この章のまとめ

(1) (8.5.11) で $\varphi=0$。$\xi_{\bm{k}}=0$ なら $E=\Delta$ で $\bm{r}_{\bm{k}}=(1,0,0)$、擬スピンは真横を向き、空と詰まった状態の等しい重ね合わせである。$\xi_{\bm{k}}=\Delta$ なら $E=\sqrt2\Delta$ で $\bm{r}_{\bm{k}}=(1/\sqrt2,0,1/\sqrt2)=(0.7071,0,0.7071)$。どちらも $\lvert \bm{r}_{\bm{k}}\rvert =1$ なので Bloch 球の表面、すなわち純粋状態である。Fermi 球では $\bm{r}_{\bm{k}}=(0,0,\operatorname{sgn}\xi_{\bm{k}})$ で、$\xi=0$ を境に北極から南極へ跳ぶ。BCS 状態は擬スピンを幅 $\Delta$ で連続に倒した積状態である。

(2) (8.5.14) により $\Psi=N_0\Delta\operatorname{arsinh}(\varepsilon _{\mathrm c}/\Delta)=N_0\Delta/\lambda=3.333\,N_0\Delta$（零温度のギャップ方程式 $\lambda\operatorname{arsinh}(\varepsilon _{\mathrm c}/\Delta)=1$ を使った。ここだけは有限の殻の幅が要る）。Fermi 球では $0$。どちらも擬スピンの積状態で、$\hat M_V$ のゆらぎは $2N_0\varepsilon _{\mathrm c}/V$ 以下なので、GNS 表現の中でそれぞれ $\Psi\cdot1$ と $0$ に強収束する（第8部第3章の補題を番号ごとに状態が違う場合へ延ばしたもの）。ユニタリ $U$ で2つの表現が結ばれたとすると $U\hat M_VU^{-1}$ の極限が $\Psi$ と $0$ の両方になり矛盾する。GNS 表現は状態から一意に決まる（第8部第2章）ので、2つの状態は別の表現にいる。

(3) (8.5.12) により $\ln\lvert \langle \mathrm{FS} | \mathrm{BCS}_0 \rangle \rvert =50(1-\pi/2)=-28.54$、重なりは $4.0\times10^{-13}$。励起の数は (8.5.13) により $2\times50=100$（殻の幅を $\lambda=0.3$ の $\varepsilon _{\mathrm c}$ にすると $96.4$）。体積に比例するので、無限体積で重なりは $0$、励起の数は発散し、Shale–Stinespring の条件が破れて BCS 状態は Fermi 球の Fock 表現のどの密度行列でも書くことができない。振動子の鎖では1つあたりの重なり $(\cosh r)^{-1/2}$ と励起の数 $\sinh^2r$ が同じ役をし、Shale の条件 $\sum\sinh^2r_k<\infty$ が破れた。ボース粒子とフェルミ粒子で同じ形の判定になっている。

(4) (8.5.15) により $\ln\lvert \langle \mathrm{BCS}_0 | \mathrm{BCS}_{\pi/2} \rangle \rvert =-50\pi(1-\cos(\pi/4))=-46.01$。$\gamma_{\pi/4}$ は $| \mathrm{BCS}_0 \rangle$ を $| \mathrm{BCS}_{\pi/2} \rangle$ に移す。$\gamma_{\pi/4}$ を実装するユニタリが $| \mathrm{BCS}_0 \rangle$ の表現の中にあれば、$\omega_{\mathrm{BCS}_{\pi/2}}=\omega_{\mathrm{BCS}_0}\circ\gamma_{\pi/4}$ はその表現のベクトル状態になる。しかし $\hat M_V$ の極限は $\Psi$ と $\mathrm{i}\Psi$ で違うので、(2) と同じ論法で2つの表現は同値でない。これは第8部第4章の命題（破れた対称性はユニタリで実装できない）の、裏返しの $\mathbb{Z}_2$ を位相の回転 $U(1)$ に替えた形である。

(5) (8.5.16) により $\operatorname{Var}\hat N=50\pi=157.1$、標準偏差 $12.5$。粒子数を決めた状態はゲージ変換で変わらないので $\hat M_V$ の期待値は $0$。一方、$\hat M_V^\dagger\hat M_V$ はゲージ変換で変わらない量で、位相をそろえた各成分 $\omega_{\mathrm{BCS}_\varphi}$ で $\lvert \Psi\rvert ^2$ に収束するから、その平均の極限も $\lvert \Psi\rvert ^2=11.1\,(N_0\Delta)^2$ である。巨視的な量の分散が $\lvert \Psi\rvert ^2-0\ne0$ に残るので、極限の状態は端点（純粋な相）でなく、(8.5.18) の位相についての平均になる。Curie–Weiss 模型の低温の Gibbs 状態の極限 $\tfrac12(\omega_++\omega_-)$ で $M_N$ の分散が $m^{*2}=0.64$ に残ったのと同じ構造で、相が2点から円周に替わった。