Stone–von Neumann の定理

まず Schrödinger 表現で $P_{\mathrm S}$ の積分核を計算する。(8.3.4) から $\langle x | W(a,b) | y \rangle =\mathrm{e}^{\mathrm{i} ab/(2\hbar)}\mathrm{e}^{\mathrm{i} bx/\hbar}\delta(y-x-a)$ なので、$a$ の積分は $a=y-x$ を代入するだけで済み、

$$\langle x | P_{\mathrm S} | y \rangle =\frac{1}{2\pi\hbar}\,\mathrm{e}^{-m\omega(y-x)^2/(4\hbar)}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-b^2/(4m\omega\hbar)}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} b(x+y)/(2\hbar)}\,\mathrm{d} b .$$

$b$ の積分は Gauss 積分 $\int\mathrm{e}^{-\alpha b^2+\mathrm{i} kb}\mathrm{d} b=\sqrt{\pi/\alpha}\,\mathrm{e}^{-k^2/(4\alpha)}$ で、$\alpha=1/(4m\omega\hbar)$、$k=(x+y)/(2\hbar)$ とおくと$\sqrt{4\pi m\omega\hbar}\,\mathrm{e}^{-m\omega(x+y)^2/(4\hbar)}$ になる。$(y-x)^2+(x+y)^2=2(x^2+y^2)$ を使うと

$$\langle x | P_{\mathrm S} | y \rangle =\frac{\sqrt{4\pi m\omega\hbar}}{2\pi\hbar}\,\mathrm{e}^{-m\omega(x^2+y^2)/(2\hbar)}=\Bigl(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\Bigr)^{1/2}\mathrm{e}^{-m\omega x^2/(2\hbar)}\mathrm{e}^{-m\omega y^2/(2\hbar)}=\psi_0(x)\psi_0(y)$$

で、$\psi_0(x)=(m\omega/(\pi\hbar))^{1/4}\mathrm{e}^{-m\omega x^2/(2\hbar)}$ は基底状態の波動関数である。したがって $P_{\mathrm S}=| 0 \rangle \langle 0 |$ で、(8.3.7) の3つの式は Schrödinger 表現では成り立つ（3つ目は $| 0 \rangle \langle 0 |W| 0 \rangle \langle 0 |=\varphi_0(W)| 0 \rangle \langle 0 |$）。

次に一般の正則な表現 $\pi$ に移す。$P_\pi\pi(W(z))P_\pi$ は2重の積分 $\int\!\!\int\mathrm{e}^{-\lvert z_1\rvert _\omega^2/4-\lvert z_2\rvert _\omega^2/4}\pi(W(z_1)W(z)W(z_2))$ で、Weyl の関係 (8.3.3) で積を $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta(z_1,z,z_2)}\pi(W(z_1+z+z_2))$ にまとめ、$w=z_1+z+z_2$ に変数を変えれば

$$P_\pi\,\pi(W(z))\,P_\pi=\int_{\mathbb{R}^2}h_z(w)\,\pi(W(w))\,\mathrm{d}^2w$$

の形になる。関数 $h_z$ は Weyl の関係の位相と Gauss の重みだけから決まり、表現 $\pi$ によらない。$P_\pi^2$ と $P_\pi^*$ も同じく、表現によらない関数 $g$ を使って$\int g(w)\pi(W(w))\mathrm{d}^2w$ と書くことができる。

ここで、Schrödinger 表現では写像 $g\mapsto\int g(w)\pi_{\mathrm S}(W(w))\mathrm{d}^2w$ が単射であることを使う。積分核は$\int\mathrm{d} b\,g(y-x,b)\mathrm{e}^{\mathrm{i}(y-x)b/(2\hbar)}\mathrm{e}^{\mathrm{i} bx/\hbar}$ で、$a=y-x$ を止めると $b$ についての Fourier 変換になっているので、核が $0$ なら $g=0$ である。Schrödinger 表現では $P_{\mathrm S}W(z)P_{\mathrm S}=\mathrm{e}^{-\lvert z\rvert _\omega^2/4}P_{\mathrm S}$ が成り立つから、両辺の積分の中身を比べて$h_z(w)=\mathrm{e}^{-\lvert z\rvert _\omega^2/4}\,\mathrm{e}^{-\lvert w\rvert _\omega^2/4}/(2\pi\hbar)$ である。この等式は関数の等式なので、どの表現 $\pi$ に入れても成り立ち、$P_\pi\pi(W(z))P_\pi=\mathrm{e}^{-\lvert z\rvert _\omega^2/4}P_\pi$ が出る。$P_\pi^2=P_\pi$、$P_\pi^*=P_\pi$ も同じ議論で出る。

(i) $P_\pi\ne0$ である。仮に $P_\pi=0$ なら、すべての $z$ で $\pi(W(z))^*P_\pi\pi(W(z))=0$ である。Weyl の関係で左辺を計算すると$\frac{1}{2\pi\hbar}\int\mathrm{e}^{-\lvert w\rvert _\omega^2/4}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathsf s(w,z)/\hbar}\pi(W(w))\mathrm{d}^2w$ になる（$W(-z)W(w)W(z)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathsf s(w,z)/\hbar}W(w)$）。ベクトル $u,v$ をとって $F(w)\coloneqq\mathrm{e}^{-\lvert w\rvert _\omega^2/4}\langle u,\,\pi(W(w))v\rangle$ とおくと、これは積分できる連続関数で、その Fourier 変換が $z$ のすべてで $0$ になる。したがって $F=0$ で、$w=0$ とおけば $\langle u,\,v\rangle =0$ がすべての $u,v$ で成り立つ。これは表現空間が $\{0\}$ でない限り矛盾である。

(ii) $\mathcal K\coloneqq P_\pi\mathcal{H}$（$P_\pi$ の像）の単位ベクトル $v$ を1つとると、(8.3.7) により$\langle v,\,\pi(W(z))v\rangle =\langle v,\,P_\pi\pi(W(z))P_\pi v\rangle =\mathrm{e}^{-\lvert z\rvert _\omega^2/4}$。つまり $v$ が与えるベクトル状態は基底状態 $\varphi_0$ そのものである。$v$ が生成する部分空間 $\mathcal{H}_v\coloneqq\overline{\pi(\mathfrak W)v}$ の上の表現は、GNS 構成の一意性（第8部第2章）により $\varphi_0$ の GNS 表現とユニタリ同値である。Schrödinger 表現でも $| 0 \rangle$ は $\varphi_0$ を与え巡回的なので、$\varphi_0$ の GNS 表現は Schrödinger 表現である。よって $\mathcal{H}_v$ の上で $\pi\cong\pi_{\mathrm S}$。

(iii) $v,v'\in\mathcal K$ が直交するなら $\mathcal{H}_v$ と $\mathcal{H}_{v'}$ も直交する。実際$\langle \pi(W(z))v,\,\pi(W(z'))v'\rangle =\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\langle v,\,P_\pi\pi(W(z'-z))P_\pi v'\rangle =\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\mathrm{e}^{-\lvert z'-z\rvert _\omega^2/4}\langle v,\,v'\rangle =0$ である。$\mathcal K$ の正規直交基底 $\{v_j\}$ をとれば、$\bigoplus_j\mathcal{H}_{v_j}$ の上で $\pi\cong\pi_{\mathrm S}\otimes1_{\mathcal K}$。

(iv) 直交補空間 $\mathcal{H}'\coloneqq(\bigoplus_j\mathcal{H}_{v_j})^\perp$ は $\pi$ で不変で、その上の表現も正則である。$\mathcal{H}'$ の中の $P$ を (i) と同じく作ると、それは $P_\pi$ を $\mathcal{H}'$ に制限したものだが、$P_\pi$ の像はすべて $\bigoplus_j\mathcal{H}_{v_j}$ に入っているので $0$ になる。(i) により $\mathcal{H}'=\{0\}$。

以上で $\mathcal{H}=\bigoplus_j\mathcal{H}_{v_j}$、$\pi\cong\pi_{\mathrm S}\otimes1_{\mathcal K}$ が示された。$\pi$ が既約なら $\dim\mathcal K=1$ で、$\pi\cong\pi_{\mathrm S}$ である。