r})\rvert \le1$ を確かめれば球全体で成り立つ。球面の点を $r_z=z$、$r_x^2+r_y^2=1-z^2$ と書くと

$$\lvert \Phi_t(\bm{r})\rvert ^2=f(z)\coloneqq\lambda^2(1-z^2)+(\mu z+\mu-1)^2,\qquad -1\le z\le1$$

である。$f(-1)=1$ なので $f(z)-1=(z+1)g(z)$ と因数分解でき、$g$ は1次式で $g(-1)=f'(-1)=2(\lambda^2-\mu)$、$g(1)=\frac12\bigl(f(1)-1\bigr)=\frac12\bigl((2\mu-1)^2-1\bigr)=2\mu(\mu-1)$ である。

必要性：$\lambda^2>\mu$ なら $g(-1)>0$ で、$z$ が $-1$ の少し上では $f(z)>1$ となり、像が球の外へ出る。十分性：$\lambda^2\le\mu$ なら $g(-1)\le0$、また $0<\mu<1$ から $g(1)<0$ で、1次式 $g$ は $[-1,1]$ で $0$ 以下である。$z+1\ge0$ なので $f(z)\le1$。

$\lambda^2\le\mu$ は $\mathrm{e}^{-2t/T_2}\le\mathrm{e}^{-t/T_1}$、すなわち $2/T_2\ge1/T_1$ で、$t$ によらず $T_2\le2T_1$ と同じである。

(9.4.7) の $1/T_2=1/(2T_1)+1/T_\phi$ は、$1/T_\phi\ge0$ である限り $T_2\le2T_1$ を自動的に満たす。逆に、現象論として $T_1$ と $T_2$ を勝手に与えた Bloch 方程式は、$T_2>2T_1$ だと純粋な状態を球の外（負の固有値を持つ「密度行列」）へ運ぶ。命題 9.4.5 はこの制限を、完全正値性も Lindblad の形も使わず、一般確率論の (G4) だけから出した。量子ビット1つのこの族では、正値性の条件と完全正値性の条件が同じ不等式になる（検算で Choi 行列の正値性と比べて確かめた。近似の数理 第14章の GKSL の定理による $T_2\le2T_1$ と一致する）。