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順序の曖昧さ：1つの古典量に演算子がいくつもある

2026年10月17日10分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第2部 第2章 Poisson 括弧から交換子へ：正準量子化の処方と順序の曖昧さ
目次
  1. 代表的な順序
  2. エルミート性で決まる所と、決まらない所
  3. 木下の層

AI 生成・木下が未勉強

量子力学の様々な構成方法　第2部 第2章 §2.2.3　★★★ (C3) が一通りに決まらないことの中身。エルミート性で決まる所と、ℏ2\hbar^2 の自由が残る所を分ける

古典では qp=pqqp=pq なので、q2pq^2p と qpqqpq と pq2pq^2 は同じ関数である。量子では q^2p^\hat q^2\hat p、q^p^q^\hat q\hat p\hat q、p^q^2\hat p\hat q^2 は異なる演算子で、そのどれを選ぶか（またはどういう重みで平均するか）を決めないと、(C3) の演算子は定まらない。これを順序の曖昧さと呼ぶ。

代表的な順序

定義 2.2.2（順序の規則）

単項式 qmpnq^mp^n に対する代表的な対応を次のように呼ぶ。

  • 標準の順序：q^mp^n\hat q^m\hat p^n（q^\hat q をすべて左に置く）。逆に p^\hat p をすべて左に置くものを反標準の順序と呼ぶ。
  • Weyl の順序：ei(aq+bp)↦ei(aq^+bp^)\mathrm{e}^{\mathrm{i}(aq+bp)}\mapsto\mathrm{e}^{\mathrm{i}(a\hat q+b\hat p)} が成り立つように線型に拡張したもの。単項式では

QW[qmpn]=12m∑k=0m(mk)q^kp^nq^m−k(2.2.8)\mathcal Q_{\mathrm W}[q^mp^n]=\frac{1}{2^m}\sum_{k=0}^{m}\binom{m}{k}\hat q^{k}\hat p^n\hat q^{m-k}\tag{2.2.8}

になる（H. Weyl (1927), Z. Phys. 46, 1）。この写像は第5部の Weyl 対応 QW\mathcal Q_{\mathrm W}（第5部第2章）と同じもので、記号もそれに揃える。

  • Born–Jordan の順序：

QBJ[qmpn]=1m+1∑k=0mq^kp^nq^m−k(2.2.9)\mathcal Q_{\mathrm{BJ}}[q^mp^n]=\frac{1}{m+1}\sum_{k=0}^{m}\hat q^{k}\hat p^n\hat q^{m-k}\tag{2.2.9}

（M. Born and P. Jordan (1925), Z. Phys. 34, 858）。

Weyl の順序は、aq+bpaq+bp の任意のべき (aq+bp)N(aq+bp)^N を (aq^+bp^)N(a\hat q+b\hat p)^N に写す。(aq^+bp^)N(a\hat q+b\hat p)^N を展開すると q^\hat q と p^\hat p のあらゆる並びが等しい重みで現れるので、Weyl の順序は「すべての並び方の平均」と言い換えられる。(2.2.8) はその平均を q^kp^nq^m−k\hat q^k\hat p^n\hat q^{m-k} の形にまとめ直したものである。標準の順序は m,n≥1m,n\geq1 で自己共役でない（(q^p^)†=p^q^≠q^p^(\hat q\hat p)^\dagger=\hat p\hat q\neq\hat q\hat p）ので、実の物理量の量子化としては使えない。Weyl と Born–Jordan はどちらも自己共役である。

エルミート性で決まる所と、決まらない所

順序の違いを比べるには、すべての演算子を q^\hat q が左、p^\hat p が右に並んだ形（正規形）に直すのが早い。直すには p^q^=q^p^−iℏ\hat p\hat q=\hat q\hat p-\mathrm{i}\hbar を繰り返し使う。たとえば

q^p^q^=q^2p^−iℏ q^,p^q^2=q^2p^−2iℏ q^,p^2q^2=q^2p^2−4iℏ q^p^−2ℏ2(2.2.10)\hat q\hat p\hat q=\hat q^2\hat p-\mathrm{i}\hbar\,\hat q,\qquad \hat p\hat q^2=\hat q^2\hat p-2\mathrm{i}\hbar\,\hat q,\qquad \hat p^2\hat q^2=\hat q^2\hat p^2-4\mathrm{i}\hbar\,\hat q\hat p-2\hbar^2\tag{2.2.10}

である（3つめは p^2q^2=p^(q^2p^−2iℏq^)\hat p^2\hat q^2=\hat p(\hat q^2\hat p-2\mathrm{i}\hbar\hat q) をもう一度並べ替えて得る）。

命題 2.2.3（★★★）

  1. (i) q2pq^2p を q^2p^\hat q^2\hat p、q^p^q^\hat q\hat p\hat q、p^q^2\hat p\hat q^2 の重み1の線型結合で量子化するとき、自己共役であることを要求すると演算子はq^2p^−iℏ q^\hat q^2\hat p-\mathrm{i}\hbar\,\hat q にただ1つに決まる。
  2. (ii) q2p2q^2p^2 を同じように q^,q^,p^,p^\hat q,\hat q,\hat p,\hat p の並びの線型結合で量子化するとき、自己共役な演算子は

q^2p^2−2iℏ q^p^+y ℏ2(y は任意の実数)(2.2.11)\hat q^2\hat p^2-2\mathrm{i}\hbar\,\hat q\hat p+y\,\hbar^2\qquad(y\text{ は任意の実数})\tag{2.2.11}

の1パラメータの族になる。

証明

(i) 重みを α,β,γ\alpha,\beta,\gamma（α+β+γ=1\alpha+\beta+\gamma=1）として αq^2p^+βq^p^q^+γp^q^2\alpha\hat q^2\hat p+\beta\hat q\hat p\hat q+\gamma\hat p\hat q^2 をとると、(2.2.10) から正規形は q^2p^−iℏ(β+2γ)q^\hat q^2\hat p-\mathrm{i}\hbar(\beta+2\gamma)\hat q になる。共役をとると (q^2p^)†=p^q^2(\hat q^2\hat p)^\dagger=\hat p\hat q^2、(q^p^q^)†=q^p^q^(\hat q\hat p\hat q)^\dagger=\hat q\hat p\hat q なので、共役は γq^2p^+βq^p^q^+αp^q^2\gamma\hat q^2\hat p+\beta\hat q\hat p\hat q+\alpha\hat p\hat q^2 で、正規形は q^2p^−iℏ(β+2α)q^\hat q^2\hat p-\mathrm{i}\hbar(\beta+2\alpha)\hat q。両者が等しい条件は α=γ\alpha=\gamma で、このとき β+2γ=α+β+γ=1\beta+2\gamma=\alpha+\beta+\gamma=1 だから、演算子は重みによらず q^2p^−iℏq^\hat q^2\hat p-\mathrm{i}\hbar\hat q になる。

(ii) どの並びも正規形に直すと q^2p^2+x iℏ q^p^+y ℏ2\hat q^2\hat p^2+x\,\mathrm{i}\hbar\,\hat q\hat p+y\,\hbar^2（x,yx,y は実数）の形になる。これを A^\hat A とおき、(2.2.10) と(q^p^)†=p^q^=q^p^−iℏ(\hat q\hat p)^\dagger=\hat p\hat q=\hat q\hat p-\mathrm{i}\hbar を使って共役を正規形に直すと

A^†=p^2q^2−x iℏ p^q^+yℏ2=q^2p^2−(4+x) iℏ q^p^+(−2−x+y)ℏ2.\hat A^\dagger=\hat p^2\hat q^2-x\,\mathrm{i}\hbar\,\hat p\hat q+y\hbar^2=\hat q^2\hat p^2-(4+x)\,\mathrm{i}\hbar\,\hat q\hat p+(-2-x+y)\hbar^2 .

A^†=A^\hat A^\dagger=\hat A の q^p^\hat q\hat p の係数から x=−(4+x)x=-(4+x)、すなわち x=−2x=-2。定数項は y=−2−x+yy=-2-x+y となり、x=−2x=-2 のとき恒等的に成り立つので yy は決まらない。

(ii) の自由度は ℏ2\hbar^2 に比例する数（c 数）で、Weyl の順序は y=−12y=-\tfrac12、Born–Jordan の順序は y=−23y=-\tfrac23 を選ぶ（例題 2.2.3）。q2p2q^2p^2 だけを量子化するなら、この差は全体のエネルギーの原点をずらすだけで観測にかからない。しかし q2p2q^2p^2 の係数が位置の関数になると、c 数だった差が位置の関数になり、ポテンシャルの差として観測にかかる。これを次の節で具体的に示す。

要点

規則 (2.2.1) は、AA、BB がともに qq、pp の2次以下の多項式なら、Weyl の順序で厳密に成り立つ（[QW[A], QW[B]]/(iℏ)=QW[{A,B}]\left[\mathcal Q_{\mathrm W}[A],\,\mathcal Q_{\mathrm W}[B]\right]/(\mathrm{i}\hbar)=\mathcal Q_{\mathrm W}[\{A,B\}]）。2次以下の多項式の集まりは Poisson 括弧で閉じていて、その中では ℏ\hbar の補正が出ない。3次以上の多項式を含めると、どの順序を選んでも規則はどこかで ℏ2\hbar^2 の補正を受ける（2.2.5 節の Groenewold–van Hove の定理）。

例題 2.2.3　3つの順序を正規形で比べる ★★★

オリジナル

  1. (1) Weyl の順序 (2.2.8) と Born–Jordan の順序 (2.2.9) で q2pq^2p を量子化し、正規形に直して比べよ。
  2. (2) 同じく q2p2q^2p^2 を量子化し、(2.2.11) の yy の値を求めよ。
  3. (3) 標準の順序 q^2p^2\hat q^2\hat p^2 が自己共役でないことを、(2) の族と比べて説明せよ。
解答

(1) (2.2.8) で m=2m=2、n=1n=1 とすると QW[q2p]=14(p^q^2+2q^p^q^+q^2p^)\mathcal Q_{\mathrm W}[q^2p]=\tfrac14(\hat p\hat q^2+2\hat q\hat p\hat q+\hat q^2\hat p)。(2.2.10) を代入して 14(4q^2p^−2iℏq^−2iℏq^)=q^2p^−iℏq^\tfrac14(4\hat q^2\hat p-2\mathrm{i}\hbar\hat q-2\mathrm{i}\hbar\hat q)=\hat q^2\hat p-\mathrm{i}\hbar\hat q。Born–Jordan では QBJ[q2p]=13(p^q^2+q^p^q^+q^2p^)=13(3q^2p^−3iℏq^)=q^2p^−iℏq^\mathcal Q_{\mathrm{BJ}}[q^2p]=\tfrac13(\hat p\hat q^2+\hat q\hat p\hat q+\hat q^2\hat p)=\tfrac13(3\hat q^2\hat p-3\mathrm{i}\hbar\hat q)=\hat q^2\hat p-\mathrm{i}\hbar\hat q。両者は一致し、命題 2.2.3 (i) のとおりである。

(2) Weyl では QW[q2p2]=14(p^2q^2+2q^p^2q^+q^2p^2)\mathcal Q_{\mathrm W}[q^2p^2]=\tfrac14(\hat p^2\hat q^2+2\hat q\hat p^2\hat q+\hat q^2\hat p^2)。中央の項はq^p^2q^=q^(q^p^2−2iℏp^)=q^2p^2−2iℏq^p^\hat q\hat p^2\hat q=\hat q(\hat q\hat p^2-2\mathrm{i}\hbar\hat p)=\hat q^2\hat p^2-2\mathrm{i}\hbar\hat q\hat p（p^2q^=q^p^2−2iℏp^\hat p^2\hat q=\hat q\hat p^2-2\mathrm{i}\hbar\hat p を使った）。(2.2.10) の3つめと合わせて

QW[q2p2]=14[(q^2p^2−4iℏq^p^−2ℏ2)+2(q^2p^2−2iℏq^p^)+q^2p^2]=q^2p^2−2iℏq^p^−12ℏ2,\mathcal Q_{\mathrm W}[q^2p^2]=\tfrac14\bigl[(\hat q^2\hat p^2-4\mathrm{i}\hbar\hat q\hat p-2\hbar^2)+2(\hat q^2\hat p^2-2\mathrm{i}\hbar\hat q\hat p)+\hat q^2\hat p^2\bigr] =\hat q^2\hat p^2-2\mathrm{i}\hbar\hat q\hat p-\tfrac12\hbar^2 ,

すなわち y=−12y=-\tfrac12。Born–Jordan ではQBJ[q2p2]=13(p^2q^2+q^p^2q^+q^2p^2)=13(3q^2p^2−6iℏq^p^−2ℏ2)\mathcal Q_{\mathrm{BJ}}[q^2p^2]=\tfrac13(\hat p^2\hat q^2+\hat q\hat p^2\hat q+\hat q^2\hat p^2)=\tfrac13(3\hat q^2\hat p^2-6\mathrm{i}\hbar\hat q\hat p-2\hbar^2) で y=−23y=-\tfrac23。2つの順序の差は QW[q2p2]−QBJ[q2p2]=ℏ2/6\mathcal Q_{\mathrm W}[q^2p^2]-\mathcal Q_{\mathrm{BJ}}[q^2p^2]=\hbar^2/6 である。

(3) q^2p^2\hat q^2\hat p^2 は正規形で x=0x=0、y=0y=0 に当たる。命題 2.2.3 (ii) の自己共役の条件は x=−2x=-2 なので、x=0x=0 の標準の順序は自己共役でない。実際、共役は p^2q^2=q^2p^2−4iℏq^p^−2ℏ2≠q^2p^2\hat p^2\hat q^2=\hat q^2\hat p^2-4\mathrm{i}\hbar\hat q\hat p-2\hbar^2\neq\hat q^2\hat p^2 である。

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