曖昧さが観測にかかる例：位置で変わる有効質量

量子力学の様々な構成方法　第2部 第2章 §2.2.4　★★ 順序の差が $\hbar^2$ のポテンシャルとして現れ、エネルギー準位を動かす具体例

古典の Hamiltonian と、エルミートな順序の族

組成の異なる半導体を接合した構造では、伝導帯の電子を有効質量 $m(q)$ の粒子とみなし、$m$ が場所によって変わる模型を使う。古典の Hamiltonian は

$$H=\frac{p^2}{2m(q)}+V(q)=\frac12 f(q)\,p^2+V(q),\qquad f(q)\coloneqq\frac{1}{m(q)}\tag{2.2.12}$$

である。$f(q)p^2$ は $q$ と $p$ が同じ項に掛かっているので、(C3) の順序の選択が要る。von Roos は、自己共役な候補を

$$\hat H_{\alpha\beta\gamma}=\frac14\Bigl(m^\alpha\hat p\,m^\beta\hat p\,m^\gamma+m^\gamma\hat p\,m^\beta\hat p\,m^\alpha\Bigr)+V,\qquad \alpha+\beta+\gamma=-1\tag{2.2.13}$$

の族にまとめた（O. von Roos (1983), Phys. Rev. B 27, 7547）。ここで $m^\alpha$ は $m(\hat q)^\alpha$ の略で、2つめの項は1つめの項のエルミート共役である。指数の和が $-1$ なので、古典の極限ではどれも $p^2/(2m)$ に戻る。$\alpha=\gamma=0$、$\beta=-1$ の

$$\hat H_{\mathrm{BD}}=\frac12\,\hat p\,f(\hat q)\,\hat p+V\tag{2.2.14}$$

は BenDaniel と Duke が使った形で（D. J. BenDaniel and C. B. Duke (1966), Phys. Rev. 152, 683）、確率の流れ $j=\operatorname{Re}[\psi^*f(q)\hat p\psi]$ が連続の式を満たし、質量が飛ぶ界面では $\psi$ と $f\,\frac{\mathrm{d} \psi}{\mathrm{d} q}$ を連続につなぐことになる。

族の違いはポテンシャルの差になる

族 (2.2.13) を $\hat H_{\mathrm{BD}}$ と比べる。$g$ を $q$ の関数として、$\left[g(\hat q),\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbar g'(\hat q)$、すなわち $\hat p\,g=g\,\hat p-\mathrm{i}\hbar g'$ と $g\,\hat p=\hat p\,g+\mathrm{i}\hbar g'$ を使う（$'$ は $q$ での微分）。$\hat A\coloneqq m^\alpha\hat p\,m^\beta\hat p\,m^\gamma$ の右端の $m^\gamma$ を左へ、左端の $m^\alpha$ を右へ動かすと

$$\hat A=m^\alpha\hat p\,m^\beta\bigl(m^\gamma\hat p-\mathrm{i}\hbar(m^\gamma)'\bigr) =\bigl(\hat p\,m^\alpha+\mathrm{i}\hbar(m^\alpha)'\bigr)m^{\beta+\gamma}\hat p-\mathrm{i}\hbar\,m^\alpha\hat p\,m^\beta(m^\gamma)' .$$

$\alpha+\beta+\gamma=-1$ より最初の項は $\hat p\,m^{-1}\hat p=\hat p f\hat p$ で、

$$\hat A=\hat p f\hat p+\hat B,\qquad \hat B\coloneqq\mathrm{i}\hbar\,g\,\hat p-\mathrm{i}\hbar\,m^\alpha\hat p\,k,\qquad g\coloneqq(m^\alpha)'m^{\beta+\gamma},\quad k\coloneqq m^\beta(m^\gamma)'$$

と書ける。(2.2.13) の括弧の中は $\hat A+\hat A^\dagger=2\hat p f\hat p+\hat B+\hat B^\dagger$ である。$\hat B+\hat B^\dagger$ を計算すると、

$$\begin{aligned}\mathrm{i}\hbar(g\hat p-\hat p g)&=\mathrm{i}\hbar\cdot\mathrm{i}\hbar g'=-\hbar^2g',\\ -\mathrm{i}\hbar(m^\alpha\hat p\,k-k\,\hat p\,m^\alpha)&=-\mathrm{i}\hbar\bigl(-\mathrm{i}\hbar m^\alpha k'+\mathrm{i}\hbar k(m^\alpha)'\bigr)=-\hbar^2m^\alpha k'+\hbar^2k(m^\alpha)'\end{aligned}$$

となって、微分演算子 $\hat p$ がすべて消え、位置の関数だけが残る。したがって

$$\hat H_{\alpha\beta\gamma}=\hat H_{\mathrm{BD}}+U_{\alpha\gamma}(\hat q),\qquad U_{\alpha\gamma}=-\frac{\hbar^2}{4}\bigl[g'+m^\alpha k'-k(m^\alpha)'\bigr] =\frac{\hbar^2}{4}\Bigl[(\alpha+\gamma)f''+2\alpha\gamma\frac{f'^2}{f}\Bigr]\tag{2.2.15}$$

を得る。最後の形は $g$、$k$ を $f=1/m$ で書き直して整理したもので、verify_ch2-02.py で記号計算により確かめた。順序の違いは $\hbar^2$ に比例するポテンシャル $U_{\alpha\gamma}$ の違いになり、$m$ が一定（$f'=f''=0$）なら消える。2.2.3 節で c 数だった $q^2p^2$ の自由度が、係数が位置の関数になったことでポテンシャルになったのである。

Weyl の順序との関係も同じ方法で出る。$\mathcal Q_{\mathrm W}[f(q)p^2]=\tfrac14(f\hat p^2+2\hat p f\hat p+\hat p^2f)$（(2.2.8) を $q$ の関数へ拡げたもの）に、$f\hat p^2+\hat p^2f=2\hat pf\hat p-\hbar^2f''$（位置表示で $\psi$ に当てて展開すれば確かめられる）を使うと

$$\mathcal Q_{\mathrm W}\Bigl[\frac12f(q)p^2\Bigr]=\frac12\hat p f\hat p-\frac{\hbar^2}{8}f''\tag{2.2.16}$$

となる。これは (2.2.15) で $\alpha+\gamma=-\tfrac12$、$\alpha\gamma=0$ とした場合、たとえば $(\alpha,\beta,\gamma)=(0,-\tfrac12,-\tfrac12)$ と同じ演算子である。もう1つよく使われる $\alpha=\gamma=-\tfrac12$、$\beta=0$ の順序（Zhu–Kroemer の形。Q.-G. Zhu and H. Kroemer (1983), Phys. Rev. B 27, 3519）では$U=-\tfrac{\hbar^2}{4}f''+\tfrac{\hbar^2}{8}f'^2/f$ である。

質量がなめらかに $0.067\,m_{\mathrm e}$ から $0.092\,m_{\mathrm e}$ へ変わる段差 $m(q)=m_A+(m_B-m_A)\bigl(1+\tanh(q/a)\bigr)/2$（$a=1\,\mathrm{nm}$）について、Weyl と Zhu–Kroemer の $U$ を図 2.2.2 に描いた（$m_A$、$m_B$ は模型の値で、特定の材料の値ではない）。どちらも段差の両側で正負の山と谷を作り、大きさは Weyl で約 $15\,\mathrm{meV}$、Zhu–Kroemer で約 $30\,\mathrm{meV}$ である。量子井戸の準位の間隔も数十 meV の程度なので、順序の選択は準位を目に見えて動かしうる。どの順序が実際の半導体を正しく表すかは、包絡関数の近似をどう導くかに依存する問題で、量子化の処方 (C1)〜(C4) からは決まらない。