交換子の係数が $\mathrm{i}\hbar$ になる理由

量子力学の様々な構成方法　第2部 第2章 §2.2.2　★★ 規則 (2.2.1) の係数 $1/(\mathrm{i}\hbar)$ が、括弧の代数とエルミート性と並進から決まることを示す

規則 (2.2.1) は天下りに見えるが、Dirac は 1925 年に、括弧の代数の性質を演算子の上でも保つと決めれば「交換子の定数倍」以外に選択肢が無いことを示した（P. A. M. Dirac (1925), Proc. R. Soc. Lond. A 109, 642）。ここでは議論の骨格を書き、細部は 解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第1章に送る。

量子の括弧に課す条件

演算子 $\hat u$、$\hat v$ に対して「量子の括弧」$\{\hat u,\hat v\}_{\mathrm q}$ があり、Poisson 括弧と同じく双線型・反対称で、積に対する Leibniz 則を満たすと仮定する。ただし演算子は交換しないので、Leibniz 則は因子の順序を保って

$$\{\hat u,\hat v_1\hat v_2\}_{\mathrm q}=\{\hat u,\hat v_1\}_{\mathrm q}\hat v_2+\hat v_1\{\hat u,\hat v_2\}_{\mathrm q},\qquad \{\hat u_1\hat u_2,\hat v\}_{\mathrm q}=\{\hat u_1,\hat v\}_{\mathrm q}\hat u_2+\hat u_1\{\hat u_2,\hat v\}_{\mathrm q}\tag{2.2.4}$$

と書く。$\{\hat u_1\hat u_2,\hat v_1\hat v_2\}_{\mathrm q}$ を、先に左の積を展開してから右を展開する順と、先に右を展開する順の2通りで計算する。左を先にすると

$$\{\hat u_1,\hat v_1\}_{\mathrm q}\hat v_2\hat u_2+\hat v_1\{\hat u_1,\hat v_2\}_{\mathrm q}\hat u_2+\hat u_1\{\hat u_2,\hat v_1\}_{\mathrm q}\hat v_2+\hat u_1\hat v_1\{\hat u_2,\hat v_2\}_{\mathrm q},$$

右を先にすると

$$\{\hat u_1,\hat v_1\}_{\mathrm q}\hat u_2\hat v_2+\hat u_1\{\hat u_2,\hat v_1\}_{\mathrm q}\hat v_2+\hat v_1\{\hat u_1,\hat v_2\}_{\mathrm q}\hat u_2+\hat v_1\hat u_1\{\hat u_2,\hat v_2\}_{\mathrm q}$$

を得る。両者は等しくなければならないので、引き算して

$$\{\hat u_1,\hat v_1\}_{\mathrm q}\,\left[\hat u_2,\,\hat v_2\right]=\left[\hat u_1,\,\hat v_1\right]\,\{\hat u_2,\hat v_2\}_{\mathrm q}\tag{2.2.5}$$

となる。$(\hat u_1,\hat v_1)$ と $(\hat u_2,\hat v_2)$ は互いに無関係に選べるので、この式が成り立つには、ある定数 $k$ があって

$$\{\hat u,\hat v\}_{\mathrm q}=k\,\left[\hat u,\,\hat v\right]\tag{2.2.6}$$

でなければならない（$k$ はすべての演算子と交換する数）。交換子は双線型・反対称で、順序つきの Leibniz 則と Jacobi 恒等式を満たすので、(2.2.6) は課した条件をすべて満たしている。

定数 $k$ を決める

$k$ を決める条件は2つある。1つめはエルミート性である。実の古典量 $A$、$B$ の Poisson 括弧は実なので、量子でも$\{\hat A,\hat B\}_{\mathrm q}$ が自己共役であってほしい。一方、自己共役な $\hat A$、$\hat B$ の交換子は$\left[\hat A,\,\hat B\right]^\dagger=\hat B\hat A-\hat A\hat B=-\left[\hat A,\,\hat B\right]$ で反エルミートである。反エルミートな演算子に掛けてエルミートにする数は純虚数なので、実数 $\hbar$ を使って $k=1/(\mathrm{i}\hbar)$ と書ける。

2つめは並進である。古典力学では $\{q,p\}=1$ から、$p$ を生成子とする無限小変換 $\delta q=\epsilon\{q,p\}=\epsilon$ が座標の平行移動になる（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部第9章）。量子では $\left[\hat q,\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbar$ のもとで

$$\mathrm{e}^{\mathrm{i} a\hat p/\hbar}\,\hat q\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} a\hat p/\hbar}=\hat q+\frac{\mathrm{i} a}{\hbar}\left[\hat p,\,\hat q\right]=\hat q+a\tag{2.2.7}$$

となる（$\left[\hat p,\,\hat q\right]$ が数なので、Baker–Campbell–Hausdorff の展開は1次で終わる）。位置表示では $\mathrm{e}^{-\mathrm{i} a\hat p/\hbar}\psi(x)=\psi(x-a)$ で、波動関数が $+a$ だけ平行移動する。$\hbar$ の値そのものは実験で決まる量で、SI では $h=6.62607015\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}$ が定義値なので$\hbar=h/(2\pi)=1.054571817\ldots\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}$ である。