マグノン：1つの表現の中の励起

量子力学の様々な構成方法　第8部 第5章 §8.5.2　★★ 表現を1つ選ぶと、その中の低い励起はスピンを有限個だけ裏返した波（マグノン）で、波数 $0$ の極限は全体の回転につながる。連続な対称性が破れると、エネルギーが $0$ に近づく励起が現れる

GNS 空間の中のハミルトニアン

$\omega_\uparrow$ の GNS 表現の中では、(8.5.2) の基底エネルギーを引いた

$$\hat H_\uparrow\coloneqq\sum_{k\in\mathbb{Z}}\hat h_k=\sum_{k\in\mathbb{Z}}J\Bigl(\frac14-\bm{S}_k\cdot\bm{S}_{k+1}\Bigr)\tag{8.5.6}$$

が意味をもつ。和は無限個の項をもつが、有限個のスピンだけを裏返したベクトルに当てると、裏返ったスピンのまわりの有限本の結合だけが $0$ でない値を返すので、和は有限で止まる。$\hat H_\uparrow\ge0$ で $\hat H_\uparrow\xi_\uparrow=0$、これが第8部第2章の命題 8.2.5 で作った「不変な状態の GNS に載る時間発展の生成子」の具体的な形である。$\hat H_\Lambda$ は $\Lambda\to\infty$ で $E_{0,\Lambda}\to-\infty$ と発散するが、表現を1つ選んで差を取ると、有限の演算子が残る。

1マグノンの状態

位置 $j$ のスピンだけを下に向けたベクトルを $| j \rangle \coloneqq S^-_j\xi_\uparrow$（$S^-=S^x-\mathrm{i} S^y$）と書く。$\hat h_k$ は隣どうしの2つのスピンを入れ替える演算子 $P_{k,k+1}$ を使って$\hat h_k=\tfrac J2(1-P_{k,k+1})$ と書ける（$\bm{S}_k\cdot\bm{S}_{k+1}=\tfrac12P_{k,k+1}-\tfrac14$ による）。$| j \rangle$ に当てると、$j$ をまたぐ2本の結合だけが寄与し

$$\hat H_\uparrow| j \rangle =\frac J2\bigl(2| j \rangle -| j-1 \rangle -| j+1 \rangle \bigr)$$

になる。下向きのスピンが隣へ跳ぶ1粒子の問題である。格子間隔を $a$ として平面波 $| q \rangle \propto\sum_j\mathrm{e}^{\mathrm{i} qja}| j \rangle$ を作ると

$$\hat H_\uparrow| q \rangle =\hbar\nu_q| q \rangle ,\qquad\hbar\nu_q=J\bigl(1-\cos qa\bigr)\approx\frac J2(qa)^2\quad(qa\ll1)\tag{8.5.7}$$

となる。無限の鎖では平面波は規格化できないので、$| q \rangle$ は波束の極限と読む（有限の輪では規格化でき、厳密な固有ベクトルになる。図 8.5.1）。これが1マグノン、すなわちスピン波の量子で、固体の巻の $\hbar\omega_{\bm{k}}=z\lvert J\rvert S(1-\gamma_{\bm{k}})$ で $z=2$・$S=\tfrac12$ とした形と一致する。振動数の記号を $\nu$ にしたのは、$\omega$ を状態に使っているためである。

波数 0 の極限と回転

$q=0$ の「マグノン」は $\sum_jS^-_j\xi_\uparrow=S^-_{\text{全}}\xi_\uparrow$ で、エネルギーは $0$ である。これは全体をわずかに回した基底状態の1次の項にあたる。$\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta\hat S^y_{\text{全}}}| \uparrow^{\otimes N} \rangle =| \uparrow^{\otimes N} \rangle +\tfrac\theta2S^-_{\text{全}}| \uparrow^{\otimes N} \rangle +\mathcal{O}(\theta^2)$ だからである（$\hat S^y=(S^+-S^-)/(2\mathrm{i})$ と $S^+| \uparrow \rangle =0$ を使った）。ただし $\lVert S^-_{\text{全}}\xi_\uparrow\rVert ^2=N$ なので、1次の項の大きさは $\theta\sqrt N/2$ で、$N\to\infty$ では有限の $\theta$ の回転を摂動として扱うことができない。有限の角の回転は、前節で見たように表現の外へ出てしまう。表現の中に残るのは、波数 $q\ne0$ のゆっくりした回転（スピン波）で、そのエネルギーは $q\to0$ で $0$ に近づく。連続な対称性が破れた表現の中にエネルギーが $0$ に近づく励起が現れることは、Goldstone の定理の名で一般に知られている（ここでは名前だけにとどめる）。

有限温度とマグノンの数

$d$ 次元の立方格子に同じ模型を置くと、1マグノンのエネルギーは $\hbar\nu_{\bm{q}}=J\sum_{i=1}^d(1-\cos q_ia)\approx\frac J2(qa)^2$ になる。マグノンを互いに独立なボース粒子とみなす線形スピン波の近似では、熱平衡の1点あたりのマグノンの数は

$$n_{\mathrm{mag}}=\int_{\mathrm{BZ}}\frac{\mathrm{d}^dq\,a^d}{(2\pi)^d}\frac{1}{\mathrm{e}^{\beta\hbar\nu_{\bm{q}}}-1} \;\xrightarrow{\;d=3,\ \text{低温}\;}\;\zeta\!\left(\tfrac32\right)\Bigl(\frac{ k_{\mathrm B} T}{2\pi J}\Bigr)^{3/2}\tag{8.5.8}$$

で、磁化は1点あたり $n_{\mathrm{mag}}$ だけ減る（Bloch の $T^{3/2}$ 則。ハミルトニアンの選び方で固体を考える 第5部第3章）。$d=1,2$ では $q\to0$ の近くで被積分関数が $2/(\beta J(qa)^2)$ のようにふるまい、積分が発散する。これは有限温度で磁化が残れないことの目安で、厳密には Mermin と Wagner が、有限の到達距離の等方的な Heisenberg 模型では1次元と2次元で正の温度に自発磁化が無いことを証明した¹1N. D. Mermin and H. Wagner (1966), Phys. Rev. Lett. 17, 1133.下の脚注へ閉じる。代数の言葉では、1・2次元の正の温度では回転を破った KMS 状態が無いということになる。

1　N. D. Mermin and H. Wagner (1966), Phys. Rev. Lett. 17, 1133.