フェルミ粒子の CAR 代数とスピン鎖

量子力学の様々な構成方法　第8部 第3章 §8.3.5　★★ フェルミ粒子の反交換関係は有界な元だけで書け、有限個のモードでは行列代数になる。無限個では空の状態と満ちた状態、上向きと横向きのスピン鎖が別の表現に住む

CAR 代数は最初から有界

1粒子のヒルベルト空間 $\mathfrak h$ の元 $f$ ごとに、$f$ について共役線形な $c(f)$ を考え、

$$\{c(f),c(g)^*\}_{+}=\langle f,\,g\rangle \,1,\qquad\{c(f),c(g)\}_{+}=0\tag{8.3.16}$$

を課す。基底 $\{e_k\}$ で $c_k\coloneqq c(e_k)$ と書けば、第二量子化の部の $\{\hat c_k,\hat c_l^\dagger\}_+=\delta_{kl}$（第6部第2章）である。この関係が生成する C*代数を CAR 代数 $\mathfrak A_{\mathrm{CAR}}(\mathfrak h)$ と呼ぶ。ボース粒子と違って、Weyl 形式に直す必要はない。次の命題がその理由である。

CAR 代数の元はすべて有界で、$f\mapsto c(f)$ はノルムで連続である。CCR 代数で必要だった正則性の条件は、フェルミ粒子では自動的に満たされる。

モードが $n$ 個（$\dim\mathfrak h=n$）なら、Jordan–Wigner 変換 $c_k=\sigma_z\otimes\cdots\otimes\sigma_z\otimes\sigma_-\otimes1\otimes\cdots\otimes1$（$\sigma_-\coloneqq\left(\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}\right)$ を $k$ 番目に置く）が (8.3.16) を満たし、$c_k$ と $c_k^*$ の単項式 $4^n$ 個が $M_{2^n}(\mathbb{C})$ 全体を張る（検算スクリプトで $n=3$ の $64$ 個が1次独立であることを確かめた）。したがって $\mathfrak A_{\mathrm{CAR}}(\mathbb{C}^n)\cong M_{2^n}(\mathbb{C})$ で、前の章の結果により既約表現は $\mathbb{C}^{2^n}$ の1つだけである。フェルミ粒子の Stone–von Neumann の定理は、有限個のモードでは「行列代数の既約表現は1つ」という事実に帰着する。

無限個のモード：空の状態と満ちた状態

モードが無限個になると、CAR 代数は行列代数 $M_{2^n}(\mathbb{C})$ を $n\to\infty$ でつないだものの閉包になる。Fock 状態 $\varphi_{\mathrm F}$ は全部のモードが空の状態で、GNS ベクトルは $\pi(c_k)\xi=0$ を満たす。第二量子化の Fock 空間はこの GNS 空間である。一方、全部のモードが満ちた状態 $\varphi_{\mathrm{full}}$（$\pi(c_k^*)\xi=0$）も CAR 代数の純粋状態で、粒子と正孔を入れ替える写像 $c_k\mapsto c_k^*$（$*$自己同型）で $\varphi_{\mathrm F}$ と結ばれる。数演算子 $n_k=c_k^*c_k$ は番号の違うものどうし可換で、$c_j$（$j\ne k$）とも可換である（$n_k$ は $c_k$ を偶数個含むから）。どちらの状態でも $n_k$ の値は番号ごとに確定しているので、補題 8.3.4 の証明がそのまま使え、$\frac1N\sum_kn_k$ は $\varphi_{\mathrm F}$ の表現で $0$、$\varphi_{\mathrm{full}}$ の表現で $1$ に強収束する。したがって2つの GNS 表現はユニタリ同値でない。モードが有限個なら満ちた状態は Fock 空間の1つのベクトル $c_1^*c_2^*\cdots c_n^*| 0 \rangle$ だったが、無限個ではそういうベクトルが無い。

物性の Fermi の海は、波数 $\lvert \bm{k}\rvert <k_{\mathrm F}$ のモードだけが満ちた状態で、有限の箱では粒子数有限の Fock 空間のベクトルである。体積を無限にして密度を有限に保つと、満ちたモードが無限個になり、空の Fock 状態とは別の表現に移る。正孔の Fock 空間（Fermi の海を新しい真空とみなす表現）がこの極限の正しい言葉である。超伝導の BCS 状態は、$c_{\bm{k}\uparrow}^*c_{-\bm{k}\downarrow}^*$ の対をモードごとに一定の振幅で重ねた積状態で、同じ理由で Fock 表現と別の表現にいる。これは第8部第5章（第8部第5章）で扱う。

スピン鎖：全部上向きと全部横向き

第8部第1章で予告したスピン鎖の例も、同じ補題で扱うことができる。サイト $k=1,2,\dots$ ごとに量子ビットの代数 $M_2(\mathbb{C})$ を置き、有限個のサイトの行列のテンソル積をつないだ閉包を観測量の代数（準局所代数）とする。1次元なら Jordan–Wigner 変換で CAR 代数と同じ C*代数になる。全部のサイトが $| \uparrow \rangle$ の積状態 $\varphi_\uparrow$ と、全部のサイトが $| + \rangle =(| \uparrow \rangle +| \downarrow \rangle )/\sqrt2$ の積状態 $\varphi_+$ は、どちらも純粋状態である。サイトごとの観測量を $A=\sigma_z$ にとると、$\varphi_\uparrow(\sigma_z)=1$、$\varphi_+(\sigma_z)=0$ なので、定理 8.3.5 により2つの GNS 表現はユニタリ同値でない。磁化の平均 $\frac1N\sum_k\sigma_z^{(k)}$ という巨視的な観測量が、表現ごとに違う数になる。有限の $N$ サイトでは $| \uparrow\cdots\uparrow \rangle$ も $| +\cdots+ \rangle$ も同じ $\mathbb{C}^{2^N}$ のベクトルで、重なりは $2^{-N/2}$ である。