量子力学の様々な構成方法 第8部 第3章 §8.3.4 ★★★ 振動子を無限個並べると、振動数を全部変えた真空は元の Fock 空間に入らない。巨視的な平均が表現ごとに違う値をとることで、ユニタリ同値でないことを証明する
無限個の振動子の CCR 代数と積状態
共通例題①の振動子を番号 k = 1 , 2 , 3 , … k=1,2,3,\dots k = 1 , 2 , 3 , … V \mathsf V V z = ( a k , b k ) k ≥ 1 z=(a_k,b_k)_{k\ge1} z = ( a k , b k ) k ≥ 1 k k k 0 0 0 s ( z , z ′ ) = ∑ k ( a k b k ′ − b k a k ′ ) \mathsf s(z,z')=\sum_k(a_kb'_k-b_ka'_k) s ( z , z ′ ) = ∑ k ( a k b k ′ − b k a k ′ ) W ( V ) \mathfrak W(\mathsf V) W ( V ) k k k W k ( a , b ) W_k(a,b) W k ( a , b ) W k W_k W k W l W_l W l s \mathsf s s
各番号の状態を φ k \varphi_k φ k 積状態 φ = ⨂ k φ k \varphi=\bigotimes_k\varphi_k φ = ⨂ k φ k
φ ( ∏ k W k ( z k ) ) ≔ ∏ k φ k ( W k ( z k ) ) (8.3.12) \varphi\Bigl(\prod_kW_k(z_k)\Bigr)\coloneqq\prod_k\varphi_k\bigl(W_k(z_k)\bigr)\tag{8.3.12} φ ( k ∏ W k ( z k ) ) : = k ∏ φ k ( W k ( z k ) ) ( 8.3.12 )
で定める（z z z ω \omega ω φ ω \varphi_\omega φ ω φ ω \varphi_\omega φ ω 第6部第2章 ）である。
この代数の上には、振動数 ω ′ \omega' ω ′ φ ω ′ \varphi_{\omega'} φ ω ′ φ ω ′ \varphi_{\omega'} φ ω ′ ω \omega ω φ ω ′ \varphi_{\omega'} φ ω ′ ω \omega ω ∣ 0 ′ ⟩ | 0' \rangle ∣ 0 ′ ⟩ N N N (8.3.10) の N N N
∣ ⟨ 0 ∣ 0 ′ ⟩ N ∣ = ( cosh r ) − N / 2 → N → ∞ 0 (8.3.13) \lvert \langle 0 | 0' \rangle _N\rvert =(\cosh r)^{-N/2}\xrightarrow{N\to\infty}0\tag{8.3.13} ∣⟨ 0∣ 0 ′ ⟩ N ∣ = ( cosh r ) − N /2 N → ∞ 0 ( 8.3.13 )
である（図 8.3.1 ）。1個ずつは 1 1 1 0 0 0 ∣ 0 ′ ⟩ | 0' \rangle ∣ 0 ′ ⟩ ∣ 0 ⟩ | 0 \rangle ∣0 ⟩ ∣ 0 ⟩ | 0 \rangle ∣0 ⟩
図 8.3.1 振動数 ω \omega ω ω ′ \omega' ω ′ N N N ( cosh r ) − N / 2 (\cosh r)^{-N/2} ( cosh r ) − N /2 r = 1 2 ln ( ω ′ / ω ) r=\tfrac12\ln(\omega'/\omega) r = 2 1 ln ( ω ′ / ω ) N N N N → ∞ N\to\infty N → ∞ 0 0 0 ω ′ / ω = 4 \omega'/\omega=4 ω ′ / ω = 4 N = 62 N=62 N = 62 10 − 3 10^{-3} 1 0 − 3
巨視的な平均の補題
補題 8.3.4（巨視的な平均は数になる ★★★）
1つの番号の有界な観測量 A A A k k k A k A_k A k φ 1 \varphi_1 φ 1 φ \varphi φ ( H φ , π φ , ξ φ ) (\mathcal{H}_\varphi,\pi_\varphi,\xi_\varphi) ( H φ , π φ , ξ φ )
M N ≔ 1 N ∑ k = 1 N π φ ( A k ) (8.3.14) M_N\coloneqq\frac1N\sum_{k=1}^N\pi_\varphi(A_k)\tag{8.3.14} M N : = N 1 k = 1 ∑ N π φ ( A k ) ( 8.3.14 )
は、N → ∞ N\to\infty N → ∞ c 1 c\,1 c 1 c ≔ φ 1 ( A ) c\coloneqq\varphi_1(A) c : = φ 1 ( A ) H φ \mathcal{H}_\varphi H φ η \eta η ∥ ( M N − c ) η ∥ → 0 \lVert (M_N-c)\eta\rVert \to0 ∥( M N − c ) η ∥ → 0
証明 まず η = ξ φ \eta=\xi_\varphi η = ξ φ φ \varphi φ k ≠ l k\ne l k = l φ ( ( A k − c ) ∗ ( A l − c ) ) = φ 1 ( A − c ) ‾ φ 1 ( A − c ) = 0 \varphi\bigl((A_k-c)^*(A_l-c)\bigr)=\overline{\varphi_1(A-c)}\,\varphi_1(A-c)=0 φ ( ( A k − c ) ∗ ( A l − c ) ) = φ 1 ( A − c ) φ 1 ( A − c ) = 0
∥ ( M N − c ) ξ φ ∥ 2 = 1 N 2 ∑ k , l = 1 N φ ( ( A k − c ) ∗ ( A l − c ) ) = 1 N 2 ∑ k = 1 N φ 1 ( ( A − c ) ∗ ( A − c ) ) = φ 1 ( ∣ A − c ∣ 2 ) N → 0. (8.3.15) \lVert (M_N-c)\xi_\varphi\rVert ^2=\frac{1}{N^2}\sum_{k,l=1}^N\varphi\bigl((A_k-c)^*(A_l-c)\bigr)=\frac{1}{N^2}\sum_{k=1}^N\varphi_1\bigl((A-c)^*(A-c)\bigr)=\frac{\varphi_1(\lvert A-c\rvert ^2)}{N}\to0 .\tag{8.3.15} ∥( M N − c ) ξ φ ∥ 2 = N 2 1 k , l = 1 ∑ N φ ( ( A k − c ) ∗ ( A l − c ) ) = N 2 1 k = 1 ∑ N φ 1 ( ( A − c ) ∗ ( A − c ) ) = N φ 1 (∣ A − c ∣ 2 ) → 0. ( 8.3.15 )
次に η = π φ ( B ) ξ φ \eta=\pi_\varphi(B)\xi_\varphi η = π φ ( B ) ξ φ B B B L L L k > L k>L k > L A k A_k A k B B B N > L N>L N > L
( M N − c ) π φ ( B ) ξ φ = 1 N ∑ k = 1 L π φ ( ( A k − c ) B ) ξ φ + π φ ( B ) 1 N ∑ k = L + 1 N π φ ( A k − c ) ξ φ . (M_N-c)\pi_\varphi(B)\xi_\varphi=\frac1N\sum_{k=1}^{L}\pi_\varphi\bigl((A_k-c)B\bigr)\xi_\varphi+\pi_\varphi(B)\,\frac1N\sum_{k=L+1}^{N}\pi_\varphi(A_k-c)\,\xi_\varphi . ( M N − c ) π φ ( B ) ξ φ = N 1 k = 1 ∑ L π φ ( ( A k − c ) B ) ξ φ + π φ ( B ) N 1 k = L + 1 ∑ N π φ ( A k − c ) ξ φ .
第1項のノルムは L ⋅ 2 ∥ A ∥ ∥ B ∥ / N L\cdot2\lVert A\rVert \lVert B\rVert /N L ⋅ 2 ∥ A ∥ ∥ B ∥ / N (8.3.15) と同じ計算で ∥ B ∥ φ 1 ( ∣ A − c ∣ 2 ) / N \lVert B\rVert \sqrt{\varphi_1(\lvert A-c\rvert ^2)/N} ∥ B ∥ φ 1 (∣ A − c ∣ 2 ) / N 0 0 0 η \eta η H φ \mathcal{H}_\varphi H φ ∥ M N − c ∥ ≤ 2 ∥ A ∥ \lVert M_N-c\rVert \le2\lVert A\rVert ∥ M N − c ∥ ≤ 2 ∥ A ∥ N N N η \eta η η ′ \eta' η ′ ∥ ( M N − c ) η ∥ ≤ ∥ ( M N − c ) η ′ ∥ + 2 ∥ A ∥ ∥ η − η ′ ∥ \lVert (M_N-c)\eta\rVert \le\lVert (M_N-c)\eta'\rVert +2\lVert A\rVert \lVert \eta-\eta'\rVert ∥( M N − c ) η ∥ ≤ ∥( M N − c ) η ′ ∥ + 2 ∥ A ∥ ∥ η − η ′ ∥
補題の中身は確率論の大数の法則そのものである。積状態では番号の違う観測量が独立な確率変数のようにふるまい、その標本平均 M N M_N M N 1 / N 1/N 1/ N c 1 c\,1 c 1 巨視的な観測量 と呼ぶ。有限自由度には巨視的な観測量が無いので、この補題は無限自由度に特有のものである。
表現が分かれることの証明
定理 8.3.5（積状態の表現の非同値 ★★★）
各番号の状態がそれぞれ同じ φ 1 \varphi_1 φ 1 φ 1 ′ \varphi_1' φ 1 ′ φ \varphi φ φ ′ \varphi' φ ′ A A A φ 1 ( A ) ≠ φ 1 ′ ( A ) \varphi_1(A)\ne\varphi_1'(A) φ 1 ( A ) = φ 1 ′ ( A ) π φ \pi_\varphi π φ π φ ′ \pi_{\varphi'} π φ ′ φ ′ \varphi' φ ′ π φ \pi_\varphi π φ H φ \mathcal{H}_\varphi H φ ρ ^ \hat\rho ρ ^ φ ′ ( C ) = Tr ( ρ ^ π φ ( C ) ) \varphi'(C)=\operatorname{Tr}(\hat\rho\,\pi_\varphi(C)) φ ′ ( C ) = Tr ( ρ ^ π φ ( C ))
証明 ユニタリ U U U C C C U π φ ( C ) U − 1 = π φ ′ ( C ) U\pi_\varphi(C)U^{-1}=\pi_{\varphi'}(C) U π φ ( C ) U − 1 = π φ ′ ( C ) C = A k C=A_k C = A k U M N U − 1 = M N ′ UM_NU^{-1}=M'_N U M N U − 1 = M N ′ 8.3.4 により左辺は U ( c 1 ) U − 1 = c 1 U(c\,1)U^{-1}=c\,1 U ( c 1 ) U − 1 = c 1 c ′ 1 c'\,1 c ′ 1 c = c ′ c=c' c = c ′
正規状態の主張も同じ形である。φ ′ ( C ) = Tr ( ρ ^ π φ ( C ) ) \varphi'(C)=\operatorname{Tr}(\hat\rho\,\pi_\varphi(C)) φ ′ ( C ) = Tr ( ρ ^ π φ ( C )) ρ ^ = ∑ j p j ∣ η j ⟩ ⟨ η j ∣ \hat\rho=\sum_jp_j| \eta_j \rangle \langle \eta_j | ρ ^ = ∑ j p j ∣ η j ⟩ ⟨ η j ∣ φ ′ ( M N ) = ∑ j p j ⟨ η j , M N η j ⟩ → ∑ j p j c = c \varphi'(M_N)=\sum_jp_j\langle \eta_j,\,M_N\eta_j\rangle \to\sum_jp_jc=c φ ′ ( M N ) = ∑ j p j ⟨ η j , M N η j ⟩ → ∑ j p j c = c c c c ∣ ⟨ η j , M N η j ⟩ ∣ ≤ ∥ A ∥ \lvert \langle \eta_j,\,M_N\eta_j\rangle \rvert \le\lVert A\rVert ∣⟨ η j , M N η j ⟩∣ ≤ ∥ A ∥ φ ′ \varphi' φ ′ φ ′ ( M N ) = c ′ \varphi'(M_N)=c' φ ′ ( M N ) = c ′ N N N c ≠ c ′ c\ne c' c = c ′
振動数を変えた真空に当てる。番号ごとの観測量として A = V ( b ) = e i b x ^ / ℏ A=V(b)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} b\hat x/\hbar} A = V ( b ) = e i b x ^ /ℏ φ 1 ( A ) = exp ( − b 2 / ( 4 m ℏ ω ) ) \varphi_1(A)=\exp(-b^2/(4m\hbar\omega)) φ 1 ( A ) = exp ( − b 2 / ( 4 m ℏ ω )) φ 1 ′ ( A ) = exp ( − b 2 / ( 4 m ℏ ω ′ ) ) \varphi_1'(A)=\exp(-b^2/(4m\hbar\omega')) φ 1 ′ ( A ) = exp ( − b 2 / ( 4 m ℏ ω ′ )) ω ≠ ω ′ \omega\ne\omega' ω = ω ′ ω \omega ω ω ′ \omega' ω ′ φ ω ′ \varphi_{\omega'} φ ω ′ ω \omega ω (8.3.9) の Bogoliubov 変換を全部の番号に同じ r r r ∗ * ∗ (8.3.8) のようにユニタリで実装することはできない。
一般の Bogoliubov 変換がいつユニタリで実装できるかは D. Shale が答えた1 1 D. Shale (1962), “Linear symmetries of free boson fields”, Trans. Amer. Math. Soc. 103 , 149.r k r_k r k ∑ k sinh 2 r k < ∞ \sum_k\sinh^2r_k<\infty ∑ k sinh 2 r k < ∞ (8.3.11) の和が有限」である。重なり ∏ k ( cosh r k ) − 1 / 2 \prod_k(\cosh r_k)^{-1/2} ∏ k ( cosh r k ) − 1/2 ∑ k ln cosh r k < ∞ \sum_k\ln\cosh r_k<\infty ∑ k ln cosh r k < ∞ r k → 0 r_k\to0 r k → 0 ln cosh r k ≈ r k 2 / 2 ≈ sinh 2 r k / 2 \ln\cosh r_k\approx r_k^2/2\approx\sinh^2r_k/2 ln cosh r k ≈ r k 2 /2 ≈ sinh 2 r k /2 r r r N sinh 2 r N\sinh^2r N sinh 2 r
真空をずらす場合も同じである。全部の番号を同じコヒーレント状態 ∣ α ⟩ | \alpha \rangle ∣ α ⟩ ω \omega ω φ 1 ( V ( b ) ) \varphi_1(V(b)) φ 1 ( V ( b )) e i b x ˉ / ℏ \mathrm{e}^{\mathrm{i} b\bar x/\hbar} e i b x ˉ /ℏ x ˉ = 2 ℏ / ( m ω ) Re α \bar x=\sqrt{2\hbar/(m\omega)}\,\operatorname{Re}\alpha x ˉ = 2ℏ/ ( mω ) Re α ∣ ⟨ 0 ∣ α ⟩ ∣ 2 N = e − N ∣ α ∣ 2 → 0 \lvert \langle 0 | \alpha \rangle \rvert ^{2N}=\mathrm{e}^{-N\lvert \alpha\rvert ^2}\to0 ∣⟨ 0∣ α ⟩ ∣ 2 N = e − N ∣ α ∣ 2 → 0 2 2 L. van Hove (1952), “Les difficultés de divergences pour un modèle particulier de champ quantifié”, Physica 18 , 145.
例題 8.3.4 振動数を4倍にした真空を巨視的な平均で見分ける ★★★
オリジナル ω ′ = 4 ω \omega'=4\omega ω ′ = 4 ω A = V ( b ) A=V(b) A = V ( b ) b = m ℏ ω b=\sqrt{m\hbar\omega} b = m ℏ ω
(1) 重なり ( cosh r ) − N / 2 (\cosh r)^{-N/2} ( cosh r ) − N /2 10 − 3 10^{-3} 1 0 − 3 N N N (2) c = φ ω ( A ) c=\varphi_\omega(A) c = φ ω ( A ) c ′ = φ ω ′ ( A ) c'=\varphi_{\omega'}(A) c ′ = φ ω ′ ( A ) (3) ∥ ( M N − c ) ξ φ ∥ \lVert (M_N-c)\xi_\varphi\rVert ∥( M N − c ) ξ φ ∥ N = 10 4 N=10^4 N = 1 0 4 ∣ c − c ′ ∣ \lvert c-c'\rvert ∣ c − c ′ ∣
解答 (1) 前の例題から cosh r = 5 / 4 \cosh r=5/4 cosh r = 5/4 ( 4 / 5 ) N / 2 < 10 − 3 (4/5)^{N/2}<10^{-3} ( 4/5 ) N /2 < 1 0 − 3 N > 2 ln 10 3 / ln ( 5 / 4 ) = 2 × 6.908 / 0.2231 = 61.9 N>2\ln10^3/\ln(5/4)=2\times6.908/0.2231=61.9 N > 2 ln 1 0 3 / ln ( 5/4 ) = 2 × 6.908/0.2231 = 61.9 N N N 62 62 62
(2) b 2 / ( 4 m ℏ ω ) = 1 / 4 b^2/(4m\hbar\omega)=1/4 b 2 / ( 4 m ℏ ω ) = 1/4 c = e − 1 / 4 = 0.779 c=\mathrm{e}^{-1/4}=0.779 c = e − 1/4 = 0.779 ω ′ \omega' ω ′ b 2 / ( 4 m ℏ ω ′ ) = 1 / 16 b^2/(4m\hbar\omega')=1/16 b 2 / ( 4 m ℏ ω ′ ) = 1/16 c ′ = e − 1 / 16 = 0.939 c'=\mathrm{e}^{-1/16}=0.939 c ′ = e − 1/16 = 0.939 0.161 0.161 0.161
(3) A = V ( b ) A=V(b) A = V ( b ) c c c φ 1 ( ∣ A − c ∣ 2 ) = 1 − 2 c 2 + c 2 = 1 − c 2 = 1 − e − 1 / 2 = 0.393 \varphi_1(\lvert A-c\rvert ^2)=1-2c^2+c^2=1-c^2=1-\mathrm{e}^{-1/2}=0.393 φ 1 (∣ A − c ∣ 2 ) = 1 − 2 c 2 + c 2 = 1 − c 2 = 1 − e − 1/2 = 0.393 (8.3.15) から ∥ ( M N − c ) ξ φ ∥ = 0.393 / N \lVert (M_N-c)\xi_\varphi\rVert =\sqrt{0.393/N} ∥( M N − c ) ξ φ ∥ = 0.393/ N N = 10 4 N=10^4 N = 1 0 4 0.0063 0.0063 0.0063 ∣ c − c ′ ∣ = 0.161 \lvert c-c'\rvert =0.161 ∣ c − c ′ ∣ = 0.161 N N N M N M_N M N c c c c ′ c' c ′ M N ′ M'_N M N ′ c ′ c' c ′ N N N
有限の大きな系との関係
実際の物質は有限個の自由度しかもたないので、厳密には Stone–von Neumann の定理の中にいる。それでも無限自由度の表現を使うのは、重なり (8.3.13) が N N N N ∼ 10 23 N\sim10^{23} N ∼ 1 0 23 N N N N = ∞ N=\infty N = ∞ M N M_N M N φ 1 ( ∣ A − c ∣ 2 ) / N \sqrt{\varphi_1(\lvert A-c\rvert ^2)/N} φ 1 (∣ A − c ∣ 2 ) / N 0 0 0
近似の裏付け
型 B（極限） ｜ 小さいもの 1 / N → 0 1/N\to0 1/ N → 0 証明 条件付き（積状態と、有限個の番号の観測量・その平均に限ってこの章の補題で証明。相関のある状態一般は要確認） ｜ 行き先 近似の数理 第13章
1 D. Shale (1962), “Linear symmetries of free boson fields”, Trans. Amer. Math. Soc. 103 , 149.
2 L. van Hove (1952), “Les difficultés de divergences pour un modèle particulier de champ quantifié”, Physica 18 , 145.
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
