座標の選び方：作用角で量子化すると零点が消える

量子力学の様々な構成方法　第2部 第2章 §2.2.5　★★ 正準変換は量子化と可換でない。デカルト座標で量子化する理由と、Groenewold–van Hove の定理

古典で同等な座標が、量子で同等とは限らない

古典力学では、正準変換で移り合う座標はどれも同じ資格を持つ。Poisson 括弧は正準変換で保たれるので、新しい座標 $(Q,P)$ でも $\{Q,P\}=1$ で、Hamilton 方程式は同じ形に書ける。そこで処方 (C1)(C2) を新しい座標で当てて$\left[\hat Q,\,\hat P\right]=\mathrm{i}\hbar$ とおきたくなる。しかしこれは、デカルト座標で量子化したものとは一般に別の理論になる。

調和振動子 $H=p^2/(2m)+m\omega^2q^2/2$ で確かめる。作用角変数 $(\theta,J)$ では $H=\omega J$ で、$J=\frac{1}{2\pi}\oint p\,\mathrm{d} q=E/\omega\geq0$、$\theta$ は周期 $2\pi$ の角度である（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部第14章）。処方を $(\theta,J)$ にそのまま当て、$\hat J=-\mathrm{i}\hbar\,\partial_\theta$ を周期関数の空間で考えると、固有関数は $\mathrm{e}^{\mathrm{i} n\theta}$、固有値は $n\hbar$（$n\in\mathbb{Z}$）で、

$$E=n\hbar\omega\qquad(n=0,\pm1,\pm2,\dots)\tag{2.2.17}$$

となる。デカルト座標で量子化した答え $E=\hbar\omega(n+\tfrac12)$、$n=0,1,2,\dots$（第2部第4章）と比べると、2点で食い違う。1つは負のエネルギーが現れることで、古典の $J\geq0$ という制限が量子化で失われている。もう1つは零点エネルギー $\hbar\omega/2$ が無いことである。

食い違いの原因は相空間の形にある。作用角変数は相空間の原点 $q=p=0$ で定義できず、原点を除いた平面を「$J>0$ の半分の円筒」として覆う。$\hat J=-\mathrm{i}\hbar\partial_\theta$ という量子化は、$J$ が実数全体を動く円筒 $\{(\theta,J)\}$ を相空間とする別の古典系（リングの上の自由な回転子）の量子化であり、平面 $\mathbb{R}^2$ を相空間とする調和振動子の量子化ではない。リングの上の粒子なら角度とその共役運動量は本当に円筒を動くので、$\hat L=-\mathrm{i}\hbar\partial_\varphi$ の整数の固有値は正しい。同じ理由で、調和振動子には自己共役な「位相の演算子」$\hat\theta$ を作れないことが知られている（L. Susskind and J. Glogower (1964), Physics 1, 49）。零点の $\tfrac12$ は、Bohr–Sommerfeld の条件では Maslov の補正（第3部第4章）、幾何学的量子化では半形式の補正（第10部第5章）として現れる。

図 2.2.3　調和振動子の準位。左（実線）はデカルト座標で量子化した正しい準位、右（破線）は作用角変数で処方をそのまま当てた準位で、零点が無く、下に有界でない。

この例が示すように、正準量子化の (C1)(C2) は、相空間が $\mathbb{R}^{2f}$ 全体でその上の大域的な座標になっているデカルト座標で当てる。Dirac は教科書『The Principles of Quantum Mechanics』でこの条件を、量子化の規則はデカルト座標で使うという注意として述べている。曲線座標の運動エネルギーは、デカルト座標で量子化した $-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2$ を後から曲線座標で書き直して得る。その書き直しで、古典の式には無い $\hbar^2$ の項が現れる（総合問題で2次元の極座標について確かめる）。

Groenewold–van Hove の定理

順序をうまく選べば、すべての多項式で規則 (2.2.1) を守れるだろうか。答えは否定的で、Groenewold が示し（H. J. Groenewold (1946), Physica 12, 405）、van Hove が一般化した（L. van Hove (1951), Mém. Acad. Roy. Belgique Cl. Sci. 26, 1–102、Sur certaines représentations unitaires d'un groupe infini de transformations）次の定理がある。

証明は 第10部第1章で扱う。矛盾が出る場所は具体的に見える。古典では$\{q^3,p^3\}=9q^2p^2$ と $3\{q^2p,qp^2\}=3(4q^2p^2-q^2p^2)=9q^2p^2$ が等しい。定理の仮定のもとでは2次以下の多項式の像は Weyl の順序のものに決まり、それに続いて3次の $q^3$、$p^3$、$q^2p$、$qp^2$ の像もそれに合わせて決まり、量子の側で同じ等式を計算すると両辺が $3\hbar^2$ だけずれる（計算は 解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第1章）。正準量子化は「規則 (2.2.1) を2次以下で厳密に守り、それより上は順序を選ぶ」処方であり、その選び方は古典力学からは決まらない。