出発点の要請：yes–no の問いから理論を始める

量子力学の様々な構成方法　第9部 第1章 §9.1.1　★★★ 第9部の出発点。命題の全体に順序と否定を入れ、古典では命題が相空間の部分集合になり分配律が成り立つことを確かめる

第1部の基準（第1部第2章）は、はじめに複素ヒルベルト空間 $\mathcal{H}$ を置き、状態を $\mathcal{H}$ のベクトル、物理量を $\mathcal{H}$ 上のエルミート演算子と決め、確率は Born の規則で与えると要請した。この組み立ては計算には便利だが、組み立ての中からは「なぜ複素数のヒルベルト空間なのか」「なぜ確率が $\lvert \langle a | \psi \rangle \rvert ^2$ の形なのか」の理由が出てこない。第9部は、ヒルベルト空間を前提にせずに実験の側から出発し、どこまでの仮定から基準が組み直せるかを調べる。部の型（出発点の要請 → 基本の対象 → 基準との同値 → 共通例題 → 得意な問題 → 限界）のうち、この章は最初の2つを受け持つ。

第9部では、実験で「はい」か「いいえ」で答えが返る問い（命題）を出発点に置く。どんな測定も「測った値は区間 $\Delta$ に入るか」という問いの集まりに分解できるので、命題の全体を調べれば物理量の全体を調べたことになる。命題の全体には「$a$ ならば $b$」という順序と、「$a$ でない」という否定が入る。この2つから「かつ」「または」が決まり、命題の全体は束と呼ばれる代数の構造を持つ。古典力学では命題は相空間の部分集合で、その束は集合の演算どおりに分配律を満たす（Boole 束）。量子力学では命題はヒルベルト空間の閉部分空間になり、その束は分配律を満たさない。この事実を指摘したのが Birkhoff と von Neumann の 1936 年の論文である（G. Birkhoff and J. von Neumann (1936), Annals of Mathematics 37, 823–843）。量子の束に残る法則は分配律より弱い直交モジュラー律で、2つの命題が分配律を満たすかどうかは、対応する射影が交換するかどうかと同じになる。

章の後半では、状態を「命題の束の上の確率の割り当て」として定義し、基準の Born の規則 $\mu(\hat P)=\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat P)$ がその一例であることを確かめる。逆に、すべての確率の割り当てがこの形になること（Gleason の定理）は次の 第9部第2章 で示す。最後から2番目の節では、射影の束と状態ベクトルの両向きの関係を並べ、共通例題②の Rabi 振動を命題の言葉で書き直す。

命題と、その上の順序と否定

物理量 $A$ を測る実験を考える。測定値が実数の区間 $\Delta$ に入るかどうかを問う問いを「$A\in\Delta$」と書く。この問いは装置の出力に「はい」か「いいえ」のどちらかを返す。物理量 $A$ について知りうることは、すべての区間 $\Delta$ について「$A\in\Delta$」の確率を知ることと同じである（確率分布は区間の確率で決まる）。したがって、物理量の代わりに yes–no の問いを基本の対象に置いても、失われる情報はない。

この部の要請は次の3つである。第一に、命題の全体 $\mathcal L$ は (i) の順序で半順序集合になり、どの2つの命題 $a,b$ にも「$a$ かつ $b$」に当たる最大の下界 $a\wedge b$ と、「$a$ または $b$」に当たる最小の上界 $a\vee b$ がある。第二に、否定 $a^\perp$ は次の節で定める直交補の性質を持つ。第三に、物理系の状態は、各命題に「はい」の確率を割り当てる関数として与えられる。$a$ と $b$ の両方を含意する命題のうちで最も強いものが「$a$ かつ $b$」であるべきなので、第一の要請では「かつ」を最大の下界で定義する。この定義は、2つの問いを同時に測れるかどうかに触れていない。同時に測れない問いの「かつ」も順序だけから決まる点が、量子の場合に分配律が破れる理由になる（9.1.4節）。命題と確率から量子力学を組み立てる方針を体系的に書いたのは Mackey の教科書（G. W. Mackey (1963), Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Benjamin）で、この部の言葉づかいはそれに従う。

古典力学の命題は相空間の部分集合

1粒子の1次元の古典力学では、状態は相空間 $\Gamma=\mathbb{R}^2$ の点 $(q,p)$ で、物理量は $(q,p)$ の関数 $f(q,p)$ である。命題「$f\in\Delta$」が「はい」になる状態の集合は$A=\{(q,p)\,:\,f(q,p)\in\Delta\}$ という相空間の部分集合で、命題はこの部分集合と同一視できる。2つの命題の順序と否定は

$$A\le B\ \Leftrightarrow\ A\subseteq B,\qquad A\wedge B=A\cap B,\qquad A\vee B=A\cup B,\qquad A^\perp=\Gamma\setminus A\eqqcolon A^{\mathrm c}\tag{9.1.1}$$

になる。$A$ と $B$ の両方に含まれる最大の集合が $A\cap B$、両方を含む最小の集合が $A\cup B$ だからである（厳密には Borel 集合に限るが、この章では立ち入らない）。集合の演算には分配律

$$A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)\tag{9.1.2}$$

が成り立つ。左辺の点は $A$ に入り、かつ $B$ か $C$ のどちらかに入る。右辺の点は「$A$ と $B$ に入る」か「$A$ と $C$ に入る」かのどちらかである。点ごとに判定すれば両者は同じ条件になる。

分配律は確率の計算で使っている。状態に不確かさがあって相空間の確率分布 $\mu$ で与えられるとき、$C=B^{\mathrm c}$ と取ると $B\cup B^{\mathrm c}=\Gamma$ なので、分配律から $A=(A\cap B)\cup(A\cap B^{\mathrm c})$ で、右辺の2つは交わらない。よって

$$\mu(A)=\mu(A\cap B)+\mu(A\cap B^{\mathrm c})\tag{9.1.3}$$

が成り立つ。これは「$B$ が真の場合と偽の場合に分けて足す」という全確率の公式そのものである。量子の命題でこの式がどう変わるかを 9.1.5節で調べる。