共通例題①を CCR 代数の表現として書き直す

量子力学の様々な構成方法　第8部 第3章 §8.3.3　★★★ 調和振動子を「CCR 代数＋状態＋時間発展」で書き、Schrödinger・Fock・Bargmann の表示が1つの表現の別の書き方であること、振動数を変えると真空が同じ表現の中で動くことを示す

振動子を代数の言葉で書く

共通例題①を代数的な構成で書くと、次の3つの組になる。

• 観測量の代数：自由度1の CCR 代数 $\mathfrak W(\mathbb{R}^2)$。これは $m$ にも $\omega$ にもよらない。
• 時間発展：$*$自己同型 $\alpha_t(W(a,b))=W(a(t),b(t))$。$(a(t),b(t))$ は前の章で求めた回転で、$\lvert z(t)\rvert _\omega=\lvert z\rvert _\omega$ を保つ。
• 状態：基底状態 $\varphi_0(W(z))=\mathrm{e}^{-\lvert z\rvert _\omega^2/4}$、熱平衡状態 $\varphi_\beta(W(z))=\mathrm{e}^{-\coth(\beta\hbar\omega/2)\lvert z\rvert _\omega^2/4}$。

$m\omega$ は時間発展と状態にだけ入り、代数には入らない。振動子の「物理」は代数の外にある。

時間発展 $\alpha_t$ は相空間 $\mathbb{R}^2$ の線形なシンプレクティック変換（$\mathsf s$ を保つ線形写像）$T_t$ で $W(z)\mapsto W(T_tz)$ と書くことができる。一般に線形なシンプレクティック変換 $T$ は、$W(z)\mapsto W(Tz)$ で CCR 代数の $*$自己同型 $\alpha_T$ を定める（Weyl の関係の位相 $\mathsf s$ が保たれるから）。Schrödinger 表現 $\pi_{\mathrm S}\circ\alpha_T$ は再び正則で既約な表現なので、定理 8.3.2 によりユニタリ $U_T$ があって

$$U_T\,\pi_{\mathrm S}(W(z))\,U_T^{-1}=\pi_{\mathrm S}(W(Tz))\tag{8.3.8}$$

となる。有限自由度では、相空間の線形な正準変換はすべてユニタリで実装される。時間発展なら $U_{T_t}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}$ で、これは前の章の命題（不変な状態の GNS での実装）と同じものを、状態によらずに出したことになる。

Schrödinger・Fock・Bargmann は1つの表現の3つの書き方

共通例題①を解くとき、この巻ではいくつかの表示を使ってきた。波動関数 $\psi(x)$（Schrödinger 表現）、数状態 $| n \rangle$ の係数の列（Fock 表現。第2部第4章の代数的な解き方）、正則関数 $F(\bar\alpha)$（Bargmann 表示。第1部第3章・第10部第4章）である。定理 8.3.2 によれば、3つとも CCR 代数の正則で既約な表現なので互いにユニタリ同値で、ユニタリはスカラー倍を除いて一意である（既約表現の間の絡み写像は Schur の補題によりスカラー倍しかない）。具体的には、Schrödinger から Fock へのユニタリは Hermite 関数への展開 $\psi\mapsto(\langle n | \psi \rangle )_n$ で、Fock から Bargmann へのユニタリは $(c_n)\mapsto\sum_nc_n\bar\alpha^n/\sqrt{n!}$ である。どれを選んでも、振動子の物理（スペクトル・遷移確率・熱平衡）は同じに出る。これが有限自由度で「構成の同値」が成り立つ代数的な理由である。

振動数を変えると、真空は同じ表現の中で動く

同じ CCR 代数の上で、振動数 $\omega$ の振動子と $\omega'$ の振動子は、時間発展と状態だけが違う。$\omega'$ の基底状態 $\varphi_0'$ も正則な純粋状態なので、その GNS 表現は Schrödinger 表現とユニタリ同値で、$\varphi_0'$ は $\omega$ の Fock 空間の中の1つの単位ベクトル $| 0' \rangle$ で表すことができる。その具体的な形を消滅演算子で求める。位置表示の $\hat x$、$\hat p$ を$\hat x=\sqrt{\hbar/(2m\omega)}(\hat a+\hat a^\dagger)$、$\hat p=\mathrm{i}\sqrt{\hbar m\omega/2}(\hat a^\dagger-\hat a)$ と書き、$\hat a'=\sqrt{m\omega'/(2\hbar)}\bigl(\hat x+\mathrm{i}\hat p/(m\omega')\bigr)$ に入れると

$$\hat a'=\frac12\Bigl(\sqrt{\tfrac{\omega'}{\omega}}+\sqrt{\tfrac{\omega}{\omega'}}\Bigr)\hat a+\frac12\Bigl(\sqrt{\tfrac{\omega'}{\omega}}-\sqrt{\tfrac{\omega}{\omega'}}\Bigr)\hat a^\dagger .$$

$\mathrm{e}^{r}\coloneqq\sqrt{\omega'/\omega}$ とおけば

$$\hat a'=\cosh r\,\hat a+\sinh r\,\hat a^\dagger,\qquad r=\tfrac12\ln(\omega'/\omega)\tag{8.3.9}$$

で、これは Bogoliubov 変換（交換関係 $\left[\hat a',\,\hat a'^\dagger\right]=\cosh^2r-\sinh^2r=1$ を保つ線形変換）である。$| 0' \rangle$ は $\hat a'| 0' \rangle =0$ で決まるスクイーズド真空で、位置の幅が $\mathrm{e}^{-r}$ 倍に縮んだ Gauss 関数である（光の巻のスクイーズド状態と同じもの。光学と量子エレクトロニクス 第31章）。

2つの真空の重なりは、波動関数の Gauss 積分 $\int\psi_0\psi_0'\,\mathrm{d} x$ で

$$\langle 0 | 0' \rangle =\Bigl(\frac{2\sqrt{\omega\omega'}}{\omega+\omega'}\Bigr)^{1/2}=\frac{1}{\sqrt{\cosh r}}\tag{8.3.10}$$

となる（$\psi_0\psi_0'\propto\mathrm{e}^{-m(\omega+\omega')x^2/(2\hbar)}$ の積分 $\sqrt{2\pi\hbar/(m(\omega+\omega'))}$ に規格化定数 $(m\omega/\pi\hbar)^{1/4}(m\omega'/\pi\hbar)^{1/4}$ を掛ける。2つ目の等号は $\omega'/\omega=\mathrm{e}^{2r}$ を入れて $2\mathrm{e}^{r}/(1+\mathrm{e}^{2r})=1/\cosh r$）。$| 0' \rangle$ の中の $\omega$ の量子の数は、(8.3.9) を逆に解いた$\hat a=\cosh r\,\hat a'-\sinh r\,\hat a'^\dagger$ から

$$\langle 0' | \hat a^\dagger\hat a | 0' \rangle =\sinh^2r\tag{8.3.11}$$

である。どちらも有限なので、$| 0' \rangle$ は $\omega$ の Fock 空間のちゃんとしたベクトルで、$\varphi_0'$ は $\omega$ の表現の中の正規状態である。

この節の結論は、共通例題①については「表現はいつも同じで、ハミルトニアン（時間発展）が変わると、その表現の中で真空と呼ぶベクトルが変わるだけ」ということである。次の節では、同じ操作を無限個の振動子に一度に施すと、この結論が成り立たなくなることを見る。