回路を力学系として書く

量子力学の様々な構成方法　第2部 第5章 §2.5.1　★★ 節点の磁束を座標に選ぶと、コンデンサのエネルギーが運動エネルギー、インダクタのエネルギーがポテンシャルになり、共役な運動量は電荷になる

行列力学の部の型（出発点の要請 → 基本の対象 → 基準との同値 → 共通例題 → 得意な問題 → 限界）の中で、この章は「得意な問題」を受け持つ。第2部第2章で、正準量子化を次の処方として定めた。古典の Hamilton 系を入力にとり、正準変数の Poisson 括弧 $\{q,p\}=1$ を交換関係 $\left[\hat q,\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbar$ に置き換え、Hamiltonian の変数に帽子を付けて演算子にし、ヒルベルト空間はその交換関係の表現として後から得る。この処方は「何が粒子か」「波動関数は何の関数か」を問わない。Hamilton 形式で書ける系なら、何にでも当てることができる。

この章では、その処方を電気回路に当てる。回路の変数は電荷と電圧と電流で、粒子の位置はどこにも出てこない。それでも、コンデンサとインダクタだけの回路は Lagrangian を持ち、節点の磁束（電圧の時間積分）を座標に選ぶと、正準共役な運動量はコンデンサの電荷になる。処方を当てれば $\left[\hat\Phi,\,\hat Q\right]=\mathrm{i}\hbar$ が出て、LC 回路は共通例題①の調和振動子そのものになる。回路にはもう1つ、超伝導の Josephson 接合という非線形な素子があり、そのエネルギーは磁束の周期関数 $-E_{\mathrm J}\cos(2\pi\Phi/\Phi_0)$ である。これを足すと、等間隔でない準位を持つ「人工の原子」ができ、その最低の2準位を切り出すと共通例題②の2準位系になる。

回路が正準量子化の得意な問題である理由は2つある。1つ目は、回路の Hamiltonian が「電荷だけの関数」と「磁束だけの関数」の和になり、第2部第2章で見た演算子の順序の曖昧さが起きないこと。2つ目は、回路の設計者が静電容量とインダクタンスを選べるので、量子化した結果（振動数・非調和性・結合の強さ）を設計の式として使えることである。回路の古典の Lagrangian の組み方は解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部第15章にあり、この章はそこで得た古典の系を量子化する側を受け持つ。

節点の磁束

回路の大きさが扱う電磁波の波長より十分小さいとき、回路は「集中定数」の素子（コンデンサ・インダクタ・接合）を導線でつないだものとして書くことができる。例えば振動数 $5\,\mathrm{GHz}$ の真空中の波長は $6\,\mathrm{cm}$ で、チップ上の $100\,\mu\mathrm m$ 程度の素子はこの条件を満たす。

基準の節点（接地）を1つ決め、ほかの節点の電位 $V(t)$ を時間で積分した量

$$\Phi(t)=\int_{-\infty}^{t}V(t')\,\mathrm{d} t',\qquad \dot\Phi=V\tag{2.5.1}$$

を節点の磁束と呼ぶ。単位は $\mathrm{V\,s}=\mathrm{Wb}$ で、インダクタの両端にこの節点があれば、Faraday の法則 $V=\mathrm{d}(\text{鎖交磁束})/\mathrm{d} t$ によりインダクタを貫く磁束に一致する。この $\Phi$ を回路の座標に選ぶ。

静電容量 $C$ のコンデンサのエネルギーは $CV^2/2=C\dot\Phi^2/2$ で、速度 $\dot\Phi$ の2次式だから運動エネルギーの役をする。インダクタンス $L_{\mathrm{ind}}$ のインダクタのエネルギーは $L_{\mathrm{ind}}I^2/2=\Phi^2/(2L_{\mathrm{ind}})$（$\Phi=L_{\mathrm{ind}}I$）で、座標だけの関数だからポテンシャルの役をする。インダクタンスに添字 ind を付けるのは Lagrangian $L$ と区別するためである（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部第15章と同じ流儀）。

LC 回路の Lagrangian と Hamiltonian

コンデンサとインダクタを並列につないだ LC 回路（図 2.5.1 の左）の節点は1つで、Lagrangian は

$$L(\Phi,\dot\Phi)=\frac{C}{2}\dot\Phi^2-\frac{\Phi^2}{2L_{\mathrm{ind}}}\tag{2.5.2}$$

である。Euler–Lagrange 方程式は $C\ddot\Phi+\Phi/L_{\mathrm{ind}}=0$ で、これはコンデンサに流れ込む電流 $C\dot V$ とインダクタに流れ込む電流 $\Phi/L_{\mathrm{ind}}$ の和が0という Kirchhoff の電流則そのものである。正準共役な運動量は

$$Q=\frac{\partial L}{\partial \dot\Phi}=C\dot\Phi=CV\tag{2.5.3}$$

で、コンデンサの節点側の板にたまった電荷である。Legendre 変換で Hamiltonian

$$H(\Phi,Q)=Q\dot\Phi-L=\frac{Q^2}{2C}+\frac{\Phi^2}{2L_{\mathrm{ind}}},\qquad \{\Phi,Q\}=1\tag{2.5.4}$$

を得る。Hamilton 方程式 $\dot\Phi=\partial H/\partial Q=Q/C$ は電圧の定義、$\dot Q=-\partial H/\partial\Phi=-\Phi/L_{\mathrm{ind}}$ はインダクタへ流れ出る電流の分だけ電荷が減ることを言う。角振動数は $\omega=1/\sqrt{L_{\mathrm{ind}}C}$ である。

力学の振動子 $H=p^2/(2m)+m\omega^2x^2/2$ と並べると、対応は表 2.5.1 のとおりである。質量の役を静電容量が、ばね定数の役を $1/L_{\mathrm{ind}}$ が受け持つ。振動子の $m\omega$ に当たる量は $C\omega=1/Z$ で、

$$Z=\sqrt{\frac{L_{\mathrm{ind}}}{C}}\tag{2.5.5}$$

は回路の特性インピーダンスである。古典の回路では $Z$ は共振器の「鋭さ」に関わる量にすぎないが、量子化すると零点のゆらぎの大きさを決める（2.5.2 節）。

電荷を座標に選ぶ流儀

同じ回路を、コンデンサの電荷 $q$ を座標にして書くこともできる。そのときは電流 $\dot q$ が速度になり、インダクタのエネルギー $L_{\mathrm{ind}}\dot q^2/2$ が運動エネルギー、コンデンサのエネルギー $q^2/(2C)$ がポテンシャルで、運動量は $\Phi_{\mathrm k}=L_{\mathrm{ind}}\dot q$（インダクタの鎖交磁束）になる。解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部第15章はこちらの流儀で $\{q,\Phi_{\mathrm k}\}=1$ と書いた。2つの流儀の関係は 2.5.6 節で調べ、$\Phi_{\mathrm k}=-\Phi$ であることを示す。この章が節点の磁束を座標に選ぶ理由は、Josephson 接合のエネルギーが磁束の関数だからである（2.5.4 節）。磁束を座標にすると、どの回路でも Hamiltonian が「運動エネルギー（電荷の2次式）＋ポテンシャル（磁束の関数）」の形にそろう。