量子力学の様々な構成方法 第9部 第5章 §9.5.5 ★★ 情報処理の言葉で立てた5つの公理と純化の公理を述べ、純化が古典を除くこと、純化の一意性から操舵が出ることを示す
6つの公理
Chiribella・D'Ariano・Perinotti は、操作的確率論の回路の言葉（準備・変換・測定を線でつないだ図）の上で、次の5つの公理と1つの要請を置いた。5つの公理は、因果性（後の測定の選び方が前の準備の結果の確率を変えない）、完全な識別（完全に混合していない状態には、完全に区別できる別の状態がある）、理想的な圧縮（情報を損なわずに、より小さな系へ可逆に符号化できる）、局所的な識別（合成系の2つの状態は局所的な測定で区別できる）、純粋な条件付け（純粋な状態に測定を行うと、各結果に対して純粋な状態が残る）である。これに純化 の要請を加える。
定義 9.5.7（純化の要請）
どの状態 ρ A \rho_A ρ A Ψ A B \Psi_{AB} Ψ A B ρ A \rho_A ρ A 純化 ）がある。さらに、同じ ρ A \rho_A ρ A Ψ A B \Psi_{AB} Ψ A B Ψ A B ′ \Psi'_{AB} Ψ A B ′ V B V_B V B Ψ A B ′ = ( i d A ⊗ V B ) Ψ A B \Psi'_{AB}=(\mathrm{id}_A\otimes V_B)\Psi_{AB} Ψ A B ′ = ( id A ⊗ V B ) Ψ A B
Chiribella らは、純化を最初に一般確率論の要請として調べた論文（G. Chiribella, G. M. D'Ariano and P. Perinotti (2010), Physical Review A 81, 062348）で、純化だけから複製不可能・テレポーテーション・状態と変換の対応などが出ることを示した。2011 年の論文は、5つの公理を満たす理論のうち純化を満たすものが有限次元の量子力学だけであることを示した。局所的な識別は局所トモグラフィーと同じもので、9.5.4 節の議論がそのまま当てはまる。
古典は純化を満たさない
古典の2つの系を合わせた状態空間は、同時分布の単体である。純粋な状態は頂点、すなわち ( i , j ) (i,j) ( i , j ) 1 1 1 i i i j j j ρ A \rho_A ρ A 第4部第2章 の浄化と Schmidt 分解）。純化の要請は、この量子の性質を公理の位置に置いたものである。
一意性から操舵へ
純化の一意性は、量子の操舵（第4部第3章 ）を公理の言葉で言い直したものになっている。ρ A \rho_A ρ A { p k , ψ k } \{p_k,\psi_k\} { p k , ψ k } { q l , ϕ l } \{q_l,\phi_l\} { q l , ϕ l } ∑ k p k ∣ ψ k ⟩ ∣ k ⟩ \sum_k\sqrt{p_k}| \psi_k \rangle | k \rangle ∑ k p k ∣ ψ k ⟩ ∣ k ⟩ ∑ l q l ∣ ϕ l ⟩ ∣ l ⟩ \sum_l\sqrt{q_l}| \phi_l \rangle | l \rangle ∑ l q l ∣ ϕ l ⟩ ∣ l ⟩ ρ A \rho_A ρ A ρ A \rho_A ρ A
例題 9.5.5 2つの純化と操舵 ★★
オリジナル ρ ^ A = 3 4 ∣ 0 ⟩ ⟨ 0 ∣ + 1 4 ∣ 1 ⟩ ⟨ 1 ∣ \hat\rho_A=\frac34| 0 \rangle \langle 0 |+\frac14| 1 \rangle \langle 1 | ρ ^ A = 4 3 ∣0 ⟩ ⟨ 0∣ + 4 1 ∣1 ⟩ ⟨ 1∣ ( 0 , 0 , 1 2 ) (0,0,\frac12) ( 0 , 0 , 2 1 )
(1) ∣ Ψ 1 ⟩ = 3 / 4 ∣ 00 ⟩ + 1 / 4 ∣ 11 ⟩ | \Psi_1 \rangle =\sqrt{3/4}| 00 \rangle +\sqrt{1/4}| 11 \rangle ∣ Ψ 1 ⟩ = 3/4 ∣00 ⟩ + 1/4 ∣11 ⟩ ∣ Ψ 2 ⟩ = 3 / 4 ∣ 0 ⟩ ∣ + ⟩ + 1 / 4 ∣ 1 ⟩ ∣ − ⟩ | \Psi_2 \rangle =\sqrt{3/4}| 0 \rangle | + \rangle +\sqrt{1/4}| 1 \rangle | - \rangle ∣ Ψ 2 ⟩ = 3/4 ∣0 ⟩ ∣ + ⟩ + 1/4 ∣1 ⟩ ∣ − ⟩ ρ ^ A \hat\rho_A ρ ^ A ∣ ± ⟩ = ( ∣ 0 ⟩ ± ∣ 1 ⟩ ) / 2 | \pm \rangle =(| 0 \rangle \pm| 1 \rangle )/\sqrt2 ∣ ± ⟩ = ( ∣0 ⟩ ± ∣1 ⟩) / 2 (2) ∣ Ψ 1 ⟩ | \Psi_1 \rangle ∣ Ψ 1 ⟩ { ∣ + ⟩ , ∣ − ⟩ } \{| + \rangle ,| - \rangle \} { ∣ + ⟩ , ∣ − ⟩} (3) (2) のアンサンブルの平均が ρ ^ A \hat\rho_A ρ ^ A
解答 (1) ∣ Ψ 1 ⟩ | \Psi_1 \rangle ∣ Ψ 1 ⟩ 3 4 ∣ 0 ⟩ ⟨ 0 ∣ + 1 4 ∣ 1 ⟩ ⟨ 1 ∣ \frac34| 0 \rangle \langle 0 |+\frac14| 1 \rangle \langle 1 | 4 3 ∣0 ⟩ ⟨ 0∣ + 4 1 ∣1 ⟩ ⟨ 1∣ ∣ Ψ 2 ⟩ | \Psi_2 \rangle ∣ Ψ 2 ⟩ ⟨ + ∣ − ⟩ = 0 \langle + | - \rangle =0 ⟨ + ∣ − ⟩ = 0 ρ ^ A \hat\rho_A ρ ^ A H ^ B = 1 2 ( 1 1 1 − 1 ) \hat H_B=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix} H ^ B = 2 1 ( 1 1 1 − 1 ) ∣ 0 ⟩ ↦ ∣ + ⟩ | 0 \rangle \mapsto| + \rangle ∣0 ⟩ ↦ ∣ + ⟩ ∣ 1 ⟩ ↦ ∣ − ⟩ | 1 \rangle \mapsto| - \rangle ∣1 ⟩ ↦ ∣ − ⟩ ∣ Ψ 2 ⟩ = ( 1 ^ ⊗ H ^ B ) ∣ Ψ 1 ⟩ | \Psi_2 \rangle =(\hat1\otimes\hat H_B)| \Psi_1 \rangle ∣ Ψ 2 ⟩ = ( 1 ^ ⊗ H ^ B ) ∣ Ψ 1 ⟩
(2) ∣ Ψ 1 ⟩ = 1 2 [ ( 3 / 4 ∣ 0 ⟩ + 1 / 4 ∣ 1 ⟩ ) ∣ + ⟩ + ( 3 / 4 ∣ 0 ⟩ − 1 / 4 ∣ 1 ⟩ ) ∣ − ⟩ ] | \Psi_1 \rangle =\frac1{\sqrt2}\bigl[(\sqrt{3/4}| 0 \rangle +\sqrt{1/4}| 1 \rangle )| + \rangle +(\sqrt{3/4}| 0 \rangle -\sqrt{1/4}| 1 \rangle )| - \rangle \bigr] ∣ Ψ 1 ⟩ = 2 1 [ ( 3/4 ∣0 ⟩ + 1/4 ∣1 ⟩) ∣ + ⟩ + ( 3/4 ∣0 ⟩ − 1/4 ∣1 ⟩) ∣ − ⟩ ] 1 2 \frac12 2 1 3 / 4 ∣ 0 ⟩ ± 1 / 4 ∣ 1 ⟩ \sqrt{3/4}| 0 \rangle \pm\sqrt{1/4}| 1 \rangle 3/4 ∣0 ⟩ ± 1/4 ∣1 ⟩ r x = ± 2 3 / 4 1 / 4 = ± 3 2 r_x=\pm2\sqrt{3/4}\sqrt{1/4}=\pm\frac{\sqrt3}2 r x = ± 2 3/4 1/4 = ± 2 3 r z = 3 4 − 1 4 = 1 2 r_z=\frac34-\frac14=\frac12 r z = 4 3 − 4 1 = 2 1 ( ± 3 2 , 0 , 1 2 ) \bigl(\pm\frac{\sqrt3}{2},0,\frac12\bigr) ( ± 2 3 , 0 , 2 1 ) 1 1 1
(3) 平均は 1 2 ( 3 2 , 0 , 1 2 ) + 1 2 ( − 3 2 , 0 , 1 2 ) = ( 0 , 0 , 1 2 ) \frac12\bigl(\frac{\sqrt3}2,0,\frac12\bigr)+\frac12\bigl(-\frac{\sqrt3}2,0,\frac12\bigr)=(0,0,\frac12) 2 1 ( 2 3 , 0 , 2 1 ) + 2 1 ( − 2 3 , 0 , 2 1 ) = ( 0 , 0 , 2 1 ) ρ ^ A \hat\rho_A ρ ^ A { ∣ 0 ⟩ , ∣ 1 ⟩ } \{| 0 \rangle ,| 1 \rangle \} { ∣0 ⟩ , ∣1 ⟩} { 3 4 : ∣ 0 ⟩ , 1 4 : ∣ 1 ⟩ } \{\frac34:| 0 \rangle ,\ \frac14:| 1 \rangle \} { 4 3 : ∣0 ⟩ , 4 1 : ∣1 ⟩} ρ ^ A \hat\rho_A ρ ^ A
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
