CCR 代数を Weyl 形式で定義する

量子力学の様々な構成方法　第8部 第3章 §8.3.1　★★★ 交換関係を有界な Weyl 演算子の関係に直して C*代数を作り、表現に課す正則性の条件を置く。この部の出発点の要請を無限自由度まで使える形にする

前の2つの章（第8部第1章・第8部第2章）で、観測量の C*代数とその上の状態を出発点に置き、状態から GNS 構成でヒルベルト空間を作り直した。行列代数 $M_n(\mathbb{C})$ では、どの純粋状態から出発しても作り直される空間は同じ $\mathbb{C}^n$ だった。この章は、部の型のうち「基準との同値」の後半と「限界」の入口を受け持ち、次の問いに答える。交換関係 $\left[\hat x,\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbar$ を満たす観測量の代数（CCR 代数）を出発点に置いたとき、その表現は本質的に1つなのか、それとも複数あるのか。

答えは自由度の数で分かれる。自由度が有限なら、連続性の弱い条件（正則性）を満たす既約な表現は Schrödinger 表現ただ1つで、これが Stone–von Neumann の定理である。行列力学と波動力学が同じ理論であることは、この定理の1つの帰結にあたる。自由度が無限になると定理は成り立たず、互いにユニタリ同値でない既約表現が無数に現れる。その分かれ方は抽象的な話ではなく、共通例題①の調和振動子を無限個並べ、振動数を全部同じだけ変えるという簡単な操作で起こる。1個の振動子では振動数を変えた基底状態どうしの重なりは$1$ に近い正の数だが、それを無限個掛けると $0$ になる。

章の流れは次のとおりである。第8.3.1節で CCR 代数を Weyl 形式で定義し、正則性の条件を置く。第8.3.2節で Stone–von Neumann の定理を、von Neumann の原論文の射影を使って証明する。第8.3.3節で共通例題①を CCR 代数の表現として書き直す。第8.3.4節で自由度を無限にし、大数の法則の形の補題で表現が分かれることを証明する。第8.3.5節はフェルミ粒子の CAR 代数とスピン鎖で同じことを見る。第8.3.6節が橋の節で、行列力学・第二量子化・自由場（共通例題③）との対応を両向きに示す。

この章では調和振動子の角周波数 $\omega$ がほぼ全部の節に出るので、前の章の第5節と同じく、代数の上の状態を $\varphi$、GNS 構成の巡回ベクトルを $\xi_\varphi$ と書く。

なぜ $\hat x$ と $\hat p$ でなく指数関数を使うか

前々章（第8部第1章）で示したとおり、自己共役な $\hat x$ と $\hat p$ が $\hat x\hat p-\hat p\hat x=\mathrm{i}\hbar$ を満たすことは、有界な元の間では起こらない（Wintner–Wielandt の定理）。C*代数の元はすべて有界なので、交換関係を代数の言葉にするには有界な元に書き直す必要がある。そこで Weyl に従って指数関数をとり、

$$W(a,b)\coloneqq\mathrm{e}^{\mathrm{i}(a\hat p+b\hat x)/\hbar}\qquad(a,b\in\mathbb{R})\tag{8.3.1}$$

を使う。$a$ は長さ、$b$ は運動量の次元をもつ。$W(a,b)$ はユニタリなので有界で、ノルムは $1$ である。$z=(a,b)$ とまとめて書き、

$$\mathsf s(z_1,z_2)\coloneqq a_1b_2-b_1a_2\tag{8.3.2}$$

とおく。$\mathsf s$ は平面 $\mathbb{R}^2$ のシンプレクティック形式（相空間の面積を測る反対称な双線形形式）である。Baker–Campbell–Hausdorff の公式$\mathrm{e}^X\mathrm{e}^Y=\mathrm{e}^{X+Y}\mathrm{e}^{\left[X,\,Y\right]/2}$（$\left[X,\,Y\right]$ が数のとき）に $X=\mathrm{i}(a_1\hat p+b_1\hat x)/\hbar$、$Y=\mathrm{i}(a_2\hat p+b_2\hat x)/\hbar$ を入れると、$\left[X,\,Y\right]=-(a_1b_2\left[\hat p,\,\hat x\right]+b_1a_2\left[\hat x,\,\hat p\right])/\hbar^2=\mathrm{i}(a_1b_2-b_1a_2)/\hbar$ なので

$$W(z_1)W(z_2)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathsf s(z_1,z_2)/(2\hbar)}\,W(z_1+z_2),\qquad W(z)^*=W(-z),\qquad W(0)=1\tag{8.3.3}$$

を得る。これが Weyl の関係で、前の章で使った式と同じものである（$z_1=(a,0)$、$z_2=(0,b)$ とすれば第8部第1章の $U(a)V(b)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} ab/\hbar}V(b)U(a)$ に戻る）。

Schrödinger 表現 $L^2(\mathbb{R})$ では、$\mathrm{e}^{\mathrm{i} a\hat p/\hbar}$ が関数を $a$ だけずらし、$\mathrm{e}^{\mathrm{i} b\hat x/\hbar}$ が位相を掛けるので、

$$\bigl(W(a,b)\psi\bigr)(x)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} ab/(2\hbar)}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} bx/\hbar}\,\psi(x+a)\tag{8.3.4}$$

と具体的に書ける。検算スクリプトでは、この形で (8.3.3) を記号計算で確かめた。

CCR 代数と正則性

このような C*代数が (8.3.3) からただ1つに決まることは知られているが（J. Slawny (1972), Commun. Math. Phys. 24, 151）、ここでは証明しない。必要なのは関係 (8.3.3) そのものだけである。

正則性は「$\hat x$ と $\hat p$ が表現空間の中に存在する」という条件である。正則なら $t\mapsto\pi(W(tz))$ はユニタリの連続な1径数群なので、Stone の定理により自己共役な生成子 $\hat\Phi(z)$ があって $\pi(W(tz))=\mathrm{e}^{\mathrm{i} t\hat\Phi(z)/\hbar}$ と書くことができる。$z=(1,0)$ の生成子が $\hat p$、$z=(0,1)$ の生成子が $\hat x$ にあたる。代数そのものには $\hat x$ も $\hat p$ も入っていないが、正則な表現を選べば、その中で $\hat x$ と $\hat p$ が作り直すことができる。

代数のノルムの中では $W(z)$ は連続でない

代数の中で $\hat x$ を作れない理由は、ノルムで見ると $z\mapsto W(z)$ がまったく連続でないことにある。次の例題でそれを確かめる。

例題の (3) により、$z_1\ne z_2$ なら $\lVert W(z_1)-W(z_2)\rVert =\lVert \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}W(z_2-z_1)-1\rVert =2$ である（$\theta$ は Weyl の関係の位相）。CCR 代数の中で Weyl 演算子どうしは、どれほど近い $z$ でも互いに距離 $2$ だけ離れている。だから $\bigl(W(tz)-1\bigr)/t$ の $t\to0$ の極限は代数のノルムでは存在せず、$\hat x$ や $\hat p$ は代数の元にならない。正則性はノルムの連続性ではなく、ベクトルごとの連続性（(2) の量が $a\to0$ で $0$ に行くこと）を表現の側に要求する条件である。