純粋状態と既約表現

可約なら混合。$\pi_\omega$ が可約なら、可換子環に射影 $P\ne0,1$ がある。$P\xi_\omega=0$ とすると、すべての $A$ で $P\pi_\omega(A)\xi_\omega=\pi_\omega(A)P\xi_\omega=0$ となり、巡回性から $P=0$ で矛盾する。同様に $(1-P)\xi_\omega\ne0$。$\lambda\coloneqq\lVert P\xi_\omega\rVert ^2\in(0,1)$ とし、

$$\omega_1(A)\coloneqq\frac{\langle P\xi_\omega,\,\pi_\omega(A)P\xi_\omega\rangle }{\lambda},\qquad \omega_2(A)\coloneqq\frac{\langle (1-P)\xi_\omega,\,\pi_\omega(A)(1-P)\xi_\omega\rangle }{1-\lambda}$$

とおく。これらはベクトル状態なので状態であり、$P$ が $\pi_\omega(A)$ と交換することから $P\pi(A)(1-P)=\pi(A)P(1-P)=0$ となって、交差項が消え$\omega=\lambda\omega_1+(1-\lambda)\omega_2$。もし $\omega_1=\omega$ なら、すべての $A,B$ で$\langle \pi(B)\xi_\omega,\,(P-\lambda)\pi(A)\xi_\omega\rangle =\langle \xi_\omega,\,(P-\lambda)\pi(B^*A)\xi_\omega\rangle =\lambda\omega_1(B^*A)-\lambda\omega(B^*A)=0$ となり、稠密性から $P=\lambda1$ で、$P$ が射影であることと $0<\lambda<1$ に矛盾する。したがって $\omega$ は2つの異なる状態の真の凸結合で、混合状態である。

既約なら純粋。$\omega=\lambda\omega_1+(1-\lambda)\omega_2$（$0<\lambda<1$）と書けたとする。$\omega_2$ の正値性から $\lambda\omega_1(A^*A)\le\omega(A^*A)$。稠密な部分空間の上の形式 $b(\pi(A)\xi_\omega,\pi(B)\xi_\omega)\coloneqq\lambda\omega_1(A^*B)$ を考えると、Cauchy–Schwarz の不等式から

$$\lvert \lambda\omega_1(A^*B)\rvert ^2\le\lambda\omega_1(A^*A)\,\lambda\omega_1(B^*B)\le\lVert \pi(A)\xi_\omega\rVert ^2\lVert \pi(B)\xi_\omega\rVert ^2$$

となり、$b$ は矛盾なく定まって有界である。Riesz の表現定理により、$0\le T\le1$ を満たす有界作用素 $T$ で$\langle \pi(A)\xi_\omega,\,T\pi(B)\xi_\omega\rangle =\lambda\omega_1(A^*B)$ となるものがある。$T$ は可換子環に入る。実際、

$$\langle \pi(A)\xi_\omega,\,T\pi(C)\pi(B)\xi_\omega\rangle =\lambda\omega_1\bigl((C^*A)^*B\bigr)=\langle \pi(C^*)\pi(A)\xi_\omega,\,T\pi(B)\xi_\omega\rangle =\langle \pi(A)\xi_\omega,\,\pi(C)T\pi(B)\xi_\omega\rangle .$$

既約なので $T=c1$ で、$A=B=1$ とおけば $c=\lambda$。したがって $\omega_1=\omega$ となり、$\omega$ を異なる2つの状態の真の凸結合には書けない。