Stone–von Neumann の定理

$W(z)^\dagger=W(-z)$（(2.6.10) で $z_2=-z_1$ とおくと $W(z_1)W(-z_1)=1$）と $g(-z)=g(z)$ から $P^\dagger=\int g(z)W(-z)\mathrm{d}^2z=P$。

2つ目の式を示す。$PW(z)P=\int\!\!\int g(z_1)g(z_2)W(z_1)W(z)W(z_2)\,\mathrm{d}^2z_1\mathrm{d}^2z_2$ で、Weyl の関係を2回使うと

$$W(z_1)W(z)W(z_2)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}[\mathsf s(z_1,z)+\mathsf s(z_1+z,z_2)]/2}\,W(z_1+z+z_2).$$

$z_2$ を $w\coloneqq z_1+z+z_2$ に取り替えると、$\mathsf s(u,u)=0$ から $\mathsf s(z_1+z,z_2)=\mathsf s(z_1+z,w)$ なので、位相は$\tfrac12[\mathsf s(z_1,z)+\mathsf s(z_1,w)+\mathsf s(z,w)]=\tfrac12[\mathsf s(z_1,z+w)+\mathsf s(z,w)]$ になる。よって

$$PW(z)P=\int h_z(w)\,W(w)\,\mathrm{d}^2w,\qquad h_z(w)=\int g(z_1)\,g(w-z-z_1)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}[\mathsf s(z_1,z+w)+\mathsf s(z,w)]/2}\,\mathrm{d}^2z_1 .\tag{2.6.14}$$

$h_z$ は表現によらない数の積分で、$z_1=(a_1,b_1)$ についての2次元の Gauss 積分である。指数の $z_1$ の2次の部分は$-\tfrac14\lvert z_1\rvert ^2-\tfrac14\lvert z_1\rvert ^2=-\tfrac12\lvert z_1\rvert ^2$、1次の部分は $\tfrac12z_1\cdot(w-z)+\tfrac{\mathrm{i}}2\mathsf s(z_1,z+w)$ である。$c\coloneqq w-z$、$d\coloneqq z+w$ とおき、$\mathsf s(z_1,d)=a_1d_b-b_1d_a$ を使って完全平方にすると

$$\int\mathrm{e}^{-\lvert z_1\rvert ^2/2+z_1\cdot k}\,\mathrm{d}^2z_1=2\pi\,\mathrm{e}^{k\cdot k/2},\qquad k=\tfrac12\bigl(c_a+\mathrm{i} d_b,\;c_b-\mathrm{i} d_a\bigr)$$

（$k$ は複素ベクトルで、$k\cdot k$ は複素共役をとらない和）。$k\cdot k=\tfrac14(\lvert c\rvert ^2-\lvert d\rvert ^2)+\tfrac{\mathrm{i}}2(c_ad_b-c_bd_a)$ で、$\lvert c\rvert ^2-\lvert d\rvert ^2=-4z\cdot w$、$c_ad_b-c_bd_a=\mathsf s(c,d)=\mathsf s(w-z,z+w)=2\mathsf s(w,z)$ である。残りの指数 $-\tfrac14\lvert w-z\rvert ^2+\tfrac{\mathrm{i}}2\mathsf s(z,w)$ とまとめると

$$h_z(w)=\frac{2\pi}{(2\pi)^2}\exp\Bigl[-\frac{z\cdot w}{2}+\frac{\mathrm{i}}{2}\mathsf s(w,z)-\frac{\lvert w-z\rvert ^2}{4}+\frac{\mathrm{i}}{2}\mathsf s(z,w)\Bigr] =\frac{1}{2\pi}\mathrm{e}^{-\lvert z\rvert ^2/4}\mathrm{e}^{-\lvert w\rvert ^2/4}=\mathrm{e}^{-\lvert z\rvert ^2/4}g(w)$$

となる（$\lvert w-z\rvert ^2+2z\cdot w=\lvert w\rvert ^2+\lvert z\rvert ^2$、$\mathsf s(w,z)+\mathsf s(z,w)=0$）。(2.6.14) に戻すと $PW(z)P=\mathrm{e}^{-\lvert z\rvert ^2/4}P$ である。この等式は Weyl の関係だけから出たので、どの表現でも成り立つ（検算スクリプトでは Gauss 積分を公式で記号的に行い、1点で数値の2重積分とも照合した）。

3つ目の式は、2つ目の式に $W(0)=1$ を入れたものである。

(i) $P\ne0$ を示す。$W(-z)PW(z)$ を Weyl の関係で計算すると $W(-z)W(w)W(z)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathsf s(w,z)}W(w)$ なので$W(-z)PW(z)=\int g(w)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathsf s(w,z)}W(w)\,\mathrm{d}^2w$ である。仮に $P=0$ なら、任意の $u,v$ について関数 $F(w)\coloneqq g(w)\langle u,\,W(w)v\rangle$ が$\int F(w)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathsf s(w,z)}\mathrm{d}^2w=0$ をすべての $z$ で満たす。$\mathsf s(w,z)=w_ab-w_ba$ は $w$ について線形なので、これは $F$ の2次元 Fourier 変換がいたるところ $0$ という意味で、$F$ は積分できる連続関数だから $F=0$。$w=0$ とおくと $\langle u,\,v\rangle =0$ がすべての $u,v$ で成り立ち、$\mathcal{H}=\{0\}$ でない限り矛盾する。

(ii) $\mathcal K\coloneqq P\mathcal{H}$（$P$ の像）は補題により閉部分空間で、(i) より $\{0\}$ でない。$\mathcal K$ の単位ベクトル $v,v'$ について、補題を使うと

$$\begin{aligned} \langle W(z_1)v,\,W(z_2)v'\rangle &=\langle v,\,W(-z_1)W(z_2)v'\rangle =\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathsf s(-z_1,z_2)/2}\langle v,\,PW(z_2-z_1)Pv'\rangle \\ &=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathsf s(-z_1,z_2)/2}\mathrm{e}^{-\lvert z_2-z_1\rvert ^2/4}\langle v,\,v'\rangle . \end{aligned}\tag{2.6.15}$$

Schrödinger 表現では $P_{\mathrm S}=| 0 \rangle \langle 0 |$（共通例題①の基底状態 $\psi_0(x)=\pi^{-1/4}\mathrm{e}^{-x^2/2}$ への射影。第8部第3章で積分核を計算した）なので、同じ式が $v=v'=\psi_0$ で成り立つ。

(iii) $v\in\mathcal K$ を単位ベクトルとし、有限和 $\sum_jc_jW_{\mathrm S}(z_j)\psi_0$ を $\sum_jc_jW(z_j)v$ に写す写像 $\mathcal V_v$ を考える。(2.6.15) により内積が両側で等しいので、$\mathcal V_v$ はノルムを保ち、矛盾なく定義される。Schrödinger 表現ではベクトル $W_{\mathrm S}(z)\psi_0$（コヒーレント状態）の有限和が $L^2(\mathbb{R})$ で稠密である（$f$ がすべてのコヒーレント状態と直交すれば、$f$ の Bargmann 変換が恒等的に $0$ で $f=0$）。したがって $\mathcal V_v$ は $L^2(\mathbb{R})$ から、$v$ が生成する閉部分空間$\mathcal{H}_v\coloneqq\overline{\operatorname{span}}\{W(z)v\}$ への等長な全射、すなわちユニタリ写像に延びる。Weyl の関係から $W(z)\mathcal V_v=\mathcal V_vW_{\mathrm S}(z)$ が有限和の上で成り立ち、連続性で全体に延びる。

(iv) $\mathcal K$ の正規直交基底 $\{v_j\}$ をとる。$\langle v_j,\,v_k\rangle =0$ なら (2.6.15) により $\mathcal{H}_{v_j}$ と $\mathcal{H}_{v_k}$ は直交する。直交補空間 $\mathcal{H}'\coloneqq(\bigoplus_j\mathcal{H}_{v_j})^\perp$ は $W(z)$ で不変（$W(z)^\dagger=W(-z)$ も各 $\mathcal{H}_{v_j}$ を保つ）なので、$P$ も $\mathcal{H}'$ を保つ。$\mathcal{H}'\ne\{0\}$ なら、$\mathcal{H}'$ に制限した表現に (i) を当てて $P\mathcal{H}'\ne\{0\}$ となるが、$P\mathcal{H}'\subset\mathcal K\cap\mathcal{H}'$ は $\{0\}$ である（$\mathcal K$ の元は $v_j$ の和で $\bigoplus\mathcal{H}_{v_j}$ に入る）。よって $\mathcal{H}'=\{0\}$ で、$\mathcal{H}=\bigoplus_j\mathcal{H}_{v_j}\cong L^2(\mathbb{R})\otimes\mathcal K$ である。

既約なら $\mathcal{H}_v$ が不変な閉部分空間なので $\mathcal{H}_v=\mathcal{H}$、(iv) から $\dim\mathcal K=1$ となる。自由度 $f$ では $z\in\mathbb{R}^{2f}$、$g$ を $\mathbb{R}^{2f}$ の Gauss 関数にして同じ議論がそのまま成り立つ。有限性を使う場所は、$g$ が $\mathbb{R}^{2f}$ の上で積分できることだけである。

$\hbar=\ell=1$ で書く。(2.6.15) で $z_1=0$ とおき、$U(a)V(b)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} ab/2}W(a,b)$ を使うと $\chi(a,b)\coloneqq\langle v,\,U(a)V(b)v\rangle =\mathrm{e}^{\mathrm{i} ab/2}\mathrm{e}^{-(a^2+b^2)/4}$ である。$b\mapsto\langle v,\,V(b)v\rangle =\mathrm{e}^{-b^2/4}$ は $b=0$ で2回微分できるので、スペクトル分解から $v$ は $\hat x$ の定義域に入り $\lVert \hat xv\rVert ^2=-\partial_b^2\mathrm{e}^{-b^2/4}|_0=1/2$。$\hat p$ も同様に $1/2$。混ざった微分は、$\chi=\langle U(-a)v,\,V(b)v\rangle$ と書き直すと $\partial_a\partial_b\chi|_0=\langle -\mathrm{i}\hat pv,\,\mathrm{i}\hat xv\rangle =-\langle \hat pv,\,\hat xv\rangle$ で、$\chi$ の式から左辺は $\mathrm{i}/2$ なので $\langle \hat pv,\,\hat xv\rangle =-\mathrm{i}/2$、したがって $\langle \hat xv,\,\hat pv\rangle =\mathrm{i}/2$ である。これらを入れると

$$\lVert (\hat x+\mathrm{i}\hat p)v\rVert ^2=\lVert \hat xv\rVert ^2+\lVert \hat pv\rVert ^2+\mathrm{i}\langle \hat xv,\,\hat pv\rangle -\mathrm{i}\langle \hat pv,\,\hat xv\rangle =\tfrac12+\tfrac12-\tfrac12-\tfrac12=0 .$$

よって $\hat av=0$。