BCS 状態は Fermi 球の Fock 表現の外にいる

量子力学の様々な構成方法　第8部 第5章 §8.5.3　★★★ BCS 状態は対のモードごとの積状態で、Fermi 球との重なりは体積について指数関数的に減り、励起の数は体積に比例して発散する。対の振幅という巨視的な量が2つの表現を見分ける

BCS 状態と擬スピン

BCS の簡約したハミルトニアンと、その平均場の解はハミルトニアンの選び方で固体を考える 第5部第4章で導いてある。ここでは結果だけを使う。Fermi 面から $\varepsilon _{\mathrm c}$ 以内の殻にある波数 $\bm{k}$ ごとに、電子の対のモード $(\bm{k}\uparrow,-\bm{k}\downarrow)$ を考え、

$$| \mathrm{BCS}_\varphi \rangle =\prod_{\bm{k}}\Bigl(u_{\bm{k}}+v_{\bm{k}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}\,\hat c^\dagger_{\bm{k}\uparrow}\hat c^\dagger_{-\bm{k}\downarrow}\Bigr)| 0 \rangle ,\qquad u_{\bm{k}}^2=\frac12\Bigl(1+\frac{\xi_{\bm{k}}}{E_{\bm{k}}}\Bigr),\quad v_{\bm{k}}^2=\frac12\Bigl(1-\frac{\xi_{\bm{k}}}{E_{\bm{k}}}\Bigr)\tag{8.5.9}$$

とおく（$u_{\bm{k}},v_{\bm{k}}\ge0$）。$\varphi$ は対の振幅の位相で、固体の巻は $\varphi=0$ を選んでいる。殻の外では、Fermi 面の下（$\xi_{\bm{k}}<0$）の対はつねに詰まり、上は空いている。ギャップ $\Delta$ は零温度のギャップ方程式 $1=\lambda\operatorname{arsinh}(\varepsilon _{\mathrm c}/\Delta)$ で決まり、$\Delta=\varepsilon _{\mathrm c}/\sinh(1/\lambda)$ である。

1つの対のモードは、空 $| 0_{\bm{k}} \rangle$ と詰まった $| 1_{\bm{k}} \rangle =\hat c^\dagger_{\bm{k}\uparrow}\hat c^\dagger_{-\bm{k}\downarrow}| 0_{\bm{k}} \rangle$ の2つの状態だけをとる（簡約したハミルトニアンは片方だけ詰まった状態を対の状態と混ぜない）。この2次元を1つのスピン $\tfrac12$ とみなすのが Anderson の擬スピンである¹1P. W. Anderson (1958), Phys. Rev. 112, 1900.下の脚注へ閉じる。$\hat P_{\bm{k}}\coloneqq\hat c_{-\bm{k}\downarrow}\hat c_{\bm{k}\uparrow}$ とおくと $\hat P_{\bm{k}}| 1_{\bm{k}} \rangle =| 0_{\bm{k}} \rangle$ で、

$$\tau^z_{\bm{k}}=1-\hat n_{\bm{k}\uparrow}-\hat n_{-\bm{k}\downarrow},\qquad\tau^x_{\bm{k}}=\hat P_{\bm{k}}+\hat P_{\bm{k}}^\dagger,\qquad\tau^y_{\bm{k}}=\mathrm{i}\bigl(\hat P_{\bm{k}}^\dagger-\hat P_{\bm{k}}\bigr)\tag{8.5.10}$$

が Pauli 行列と同じ関係を満たす（空が $\tau^z=+1$）。異なる $\bm{k}$ の擬スピンは、フェルミ粒子の演算子を2つずつ組にしたものなので互いに可換である。(8.5.9) の1つの因子は擬スピンの純粋状態で、Bloch ベクトル（第8部第1章）は

$$\bm{r}_{\bm{k}}=\Bigl(\frac{\Delta}{E_{\bm{k}}}\cos\varphi,\ \frac{\Delta}{E_{\bm{k}}}\sin\varphi,\ \frac{\xi_{\bm{k}}}{E_{\bm{k}}}\Bigr),\qquad\lvert \bm{r}_{\bm{k}}\rvert =1\tag{8.5.11}$$

である。$\langle \tau^x_{\bm{k}} \rangle =2u_{\bm{k}}v_{\bm{k}}\cos\varphi$、$\langle \tau^z_{\bm{k}} \rangle =u^2_{\bm{k}}-v^2_{\bm{k}}$ を使った。Fermi 球では $\bm{r}_{\bm{k}}=(0,0,\operatorname{sgn}\xi_{\bm{k}})$ で擬スピンが $\xi_{\bm{k}}=0$ を境に上から下へ跳ぶ。BCS 状態では幅 $\Delta$ の範囲で連続的に倒れ、Fermi 面の上で真横を向く。

こうして BCS 状態は、対のモードを番号とする擬スピンの鎖の上の積状態になる。前の章までの積状態の議論が、番号ごとに状態が違うことを除けばそのまま使うことができる。擬スピンの模型として BCS 模型を代数の言葉で扱った仕事に Haag²2R. Haag (1962), Nuovo Cimento 25, 287.下の脚注へ閉じると Thirring–Wehrl³3W. Thirring and A. Wehrl (1967), Commun. Math. Phys. 4, 303.下の脚注へ閉じるがある。

Fermi 球との重なりと励起の数

正常な金属の基底状態 $| \mathrm{FS} \rangle$ は、$\xi_{\bm{k}}<0$ の対がすべて詰まり、$\xi_{\bm{k}}>0$ がすべて空いた状態である。$\xi_{\bm{k}}>0$ では $\hat c_{\bm{k}}$、$\xi_{\bm{k}}<0$ では $\hat c^\dagger_{\bm{k}}$ を新しい消滅演算子と読み直すと、$| \mathrm{FS} \rangle$ はそれらの Fock 真空になる。第二量子化の言葉で言う「Fermi 球を真空とする Fock 表現」である（第6部第2章、CAR 代数は第8部第3章）。

$| \mathrm{FS} \rangle$ と $| \mathrm{BCS}_0 \rangle$ の重なりは、対のモードごとの重なりの積で、$\xi_{\bm{k}}>0$ の因子は $u_{\bm{k}}$、$\xi_{\bm{k}}<0$ の因子は $v_{\bm{k}}$ である。$v(-\xi)=u(\xi)$ なので2つの側は同じ寄与をする。殻の中の波数の数は $\mathrm{d}\xi$ あたり $N_0V$（$V$ は体積）なので

$$\begin{aligned} \ln\lvert \langle \mathrm{FS} | \mathrm{BCS}_0 \rangle \rvert &=2N_0V\int_0^{\varepsilon _{\mathrm c}}\ln u(\xi)\,\mathrm{d}\xi =N_0V\Delta\int_0^{\varepsilon _{\mathrm c}/\Delta}\ln\frac{1+x/\sqrt{1+x^2}}{2}\,\mathrm{d} x\\ &\xrightarrow{\;\varepsilon _{\mathrm c}/\Delta\to\infty\;}\;-\Bigl(\frac\pi2-1\Bigr)N_0V\Delta \end{aligned}\tag{8.5.12}$$

となる。最後の積分は部分積分で計算できる（例題 8.5.3）。重なりは体積について指数関数的に減り、無限体積で $0$ になる。

励起の数も同じように数えることができる。$| \mathrm{FS} \rangle$ を真空とする Fock 表現で、Fermi 面より上の電子と下の正孔の数の合計の期待値は

$$\langle \hat N_{\mathrm{exc}} \rangle _{\mathrm{BCS}}=\sum_{\xi_{\bm{k}}>0}2v_{\bm{k}}^2+\sum_{\xi_{\bm{k}}<0}2u_{\bm{k}}^2 =2N_0V\int_0^{\varepsilon _{\mathrm c}}\Bigl(1-\frac{\xi}{E}\Bigr)\mathrm{d}\xi\;\xrightarrow{\;\varepsilon _{\mathrm c}/\Delta\to\infty\;}\;2N_0V\Delta\tag{8.5.13}$$

で、体積に比例して発散する。ここで $\int_0^\infty(1-x/\sqrt{1+x^2})\mathrm{d} x=[x-\sqrt{1+x^2}]_0^\infty=1$ を使った。Fermi 面のまわりの幅 $\Delta$ の殻にある $2N_0V\Delta$ 個ほどの状態が、詰まるか空くかの中間に置かれている、という描像である。

フェルミ粒子の Bogoliubov 変換が Fock 表現のユニタリで実装できる条件は、Shale と Stinespring が与えた⁴4D. Shale and W. F. Stinespring (1965), J. Math. Mech. 14, 315.下の脚注へ閉じる。いまの場合、その条件は「真空からずらす係数の2乗和」$\sum_{\xi_{\bm{k}}>0}v_{\bm{k}}^2+\sum_{\xi_{\bm{k}}<0}u_{\bm{k}}^2$ が有限であることで、(8.5.13) の半分にあたる。無限体積でこれが発散するので、BCS 状態は Fermi 球の Fock 表現のベクトルにも密度行列にもならない。ボース粒子の場合の Shale の条件 $\sum_k\sinh^2r_k<\infty$（前々章）と同じ形である。

対の振幅が表現を見分ける

重なりの計算は有限体積での目安で、表現が違うことの証明には巨視的な観測量を使う。対の振幅の体積平均

$$\hat M_V\coloneqq\frac1V\sum_{\bm{k}\in\text{殻}}\hat P_{\bm{k}},\qquad \omega_{\mathrm{BCS}_\varphi}(\hat M_V)=\frac1V\sum_{\bm{k}}u_{\bm{k}}v_{\bm{k}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}=N_0\Delta\operatorname{arsinh}\frac{\varepsilon _{\mathrm c}}{\Delta}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}=\frac{\Delta}{g}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}\eqqcolon\Psi\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}\tag{8.5.14}$$

をとる。$u_{\bm{k}}v_{\bm{k}}=\Delta/(2E_{\bm{k}})$ と零温度のギャップ方程式を使った。$\Psi=\Delta/g$ は固体の巻の $\Delta=(g/V)\sum'\langle \hat c_{-\bm{k}\downarrow}\hat c_{\bm{k}\uparrow} \rangle$ をそのまま裏返した式である。Fermi 球では各因子が空か詰まった状態で、どちらでも $\hat P_{\bm{k}}$ の期待値が $0$ なので $\omega_{\mathrm{FS}}(\hat M_V)=0$ である。

積状態なので、$\hat M_V$ のゆらぎは番号ごとの分散の和を $V^2$ で割ったものになる。番号ごとの分散は $1$ 以下で、番号の数は $N_0V\cdot2\varepsilon _{\mathrm c}$ だから$\lVert (\hat M_V-\Psi\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi})\xi_{\mathrm{BCS}_\varphi}\rVert ^2\le2N_0\varepsilon _{\mathrm c}/V\to0$。前々章の補題 8.3.4 の証明は、番号ごとの状態が違っても、分散の和が番号の数の2乗より遅く増えればそのまま通る。こうして $\hat M_V$ は BCS 状態の表現で $\Psi\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}\cdot1$、Fermi 球の表現で $0$ に強収束し、定理 8.3.5 と同じ論法で2つの表現はユニタリ同値でない。秩序変数 $\Psi$ が $0$ でないことが、表現が違うことの中身である。

1　P. W. Anderson (1958), Phys. Rev. 112, 1900.

2　R. Haag (1962), Nuovo Cimento 25, 287.

3　W. Thirring and A. Wehrl (1967), Commun. Math. Phys. 4, 303.

4　D. Shale and W. F. Stinespring (1965), J. Math. Mech. 14, 315.