正準量子化の処方：何を入れて何が出てくるか

量子力学の様々な構成方法　第2部 第2章 §2.2.1　★★★ 正準量子化という構成の出発点の要請そのもの。基準と比べて「何が与えられ、何が作られるか」を表にする

前の章（第2部第1章）では、Heisenberg が観測できる量の配列だけで理論を作ろうとした動機を見た。この章では、その配列（演算子）が満たすべき代数を、古典力学からどう持ち込むかを書く。第2部の型（出発点の要請 → 基本の対象 → 基準との同値 → 共通例題 → 得意な問題 → 限界）の中で、この章は最初の2つ、すなわち「何を公理に置くか」と「基本の対象は何か」を受け持つ。

正準量子化が出発点に置くものは2つある。1つは古典の Hamilton 系、すなわち相空間の正準座標 $(q_i,p_i)$ と Hamiltonian $H(q,p)$ である。もう1つは、Poisson 括弧を交換子に置き換える規則

$$\{A,B\}\;\longrightarrow\;\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\left[\hat A,\,\hat B\right]\tag{2.2.1}$$

である。第1部の基準（第1部第2章）は、ヒルベルト空間と Hamiltonian の演算子を最初から与えていた。正準量子化では、ヒルベルト空間は出発点に無い。交換関係を満たす演算子の組を作り、その表現として後からヒルベルト空間が得られる。この順序の違いが、第2部の構成を第1部の基準と比べるときの要点になる。

結論を先に書く。規則 (2.2.1) は、$q$ と $p$ の2次以下の多項式に対しては矛盾なく働き、古典の Hamilton 方程式と同じ形の運動方程式が得られる。$q$ と $p$ を掛け合わせた3次以上の項では、積の順序を決めないと演算子が定まらず、順序の違いは $\hbar$ のべきの補正として現れる。この補正は、位置で変わる有効質量や曲線座標を扱うときに観測量の差になる。さらに、すべての関数について規則 (2.2.1) を厳密に守る量子化は存在しない（Groenewold–van Hove の定理）。そのため正準量子化は「デカルト座標で書き、2次までは規則どおりに、それより上は順序を選んで」使う処方として理解するのがよい。

同じ話題を解析力学の側から書いた章が 解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第1章にある。そちらは Dirac の議論の細部、$\left[\hat q,\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbar$ を満たす演算子が非有界であること、Ehrenfest の定理まで書いている。この章では導出が重なる所を短くし、構成を比べるのに要る所、すなわち処方に何を入れて何が出てくるか、順序の選び方が観測量を変える例、座標の選び方が答えを変える例に頁を使う。

古典の側に用意するもの

自由度 $f$ の古典系を Hamilton 形式で書く。相空間の点は正準座標 $(q_1,\dots,q_f,p_1,\dots,p_f)$ で表し、2つの物理量 $A(q,p)$、$B(q,p)$ の Poisson 括弧を

$$\{A,B\}=\sum_{i=1}^f\Bigl(\frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{\partial B}{\partial p_i}-\frac{\partial A}{\partial p_i}\frac{\partial B}{\partial q_i}\Bigr)\tag{2.2.2}$$

で定める（記法は 解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部第11章と同じで、$\{q_i,p_j\}=\delta_{ij}$）。物理量の時間変化は $\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}=\{A,H\}+\frac{\partial A}{\partial t}$ で与えられ、$A=q_i$、$p_i$ とおけば Hamilton 方程式に戻る。Poisson 括弧は双線型・反対称で、Leibniz 則 $\{A,BC\}=\{A,B\}C+B\{A,C\}$ と Jacobi 恒等式$\{A,\{B,C\}\}+\{B,\{C,A\}\}+\{C,\{A,B\}\}=0$ を満たす。正準量子化はこの代数構造を演算子の上に写すことを目標にする。

ここで正準座標は、ただの正準座標でなくデカルト座標にとる。直交座標系での粒子の位置 $x,y,z$ とそれに共役な運動量 $p_x,p_y,p_z$、あるいは回路の電荷と磁束のように、相空間が $\mathbb{R}^{2f}$ 全体で、座標の範囲に制限も周期性も無いものを使う。この条件が要る理由は 2.2.5 節で示す。

処方

(C3) の写像 $\mathcal Q$ を量子化の写像と呼ぶ。(C4) の運動方程式が古典の $\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}=\{A,H\}$ とどう対応するかは第2部第3章で、表現が本質的に1つしかないこと（Stone–von Neumann の定理）は 第2部第6章で扱う。ここでは (C1)〜(C3) の中身、とくに (C3) の「順序を決めて」の部分を調べる。

Hamiltonian が $H=\sum_i p_i^2/(2m)+V(q)$ の形なら、(C3) に曖昧さは無い。$p_i^2$ も $V(q)$ も、互いに交換しない $q$ と $p$ の積を含まないからである。1粒子の量子力学の教科書に出てくる系の多くはこの形なので、普段は (C3) の曖昧さを意識しない。$q$ と $p$ が同じ項に掛かっている場合に、曖昧さが現れる。磁場中の荷電粒子の $(\bm{p}-q_{\mathrm e}\bm{A}(\bm{r}))^2$、位置で変わる質量の $p^2/m(q)$、曲線座標の運動エネルギーがその例である。

基準と比べて何が与えられ、何が作られるか

第1部の基準と正準量子化を、与えるものと作るものの対で並べると表 2.2.1 のようになる。

表の最後の行は、正準量子化の限界の1つを示している。スピン $\tfrac12$ には古典の正準変数の組が無いので、(C1) から始められない。第2部ではスピンを角運動量の交換関係 $\left[\hat L_x,\,\hat L_y\right]=\mathrm{i}\hbar\hat L_z$ の表現として扱い（第2部第4章）、球面を相空間とみる幾何学的な見方は 第10部第5章に送る。

処方全体の流れを図 2.2.1 にまとめる。