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出発点：Hardy の5つの公理

2026年10月17日8分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第9部 第5章 操作的な公理から量子力学を導く
目次
  1. 2つの数 と
  2. 古典と量子はどの公理を満たすか
  3. 木下の層

AI 生成・木下が未勉強

量子力学の様々な構成方法　第9部 第5章 §9.5.1　★★★ この章の出発点の要請。一般確率論の系を2つの整数 KK（状態の指定に要る確率の数）と NN（区別できる状態の数）で特徴づけ、その間に課す5つの公理を置く

第9部は、基準（第1部第2章）の公理を外から眺め直す部である。第9部第1章 は命題の束が分配律を満たさないことを、第9部第2章 はその束の上の確率が Gleason の定理で Tr⁡(ρ^P^)\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat P) の形に決まることを、第9部第3章 は測る前から値の決まった非文脈的な模型が作れないことを示した。第9部第4章 はさらに一歩下がり、ヒルベルト空間も射影も仮定せず、準備と測定の確率の表だけから状態空間（凸集合）と効果（affine な関数）を組み立てた。その枠の中では古典ビット（線分）も量子ビット（球）も gbit（正方形）も同じ資格で並び、どれが自然界の理論かは何も決まらなかった。第4章の最後の節は、なぜ量子ビットの状態空間が3次元の球なのか、なぜ合成系がテンソル積なのかという問いを、この章へ残した。

この章は、その問いに答える。一般確率論の枠に、物理的にもっともらしい公理を数個だけ足すと、許される理論が有限次元の量子力学ただ1つに絞られる。この方針の最初の完成した形は L. Hardy の5つの公理である（L. Hardy (2001), “Quantum theory from five reasonable axioms”, arXiv:quant-ph/0101012）。その後、公理を整理した Masanes と Müller の5つの要請（L. Masanes and M. P. Müller (2011), New Journal of Physics 13, 063001）と、情報処理の言葉で公理を立てた Chiribella・D'Ariano・Perinotti の導出（G. Chiribella, G. M. D'Ariano and P. Perinotti (2011), Physical Review A 84, 012311）が続いた。

第9部の型（出発点の要請 → 基本の対象 → 基準との同値 → 共通例題 → 得意な問題 → 限界）のうち、この章は「基準との同値」の後半を受け持つ。第4章までは基準を仮定して、その上に何が載るかを調べた。この章は逆向きで、操作的な公理から出発して基準の公理を導き出す。9.5.1節で Hardy の公理と2つの数 KK・NN を置き、9.5.2節で公理から K=NrK=N^r（rr は正の整数）を証明する。9.5.3節で連続性の公理が古典（r=1r=1）を落とし、N=2N=2 の状態空間を球にすることを示し、共通例題②の Rabi 振動を、実数の量子論では書けない例として扱う。9.5.4節で合成系の公理（局所トモグラフィー）が実数と四元数を落として複素数を選ぶことを数え上げで示し、9.5.5節で Chiribella らの純化の公理を扱う。9.5.6節が橋の節で、公理から基準の Q1〜Q6 が出ること（Q5 のユニタリ発展については証明つき）と、有限次元の量子力学が公理をすべて満たすことを両向きに示す。

2つの数 KK と NN

第9部第4章の一般確率論の系では、状態は K−1K-1 個の基準の効果の確率で決まり、規格化の 11 を加えたベクトル (1,e1(s),…,eK−1(s))∈RK(1,e_1(s),\dots,e_{K-1}(s))\in\mathbb{R}^K で表された。Hardy はこの KK を系の自由度と呼ぶ。もう1つの数 NN は、1回の測定で誤りなく区別できる状態の最大の個数で、Hardy はこれを系の次元と呼ぶ。古典の NN 準位系では、状態は NN 個の確率の組（その和が 11）なので K=NK=N である。量子の NN 準位系では、状態は N×NN\times N の密度行列で、エルミート行列の実次元が N2N^2 なので K=N2K=N^2 である。

定義 9.5.1（Hardy の5つの公理）

一般確率論の系（第9部第4章 の (G1)〜(G4)）に、次の5つを課す。

  1. (H1) 確率：決まった準備で用意した nn 個の系に決まった測定を行うと、各結果の相対頻度は n→∞n\to\infty で一定の値（確率）に近づく。
  2. (H2) 単純さ：KK は NN だけで決まる関数 K=K(N)K=K(N)（N=1,2,…N=1,2,\dots）で、各 NN について、ほかの公理と両立する最小の値をとる。
  3. (H3) 部分空間：NN 個の区別できる状態のうち MM 個だけを使う状態（MM 次元の部分空間に制限した状態）の全体は、次元 MM の系と同じようにふるまう。
  4. (H4) 合成系：次元 NA,NBN_A,N_B、自由度 KA,KBK_A,K_B の2つの系を合わせた系は N=NANBN=N_AN_B、K=KAKBK=K_AK_B を満たす。
  5. (H5) 連続性：どの2つの純粋な状態の間にも、連続な可逆の変換がある。

(H1) は確率という言葉を使うための前提で、第9部第4章の一般確率論がすでに置いていたものである。(H2) は、公理と両立する理論のうち最も単純なものを選ぶという要請である。ほかの4つが実験の手順に結びついた動機を持つのに対し、(H2) だけは理論の選び方についての要請になっている。(H3) は、たとえば原子の多数の準位のうち2つしか占有されていないとき、残りの準位を無視して2準位系として扱ってよいという、物理で日常的に使う前提を公理にしたものである。もしこれが成り立たないなら、2準位系の状態空間が、占有されていない準位がいくつあるかに依存してしまう。(H4) の N=NANBN=N_AN_B は、A の区別できる NAN_A 個と B の区別できる NBN_B 個を組にすれば NANBN_AN_B 個の区別できる状態ができることを言う。K=KAKBK=K_AK_B は、合成系の状態が A と B の局所的な測定の結合確率だけで決まること（局所トモグラフィー）を言う。9.5.4節でこの意味を詳しく見る。(H5) の「連続な変換」は、恒等変換から無限小だけ異なる変換を積み重ねて作れる変換の意味である。

古典と量子はどの公理を満たすか

古典確率論は (H1)〜(H4) を満たす。K=NK=N は NN だけで決まり、部分空間に制限した状態は MM 準位の古典系そのもので、2つの系の同時分布は NANBN_AN_B 個の確率で決まる。ところが (H5) は満たさない。古典の NN 準位系の純粋な状態は単体の NN 個の頂点だけで、可逆な変換は頂点の置換に限られる（第9部第4章）。有限個の点の間を連続に移る道は無い。Hardy が論文の冒頭で述べているとおり、(H5) から「連続」の一語を外すと、5つの公理から古典確率論が出てくる。

量子力学は (H1)〜(H5) をすべて満たす（9.5.6節で証明する）。この章の主題は、その逆、すなわち5つの公理を満たす理論が有限次元の量子力学しかないことである。

例題 9.5.1　基準の測定で KK を数える ★★

オリジナル量子の NN 準位系で、Hardy は基準の測定を次のように選んだ。まず1つの正規直交基底 ∣1⟩,…,∣N⟩| 1 \rangle ,\dots,| N \rangle の NN 個の結果の確率をとる。次に、2つの添字 i<ji<j の組ごとに、2次元の部分空間 {∣i⟩,∣j⟩}\{| i \rangle ,| j \rangle \} の中で2つの確率を追加する。

  1. (1) この選び方で数えた確率の個数が N2N^2 になることを示し、N=3N=3 の値を答えよ。
  2. (2) 2つの組で追加する2つの確率として、∣uij⟩=(∣i⟩+∣j⟩)/2| u_{ij} \rangle =(| i \rangle +| j \rangle )/\sqrt2 と ∣vij⟩=(∣i⟩+i∣j⟩)/2| v_{ij} \rangle =(| i \rangle +\mathrm{i}| j \rangle )/\sqrt2 の確率をとる。ρij\rho_{ij} の実部と虚部がこの2つの確率で決まることを示せ。
  3. (3) 量子ビット（N=2N=2）と qutrit（N=3N=3）を合わせた系で (H4) の K=KAKBK=K_AK_B を確かめよ。古典ビットと古典 trit の組ではどうか。
解答

(1) 基底の確率が NN 個、2次元の部分空間が (N2)=N(N−1)/2\binom N2=N(N-1)/2 個、各部分空間で2個なので、合計は N+2⋅N(N−1)2=N2N+2\cdot\frac{N(N-1)}{2}=N^2 である。N=3N=3 では 3+6=93+6=9 で、3×33\times3 のエルミート行列の実次元 99 に等しい。

(2) ⟨uij∣ρ^∣uij⟩=12(ρii+ρjj)+Re⁡ρij\langle u_{ij} | \hat\rho | u_{ij} \rangle =\frac12(\rho_{ii}+\rho_{jj})+\operatorname{Re}\rho_{ij} である。⟨vij∣=(⟨i∣−i⟨j∣)/2\langle v_{ij} |=(\langle i |-\mathrm{i}\langle j |)/\sqrt2 から、交差項は 12(iρij−iρji)=i2(ρij−ρij‾)=−Im⁡ρij\frac12(\mathrm{i}\rho_{ij}-\mathrm{i}\rho_{ji})=\frac{\mathrm{i}}2(\rho_{ij}-\overline{\rho_{ij}})=-\operatorname{Im}\rho_{ij} で、⟨vij∣ρ^∣vij⟩=12(ρii+ρjj)−Im⁡ρij\langle v_{ij} | \hat\rho | v_{ij} \rangle =\frac12(\rho_{ii}+\rho_{jj})-\operatorname{Im}\rho_{ij} である。対角の ρii,ρjj\rho_{ii},\rho_{jj} は基底の確率なので、2つの確率から Re⁡ρij\operatorname{Re}\rho_{ij} と Im⁡ρij\operatorname{Im}\rho_{ij} が決まる。これで ρ^\hat\rho のすべての成分が N2N^2 個の確率で決まる（第9部第2章のトモグラフィーの公式と同じ形）。

(3) 合わせた系は N=6N=6 で、6×66\times6 のエルミート行列の実次元は 36=4×9=KAKB36=4\times9=K_AK_B である。古典の組では N=6N=6、K=6=2×3K=6=2\times3 で、こちらも (H4) を満たす。

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