不変な状態と時間発展：共通例題①

量子力学の様々な構成方法　第8部 第2章 §8.2.5　★★★ 時間発展で変わらない状態の GNS 空間にはユニタリな時間発展が自動で載る。調和振動子の基底状態と熱平衡状態から、スペクトル・占有数・分配関数を出し直す

不変な状態はユニタリな時間発展を運ぶ

証明

$\lVert \pi(\alpha(A))\xi_\omega\rVert ^2=\omega(\alpha(A)^*\alpha(A))=\omega(\alpha(A^*A))=\omega(A^*A)=\lVert \pi(A)\xi_\omega\rVert ^2$ なので、$U$ は矛盾なく定まり長さを保つ。$\alpha^{-1}$ も同じ性質をもつので像は稠密で、$U$ はユニタリに延びる。$A=1$ で $U\xi_\omega=\xi_\omega$。$U\pi(A)\pi(B)\xi_\omega=\pi(\alpha(A)\alpha(B))\xi_\omega=\pi(\alpha(A))U\pi(B)\xi_\omega$ から3つ目の式が出る。

時間発展 $\alpha_t$ で $\omega\circ\alpha_t=\omega$ なら、$U_t$ はユニタリの1径数群になる。$t$ について連続なら Stone の定理により$U_t=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat H_\omega t/\hbar}$ と書ける自己共役な $\hat H_\omega$ があり、$\hat H_\omega\xi_\omega=0$ である。指数の符号が基準の $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}$ と逆なのは、$U_t$ が観測量の側（Heisenberg 描像）の $\alpha_t(A)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}A\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}$ を運ぶためである。基準の構成で $\omega$ が $\hat H$ の固有状態 $| E_0 \rangle$ のベクトル状態なら、$U_t\hat A| E_0 \rangle =\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}\hat A\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}| E_0 \rangle =\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\hat H-E_0)t/\hbar}\hat A| E_0 \rangle$なので $\hat H_\omega=\hat H-E_0$ である。GNS で作り直したハミルトニアンは、エネルギーの差だけを正しく知っていて、基準の値 $E_0$ は $\xi_\omega$ の上で $0$ になるように選ばれる。エネルギーの原点そのものを知るには、ハミルトニアンを観測量として期待値 $\omega(\hat H)$ を計算する必要がある。

共通例題①：基底状態から Fock 空間を作り直す

この節では調和振動子の角周波数を共通例題どおり $\omega$ と書くので、状態は $\varphi$ と書く。観測量の代数は、前の章で導入した Weyl 形式$U(a)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} a\hat p/\hbar}$、$V(b)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} b\hat x/\hbar}$ が生成する CCR 代数で、その元 $W(a,b)\coloneqq\mathrm{e}^{\mathrm{i}(a\hat p+b\hat x)/\hbar}$ を使う。状態は Weyl 演算子の期待値（特性関数）で決まる。基底状態 $\varphi_0$ は

$$\varphi_0\bigl(W(a,b)\bigr)=\exp\Bigl(-\frac{a^2\langle \hat p^2 \rangle _0+b^2\langle \hat x^2 \rangle _0}{2\hbar^2}\Bigr),\qquad \langle \hat x^2 \rangle _0=\frac{\hbar}{2m\omega},\quad\langle \hat p^2 \rangle _0=\frac{\hbar m\omega}2\tag{8.2.8}$$

で与えられる。基準の構成では、これは Gauss 波束の基底状態で $a\hat p+b\hat x$ の分布が平均 $0$ の正規分布になることから出る（正規分布の特性関数 $\langle \mathrm{e}^{\mathrm{i} X} \rangle =\mathrm{e}^{-\langle X^2 \rangle /2}$）。代数的な構成ではこれを出発点に置き、ヒルベルト空間はまだ持たない。

時間発展は $\hat x$ と $\hat p$ の1次式を1次式に移すので、Weyl 演算子を Weyl 演算子に移す。$\alpha_t(W(a,b))=W(a(t),b(t))$、

$$a(t)=a\cos\omega t+\frac{b\sin\omega t}{m\omega},\qquad b(t)=b\cos\omega t-am\omega\sin\omega t\tag{8.2.9}$$

で、これは $\hat x_{\mathrm H}(t)=\hat x\cos\omega t+\hat p\sin\omega t/(m\omega)$、$\hat p_{\mathrm H}(t)=\hat p\cos\omega t-m\omega\hat x\sin\omega t$ を $a\hat p+b\hat x$ に入れて並べ直したものである。(8.2.8) の指数は $\frac{1}{4\hbar}\bigl(a^2m\omega+b^2/(m\omega)\bigr)$ で、これは (8.2.9) の下で変わらない（展開すると交差項が打ち消し合う）。したがって $\varphi_0\circ\alpha_t=\varphi_0$ で、命題 8.2.5 により GNS 空間 $\mathcal{H}_{\varphi_0}$ にユニタリ $U_t=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat H_{\varphi_0}t/\hbar}$ が載る。

$\hat H_{\varphi_0}$ のスペクトルは、GNS 空間の中のベクトル $\pi(V(b))\xi$ の時間相関

$$F(t)\coloneqq\langle \pi(V(b))\xi,\,U_t\,\pi(V(b))\xi\rangle =\varphi_0\bigl(V(b)^*\alpha_t(V(b))\bigr)\tag{8.2.10}$$

の振動数から読める。右辺は期待値の表だけで計算できる。

例題の (2) の Weyl の関係は、Baker–Campbell–Hausdorff の公式 $\mathrm{e}^X\mathrm{e}^Y=\mathrm{e}^{X+Y}\mathrm{e}^{\left[X,\,Y\right]/2}$（$\left[X,\,Y\right]$ が数のとき）から出る。$U(a)=W(a,0)$、$V(b)=W(0,b)$ を入れると前の章の $U(a)V(b)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} ab/\hbar}V(b)U(a)$ に戻る。同じ $F(t)$ は基準の言葉でも出せる。$V(b)| 0 \rangle$ はコヒーレント状態 $| \alpha \rangle$（$\alpha=\mathrm{i} b/\sqrt{2m\hbar\omega}$）で、$\langle \alpha,\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\hat H-E_0)t/\hbar}\alpha\rangle =\sum_n\lvert \langle n | \alpha \rangle \rvert ^2\mathrm{e}^{\mathrm{i} n\omega t}$ と Poisson 分布 $\lvert \langle n | \alpha \rangle \rvert ^2=\mathrm{e}^{-\lvert \alpha\rvert ^2}\lvert \alpha\rvert ^{2n}/n!$ から同じ式が出る。検算スクリプトでは、切り詰めた行列でこの両方を照合した。

熱平衡状態の GNS と分配関数

熱平衡状態 $\varphi_\beta$ も $\alpha_t$ で不変なので、GNS 空間 $\mathcal{H}_{\varphi_\beta}$ にユニタリ $U_t=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat L t/\hbar}$ が載る。ただし $\varphi_\beta$ は純粋でないので、定理 8.2.4 により表現は可約である。第8.2.3節の浄化と同じ形で、$\mathcal{H}_{\varphi_\beta}$ は「系 $\otimes$ 系」と同一視でき、巡回ベクトルは $\xi_\beta=\sum_n\sqrt{p_n}| n \rangle \otimes| n \rangle$（$p_n=\mathrm{e}^{-\beta E_n}/Z$）、生成子は $\hat L=\hat H\otimes1-1\otimes\hat H$ になる（(8.2.6) により、$\alpha_t(A)\hat\rho^{1/2}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}(A\hat\rho^{1/2})\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}$ の右からの積が $-1\otimes\hat H$ を与える）。この形は Takahashi と Umezawa の熱場の量子論の「2倍にした系」と同じものである¹1Y. Takahashi and H. Umezawa (1975), “Thermo field dynamics”, Collective Phenomena 2, 55.下の脚注へ閉じる。$\hat L$ の固有値は $E_n-E_m=\hbar\omega(n-m)$ ですべての整数倍をとり、下に有界でない。純粋な基底状態の $\hat H_{\varphi_0}$ が $0$ 以上だったのと対照的である。

時間相関 (8.2.10) を $\varphi_\beta$ で計算すると、例題と同じ手順で

$$F_\beta(t)=\exp\Bigl(\lvert \alpha\rvert ^2\bigl[(\bar n+1)(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}-1)+\bar n(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}-1)\bigr]\Bigr),\qquad \bar n=\frac1{\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}-1}\tag{8.2.11}$$

となる。$\lvert \alpha\rvert ^2$ の1次では、振動数 $+\omega$ の成分の重みが $\lvert \alpha\rvert ^2(\bar n+1)$、$-\omega$ の成分の重みが $\lvert \alpha\rvert ^2\bar n$ で、比は$\bar n/(\bar n+1)=\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega}$ である。エネルギーを $\hbar\omega$ もらう向きと渡す向きの重みの比が Boltzmann 因子になっている。この比が状態と $\alpha_t$ だけで書けることを、第8部第4章（第8部第4章）で KMS 条件として熱平衡の定義に使う。

分配関数 $Z$ は、代数的な構成では状態の中に直接は現れない。状態 $\varphi_\beta$ は期待値の表であり、規格化 $\varphi_\beta(1)=1$ を済ませたあとの量だからである。それでも $Z$ は $\varphi_\beta(\hat H)$ から作り直せる。基準の構成では $-\partial\ln Z/\partial\beta=\langle \hat H \rangle _\beta$ なので、

$$-\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}=\varphi_\beta(\hat H)=\frac{\hbar\omega}{2}\coth\frac{\beta\hbar\omega}{2}$$

を積分し、$\beta\to\infty$ で基底状態だけが残る条件 $\ln Z+\beta\hbar\omega/2\to0$ で積分定数を決めると、$\ln Z=-\ln\bigl(2\sinh(\beta\hbar\omega/2)\bigr)$、すなわち共通例題①の $Z=1/(2\sinh(\beta\hbar\omega/2))$ が出る。巡回ベクトル $\xi_\beta$ の規格化 $\sum_np_n=1$ も同じ $Z$ を要求する。

1　Y. Takahashi and H. Umezawa (1975), “Thermo field dynamics”, Collective Phenomena 2, 55.