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束の言葉：交わり・結び・直交補と3つの法則

2026年10月17日6分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第9部 第1章 量子論理：命題の束と分配律の破れ
目次
  1. 束と直交補
  2. 3つの法則
  3. 木下の層

AI 生成・木下が未勉強

量子力学の様々な構成方法　第9部 第1章 §9.1.2　★★ 分配律・モジュラー律・直交モジュラー律の強弱を定義と例で区別する。量子の命題の束の位置を決める物差し

束と直交補

前の節の要請を数学の言葉に直す。

定義 9.1.2（束・直交補束）

半順序集合 (L,≤)(\mathcal L,\le) で、どの2元 a,ba,b にも最大の下界 a∧ba\wedge b（交わり）と最小の上界 a∨ba\vee b（結び）があるものを束と呼ぶ。最小元 00 と最大元 11 を持ち、写像 a↦a⊥a\mapsto a^\perp が

(a⊥)⊥=a,a≤b ⇒ b⊥≤a⊥,a∧a⊥=0,a∨a⊥=1(a^\perp)^\perp=a,\qquad a\le b\ \Rightarrow\ b^\perp\le a^\perp,\qquad a\wedge a^\perp=0,\qquad a\vee a^\perp=1

を満たすとき、a⊥a^\perp を aa の直交補、L\mathcal L を直交補束と呼ぶ。a≤b⊥a\le b^\perp のとき aa と bb は直交するといい、a⊥ba\perp b と書く。

直交補束では De Morgan の法則 (a∨b)⊥=a⊥∧b⊥(a\vee b)^\perp=a^\perp\wedge b^\perp が成り立つ。a≤a∨ba\le a\vee b から (a∨b)⊥≤a⊥(a\vee b)^\perp\le a^\perp、同じく (a∨b)⊥≤b⊥(a\vee b)^\perp\le b^\perp なので(a∨b)⊥≤a⊥∧b⊥(a\vee b)^\perp\le a^\perp\wedge b^\perp である。逆に a⊥∧b⊥≤a⊥a^\perp\wedge b^\perp\le a^\perp の両辺の直交補をとると a≤(a⊥∧b⊥)⊥a\le(a^\perp\wedge b^\perp)^\perp、同様に b≤(a⊥∧b⊥)⊥b\le(a^\perp\wedge b^\perp)^\perp なのでa∨b≤(a⊥∧b⊥)⊥a\vee b\le(a^\perp\wedge b^\perp)^\perp、もう一度直交補をとって a⊥∧b⊥≤(a∨b)⊥a^\perp\wedge b^\perp\le(a\vee b)^\perp を得る。否定の命題は「かつ」と「または」を入れ替えるという、論理の De Morgan の法則がそのまま成り立っている。

3つの法則

定義 9.1.3（分配律・モジュラー律・直交モジュラー律）

直交補束 L\mathcal L が次を満たすとき、それぞれの名で呼ぶ。

分配律：a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c)(すべての a,b,c)モジュラー律：a≤c ⇒ a∨(b∧c)=(a∨b)∧c直交モジュラー律：a≤b ⇒ b=a∨(b∧a⊥)\begin{align*}&\text{分配律：}&& a\wedge(b\vee c)=(a\wedge b)\vee(a\wedge c)\quad(\text{すべての }a,b,c)\tag{9.1.4}\\&\text{モジュラー律：}&& a\le c\ \Rightarrow\ a\vee(b\wedge c)=(a\vee b)\wedge c\tag{9.1.5}\\&\text{直交モジュラー律：}&& a\le b\ \Rightarrow\ b=a\vee(b\wedge a^\perp)\tag{9.1.6}\end{align*}

分配律を満たす直交補束を Boole 束（Boole 代数）と呼ぶ。

3つの法則は、この順に弱くなる。分配律からモジュラー律が出ることは、a≤ca\le c のとき分配律（∧\wedge と ∨\vee を入れ替えた形。直交補束では De Morgan で入れ替えられる）を使ってa∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c)=(a∨b)∧ca\vee(b\wedge c)=(a\vee b)\wedge(a\vee c)=(a\vee b)\wedge c と計算すればわかる。最後の等号は a≤ca\le c から a∨c=ca\vee c=c による。モジュラー律から直交モジュラー律が出ることは、モジュラー律で c=bc=b、bb の位置に a⊥a^\perp を入れると

a∨(a⊥∧b)=(a∨a⊥)∧b=1∧b=ba\vee(a^\perp\wedge b)=(a\vee a^\perp)\wedge b=1\wedge b=b

となることからわかる。逆向きはどれも成り立たない。直交モジュラー律の意味は「aa を含む命題 bb は、aa と、bb のうち aa に直交する部分とに分けられる」で、ヒルベルト空間の言葉では、部分空間 M⊆NM\subseteq N に対して N=M⊕(N∩M⊥)N=M\oplus(N\cap M^\perp) と直和に分けられることに当たる（9.1.4節で示す）。

図 9.1.1 に3つの有限の直交補束を描いた。Hasse 図では、a<ba<b で間にほかの元が無いとき、bb を aa の上に置いて線で結ぶ。(a) は3元集合の部分集合の束で Boole 束、(b) はスピン 12\frac12 の命題の一部を取り出した束（9.1.4節）、(c) は直交補束だが直交モジュラー律を満たさない六角形の束である。

図

図 9.1.1　3つの直交補束の Hasse 図。(a) は分配律を満たす。(b) は分配律を満たさないが直交モジュラー律を満たす（z±z\pm は σz\sigma_z の固有状態、x±x\pm は σx\sigma_x の固有状態の張る直線。直交補は z+↔z−z+\leftrightarrow z-、x+↔x−x+\leftrightarrow x-）。(c) は直交モジュラー律も満たさない。

例題 9.1.2　六角形の束 O6O_6 は直交モジュラーでない ★★

オリジナル図 9.1.1(c) の束 O6O_6 は、6元 0<a<b<10<a<b<1, 0<b⊥<a⊥<10<b^\perp<a^\perp<1 からなり（2本の鎖の元どうしは 00 と 11 以外比べられない）、直交補を a↔a⊥a\leftrightarrow a^\perp, b↔b⊥b\leftrightarrow b^\perp, 0↔10\leftrightarrow1 で定める。

  1. (1) O6O_6 が直交補束であることを確かめよ。
  2. (2) a≤ba\le b について a∨(b∧a⊥)a\vee(b\wedge a^\perp) を計算し、直交モジュラー律が破れることを示せ。
  3. (3) 3元集合の部分集合の束（図 9.1.1(a)）では直交モジュラー律が成り立つ理由を、集合の言葉で述べよ。
解答

(1) 鎖が2本なので、異なる鎖の元 x,yx,y（0,10,1 以外）の交わりは 00、結びは 11 である。同じ鎖の元どうしは大きい方が結び、小さい方が交わりになる。これで任意の2元に交わりと結びがあり、O6O_6 は束である。a∧a⊥a\wedge a^\perp は異なる鎖の元なので 00、a∨a⊥=1a\vee a^\perp=1、bb についても同じ。a<ba<b の直交補は b⊥<a⊥b^\perp<a^\perp で順序が逆になり、(a⊥)⊥=a(a^\perp)^\perp=a も定義どおりである。

(2) bb と a⊥a^\perp は異なる鎖の元なので b∧a⊥=0b\wedge a^\perp=0 で、a∨(b∧a⊥)=a∨0=aa\vee(b\wedge a^\perp)=a\vee0=a。a≠ba\neq b なので b=a∨(b∧a⊥)b=a\vee(b\wedge a^\perp) は成り立たない。「aa を含む bb を、aa と bb のうち aa に直交する部分に分ける」と、bb のうち aa に直交する部分が 00 しか無く、bb を作り直せない。

(3) 集合の束では a≤ba\le b は A⊆BA\subseteq B、b∧a⊥b\wedge a^\perp は B∖AB\setminus A で、A∪(B∖A)=BA\cup(B\setminus A)=B が点ごとに成り立つ。直交補が集合の補集合で与えられる限り、bb の中で aa に入らない部分がいつも残る。

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