行列代数の GNS は浄化である

量子力学の様々な構成方法　第8部 第2章 §8.2.3　★★★ 有限次元の一般の状態に GNS を当てると、第4部の浄化がそのまま出てくる

Hilbert–Schmidt 空間としての GNS 空間

$\mathfrak A=M_n(\mathbb{C})$、$\omega(A)=\operatorname{Tr}(\hat\rho A)$ とする（前の章で、$M_n(\mathbb{C})$ の状態はすべてこの形に書けることを示した）。$\hat\rho=\sum_{k=1}^rp_k| k \rangle \langle k |$（$p_k>0$、$r$ は $\hat\rho$ の階数）と固有値分解すると、

$$\omega(A^*A)=\operatorname{Tr}(\hat\rho A^*A)=\operatorname{Tr}\bigl((A\hat\rho^{1/2})^*(A\hat\rho^{1/2})\bigr)=\lVert A\hat\rho^{1/2}\rVert _{\mathrm{HS}}^2$$

となる。ここで $\lVert X\rVert _{\mathrm{HS}}^2=\operatorname{Tr}(X^*X)$ は行列の Hilbert–Schmidt ノルム（成分の絶対値の2乗和）で、内積 $\langle X,\,Y\rangle _{\mathrm{HS}}=\operatorname{Tr}(X^*Y)$ で定まる。同じ計算で $\omega(A^*B)=\langle A\hat\rho^{1/2},\,B\hat\rho^{1/2}\rangle _{\mathrm{HS}}$ である。したがって

$$[A]\ \longmapsto\ A\hat\rho^{1/2}\in M_n(\mathbb{C})\tag{8.2.4}$$

は内積を保つ写像で、$\mathcal N_\omega=\{A: A\hat\rho^{1/2}=0\}$、すなわち $\hat\rho$ の台（$| 1 \rangle ,\dots,| r \rangle$ の張る空間）の上で $0$ になる行列の全体である。像は「右側が $\hat\rho$ の台に入っている行列」$X=X\hat P$（$\hat P=\sum_{k\le r}| k \rangle \langle k |$）の全体で、その次元は $n\cdot r$ である。作用は $\pi_\omega(B)X=BX$（左からの積）、巡回ベクトルは $\xi_\omega=\hat\rho^{1/2}$ で、確かに $\langle \hat\rho^{1/2},\,B\hat\rho^{1/2}\rangle _{\mathrm{HS}}=\operatorname{Tr}(\hat\rho B)$。

テンソル積に読み替える

行列の空間 $M_n(\mathbb{C})$ は、線形写像

$$\Phi(X)\coloneqq\sum_{i,j}X_{ij}| i \rangle \otimes| j \rangle \in\mathbb{C}^n\otimes\mathbb{C}^n\tag{8.2.5}$$

で $\mathbb{C}^n\otimes\mathbb{C}^n$ と同一視できる。$\langle \Phi(X),\,\Phi(Y)\rangle =\sum_{ij}\overline{X_{ij}}Y_{ij}=\operatorname{Tr}(X^*Y)$ なので $\Phi$ はユニタリで、左からの積と右からの積はそれぞれ

$$\Phi(BX)=(B\otimes1)\Phi(X),\qquad \Phi(XC)=(1\otimes C^{\mathsf T})\Phi(X)\tag{8.2.6}$$

となる（$\Phi(| u \rangle \langle v |)=| u \rangle \otimes| \overline v \rangle$ で、$| \overline v \rangle$ は成分の複素共役をとったベクトル）。巡回ベクトルは

$$\Phi(\hat\rho^{1/2})=\sum_{k=1}^r\sqrt{p_k}\,| k \rangle \otimes| \overline k \rangle\tag{8.2.7}$$

になる。これは $\hat\rho$ の浄化（第4部の前半 第4部第2章）そのもので、$\pi_\omega(B)=B\otimes1$ は「浄化した大きな系の、もとの系の側だけに当たる観測量」である。まとめると次のようになる。

2つ目の因子の基底は正規直交でありさえすればよいので、$| \overline k \rangle$ を $| k \rangle$ と書き直した。この書き直しは2つ目の因子だけのユニタリであり、定理 8.2.1 の一意性はこの自由度を許している。第4部で示した「浄化は補助系のユニタリを除いて一意」という事実は、GNS の一意性の特別な場合である。純粋状態 $r=1$ では $\mathcal{H}_\omega\cong\mathbb{C}^n$ となり、基準の状態空間がそのまま戻る。忠実な状態（$r=n$、$\hat\rho$ が逆行列をもつ）では $\mathcal{H}_\omega\cong\mathbb{C}^n\otimes\mathbb{C}^n$ で、$n^2$ 次元になる。