交換関係だけでは表現は決まらない：Weyl の形

量子力学の様々な構成方法　第2部 第6章 §2.6.3　★★★ 交換関係 $[\hat x,\hat p]=\mathrm{i}\hbar$ を稠密な部分空間で満たす組には、Schrödinger の組と同値でないものがある。交換関係をユニタリ演算子の関係（Weyl の形）に直すと、問いが正しく立つ

交換関係の表現の問い

交換関係 $\left[\hat x,\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbar$ を満たす自己共役な演算子の組 $(\hat x,\hat p)$ をヒルベルト空間 $\mathcal{H}$ の上に与えることを、交換関係の表現と呼ぶ。2つの表現 $(\hat x,\hat p)$ on $\mathcal{H}$、$(\hat x',\hat p')$ on $\mathcal{H}'$ がユニタリ同値であるとは、ユニタリ写像 $\mathcal V:\mathcal{H}\to\mathcal{H}'$ があって$\hat x'=\mathcal V\hat x\mathcal V^{-1}$、$\hat p'=\mathcal V\hat p\mathcal V^{-1}$ となることをいう。同値な表現はすべての期待値と確率を同じに与えるので、物理として区別がつかない。基準の公理 Q1〜Q6 と行列力学が同じ理論であることは、「どの表現を選んでも Schrödinger の表現と同値」と言えれば保証される。ただし、表現を直和でいくつも重ねる自由（たとえば内部の自由度をもつ粒子 $L^2(\mathbb{R})\otimes\mathbb{C}^2$）は残るので、主張は「既約な表現は1つ」の形になる。

有限次元にはそもそも表現が無い（トレースをとると左辺が $0$、右辺が $\mathrm{i}\hbar\dim\mathcal{H}$）。無限次元では、交換関係をどの定義域で要求するかで答えが変わる。

区間の運動量：交換関係は満たすが同値でない

例題 2.6.2 の (3) の族を使う。$\mathcal{H}=L^2(0,L)$ の上で、$\hat x$ を $x$ を掛ける演算子、$\hat p_\theta$ を境界条件 $\psi(L)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\psi(0)$ をもつ $-\mathrm{i}\hbar\,\mathrm{d}/\mathrm{d} x$ とする。$\hat p_\theta$ は自己共役で、固有関数は $\mathrm{e}^{\mathrm{i} k x}$（$\mathrm{e}^{\mathrm{i} kL}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$）、固有値は

$$p_n(\theta)=\frac{(2\pi n+\theta)\hbar}{L},\qquad n\in\mathbb{Z}\tag{2.6.8}$$

である。$\mathcal{H}$ の中の、$(0,L)$ の内側で台をもつ滑らかな関数の空間 $\mathcal D_0$ は稠密で、$\hat x$ と $\hat p_\theta$ の両方で自分自身に写り、そこでは$\left[\hat x,\,\hat p_\theta\right]\psi=\mathrm{i}\hbar\psi$ がどの $\theta$ でも成り立つ（台が内側にあるので境界の値は計算に入らず、$\theta$ は現れない）。

それでも、この組は Schrödinger の組と同値でない。理由は2つある。第一に、区間の $\hat x$ は有界（$\lVert \hat x\rVert \le L$）で、Schrödinger の $\hat x$ は有界でない。第二に、$\theta$ の違う組どうしも同値でない。図 2.6.2 のように、$\hat p_\theta$ のスペクトル (2.6.8) は $\theta$ ごとに違う離散集合で、ユニタリ写像はスペクトルを変えないからである（$\theta$ と $\theta+2\pi$ は同じ）。交換関係を稠密な部分空間で満たすという条件だけでは、表現は1つに決まらない。

Weyl の形

H. Weyl は 1927 年に、交換関係を有界なユニタリ演算子の関係として書く形を出した¹1H. Weyl (1927), Zeitschrift für Physik 46, 1–46。経緯は第1部第4章。下の脚注へ閉じる。運動量の並進 $U(a)\coloneqq\mathrm{e}^{\mathrm{i} a\hat p/\hbar}$ と位置の位相 $V(b)\coloneqq\mathrm{e}^{\mathrm{i} b\hat x/\hbar}$ をまとめて

$$W(a,b)\coloneqq\mathrm{e}^{\mathrm{i}(a\hat p+b\hat x)/\hbar},\qquad \mathsf s(z_1,z_2)\coloneqq a_1b_2-b_1a_2\quad(z=(a,b)\in\mathbb{R}^2)\tag{2.6.9}$$

とおく（記号は第8部第3章と同じにした）。$\mathrm{e}^X\mathrm{e}^Y=\mathrm{e}^{X+Y}\mathrm{e}^{\left[X,\,Y\right]/2}$（$\left[X,\,Y\right]$ が数のとき）に交換関係を入れると

$$W(z_1)W(z_2)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathsf s(z_1,z_2)/(2\hbar)}\,W(z_1+z_2),\qquad U(a)V(b)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} ab/\hbar}V(b)U(a)\tag{2.6.10}$$

を得る。Schrödinger 表現では $(U(a)\psi)(x)=\psi(x+a)$、$(V(b)\psi)(x)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} bx/\hbar}\psi(x)$ で、(2.6.10) は直接確かめられる。

正則なら、Stone の定理（定理 2.6.3）で $U(a)$ と $V(b)$ の自己共役な生成子 $\hat p$ と $\hat x$ が取り出せる。Weyl の形は交換関係より強い条件で、区間の組 $(\hat x,\hat p_\theta)$ はこれを満たさない。次の例題でそれを確かめる。

区間（あるいは円）の上で交換関係が離散的な格子の上でしか Weyl の形にならないことは、第2部第5章の Josephson 接合の位相 $\varphi$ と電荷 $n$ にも当てはまる。$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}$ は1つずらすだけの演算子で、$n$ を連続にずらす演算子は無い。そのため $n_{\mathrm g}$ で番号づけた同値でない表現が並び、スペクトルが $n_{\mathrm g}$ に依った。

1　H. Weyl (1927), Zeitschrift für Physik 46, 1–46。経緯は第1部第4章。