橋：代数と行列力学・第二量子化・自由場

量子力学の様々な構成方法　第8部 第3章 §8.3.6　★★★ 有限自由度では代数の表現と行列力学・波動力学が両向きに一致することを示し、無限自由度では第二量子化の Fock 空間が多くの表現の1つにすぎないことを、自由場の質量を変える例（共通例題③）で示す

代数から行列力学へ、行列力学から代数へ

同値性の地図（第1部第1章）の「代数 ↔ 行列力学・第二量子化」の橋は、この章と第2部第6章（第2部第6章）・第6部第7章（第6部第7章）が受け持つ。自由度1で両向きを示す。

代数 → 行列力学。正則で既約な表現 $\pi$ をとる。定理 8.3.2 の証明により、射影 $P_\pi$ の像は1次元で、その単位ベクトル $| 0 \rangle$ は $\varphi_0$ を与える。正則性から $\hat x$、$\hat p$ が生成子として作れ、$\hat a=\sqrt{m\omega/(2\hbar)}(\hat x+\mathrm{i}\hat p/(m\omega))$ は $\hat a| 0 \rangle =0$ を満たす（$\varphi_0$ の特性関数を $a,b$ で微分すると $\lVert \hat a| 0 \rangle \rVert ^2=\langle \hat a^\dagger\hat a \rangle _0=0$ が出る）。$| n \rangle \coloneqq(\hat a^\dagger)^n| 0 \rangle /\sqrt{n!}$ は正規直交基底で、その上で

$$\langle n | \hat x | n+1 \rangle =\sqrt{\frac{(n+1)\hbar}{2m\omega}},\qquad \langle n | \hat p | n+1 \rangle =-\mathrm{i}\sqrt{\frac{(n+1)\hbar m\omega}{2}}\tag{8.3.17}$$

である。これは Heisenberg・Born・Jordan が調和振動子について書いた行列そのもので（第2部第1章・第4章）、$\hat x\hat p-\hat p\hat x=\mathrm{i}\hbar$ を満たす。

行列力学 → 代数。逆に、Heisenberg の行列 (8.3.17) が与えられたとする。有限個の成分しかもたない列ベクトルの上で $a\hat p+b\hat x$ は対称で、その閉包は自己共役である（このベクトルは $\hat H$ の固有ベクトルの有限和なので、$a\hat p+b\hat x$ の解析ベクトルになる）。指数関数 $W(a,b)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}(a\hat p+b\hat x)/\hbar}$ を作ると、$\left[\hat x,\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbar$ と Baker–Campbell–Hausdorff の公式から Weyl の関係 (8.3.3) が成り立ち、$(a,b)\mapsto W(a,b)$ は強連続なので、正則な表現が得られる。したがって行列力学は CCR 代数の1つの正則表現で、波動力学（Schrödinger 表現）も別の1つである。定理 8.3.2 により両者はユニタリ同値で、ユニタリは Hermite 関数への展開である。1926 年に Schrödinger が示した行列力学と波動力学の同値（第1部第4章 第1部第4章）は、代数の言葉ではこの1行に収まる。

第二量子化の Fock 空間は表現の1つ

無限自由度では、第二量子化の Fock 空間（第6部第2章）は、全部のモードが真空の状態 $\varphi_{\mathrm F}$ の GNS 表現である。1粒子空間 $\mathfrak h$ の $f$ について $W(f)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\hat a(f)+\hat a(f)^\dagger)/\sqrt2}$ と書けば、$\varphi_{\mathrm F}(W(f))=\mathrm{e}^{-\lVert f\rVert ^2/4}$ で、これは (8.3.12) の積状態を1粒子空間の言葉で書いたものである。逆向きの橋は第8.3.2節の証明と同じ形で、「すべての $\hat a(f)$ で消されるベクトルを含む正則な表現は、Fock 表現の直和である」。この節までで見た、振動数を変えた真空・コヒーレントにずらした真空・満ちた Fermi の海・有限温度の状態は、どれもこのようなベクトルを含まない表現で、そこでは全粒子数の演算子を定義することができない。全粒子数が有限に定義できる表現は Fock 表現の直和に限ることが知られている（G.-F. Dell'Antonio, S. Doplicher and D. Ruelle (1966), Commun. Math. Phys. 2, 223 の補題2.3）。有限の密度で無限に広がった自由ボース気体の熱平衡状態の表現は H. Araki と E. J. Woods が具体的に作った¹1H. Araki and E. J. Woods (1963), “Representations of the canonical commutation relations describing a nonrelativistic infinite free Bose gas”, J. Math. Phys. 4, 637.下の脚注へ閉じる。熱平衡の表現は次の章（第8部第4章）で KMS 条件として扱う。

共通例題③：自由場の質量を変える

共通例題③の自由粒子を場にしたもの、つまり質量 $m$ の自由スカラー場を一辺 $L$、体積 $V=L^3$ の箱（周期境界条件）で考える。波数 $\bm{k}$ のモードごとに、実の基準振動が1個ずつあり、それぞれ角周波数 $\omega_{\bm{k}}=c\sqrt{\lvert \bm{k}\rvert ^2+\kappa^2}$（$\kappa=mc/\hbar$）の調和振動子である（第6部第1章）。場の真空は全部のモードの基底状態の積状態で、質量を $m'$ に変えた場の真空は、各モードの振動数を $\omega'_{\bm{k}}=c\sqrt{\lvert \bm{k}\rvert ^2+\kappa'^2}$ に変えた積状態である。2つの真空の重なりは (8.3.10) をモードごとに掛けたもので、

$$\ln\langle 0_m | 0_{m'} \rangle =-\frac12\sum_{\bm{k}}\ln\cosh r_{\bm{k}},\qquad r_{\bm{k}}=\frac14\ln\frac{\lvert \bm{k}\rvert ^2+\kappa'^2}{\lvert \bm{k}\rvert ^2+\kappa^2}\tag{8.3.18}$$

になる。箱が大きいと和は $V\int\mathrm{d}^3k/(2\pi)^3$ に置き換えられ、$u=\lvert \bm{k}\rvert /\kappa$ とおくと

$$\ln\langle 0_m | 0_{m'} \rangle =-\tilde c\,V\kappa^3,\qquad \tilde c=\frac{1}{4\pi^2}\int_0^\infty u^2\ln\cosh r(u)\,\mathrm{d} u\tag{8.3.19}$$

である。大きい $u$ では $r(u)\approx(\kappa'^2-\kappa^2)/(4\kappa^2u^2)$、$\ln\cosh r\approx r^2/2$ なので被積分関数は $u^{-2}$ で減り、積分は収束する（図 8.3.2）。重なりが $0$ に行く原因は短い波長の発散でなく、体積 $V$ に比例して増えるモードの数である。$V\to\infty$ で重なりは $0$ になり、定理 8.3.5 と同じ議論（各モードの $V(b)$ の平均を巨視的な観測量にとる）で、質量の違う自由場の真空の表現は互いにユニタリ同値でない。同じ場の代数の上でも、ハミルトニアンが違えば真空は別の表現に住む。相互作用のある場で同じことが起きるという主張が Haag の定理で、相互作用描像を無限の体積でそのまま使えない理由になっている。

この章の橋の一覧

この章で示した対応を、式で並べておく。

1　H. Araki and E. J. Woods (1963), “Representations of the canonical commutation relations describing a nonrelativistic infinite free Bose gas”, J. Math. Phys. 4, 637.