橋：基準・位相空間・幾何学的量子化とのつながり

量子力学の様々な構成方法　第2部 第2章 §2.2.6　★★★ この章の処方が同値性の地図のどの橋に当たるか。基準の位置表示・Moyal の$\star$ 積・前量子化と式で並べる

この章では、交換関係 (2.2.3) と量子化の写像 $\mathcal Q$ の選択（順序）の2つを作った。それぞれが巻の同値性の地図（第1部第1章）でどこにつながるかを、式を並べて示す（図 2.2.4）。

基準へ：位置表示と教科書の書き方

交換関係 (2.2.3) の既約な表現は、Stone–von Neumann の定理により本質的に1つで（第2部第6章）、その代表が位置表示

$$\hat q\,\psi(x)=x\,\psi(x),\qquad \hat p\,\psi(x)=-\mathrm{i}\hbar\,\frac{\mathrm{d} \psi}{\mathrm{d} x}\tag{2.2.18}$$

である（第1部第3章）。学部の授業では、量子化を「古典の $H(x,p)$ の $p$ を $-\mathrm{i}\hbar\,\partial/\partial x$ に置き換えて$\mathrm{i}\hbar\,\partial_t\psi=H(x,-\mathrm{i}\hbar\partial_x)\psi$ とする」と書くことが多い。この章の言葉では、これは (C1)(C2) を位置表示 (2.2.18) で実現し、(C3) を $H=p^2/(2m)+V(x)$ の形に限って順序の問題を避けたものに当たる。置き換えがデカルト座標でだけ許されることは 2.2.5 節で見た。

行列力学の運動方程式へ

(C4) の運動方程式と古典の運動方程式は、規則 (2.2.1) で1対1に対応する。

$$\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}=\{A,H\}\qquad\longleftrightarrow\qquad\frac{\mathrm{d} \hat A}{\mathrm{d} t}=\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\left[\hat A,\,\hat H\right].$$

$\hat A=\hat q$、$\hat p$ で右辺を計算すると、$H$ が2次以下なら古典の Hamilton 方程式と同じ形の演算子の方程式になる。この対応の詳細と、状態ベクトルの基準との同値（$\langle \hat A \rangle (t)$ が描像によらないこと）は 第2部第3章と 第2部第6章で示す。

位相空間へ：順序の選択は記号の選択

Weyl の順序は、第5部の Weyl 対応そのものである（第5部第2章）。位相空間の関数 $A(q,p)$（Weyl 記号）に演算子 $\mathcal Q_{\mathrm W}[A]$ を対応させる写像がWeyl の順序で、たとえば $\hat q\hat p=\tfrac12(\hat q\hat p+\hat p\hat q)+\tfrac{\mathrm{i}\hbar}{2}$ だから $\hat q\hat p$ の Weyl 記号は $qp+\mathrm{i}\hbar/2$ である。Weyl 対応のもとで演算子の積は$\star$ 積 $f\star g$ に、交換子を $\mathrm{i}\hbar$ で割ったものは Moyal 括弧に写り（第5部第3章）、

$$\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\left[\mathcal Q_{\mathrm W}[f],\,\mathcal Q_{\mathrm W}[g]\right]=\mathcal Q_{\mathrm W}\bigl[\{\!\{f,g\}\!\}\bigr],\qquad \{\!\{f,g\}\!\}=\{f,g\}+\mathcal{O}(\hbar^2)$$

となる。$f$、$g$ が2次以下なら $\mathcal{O}(\hbar^2)$ の項は0で、これが 2.2.3 節のキーボックスの事実の位相空間での姿である。他の順序も位相空間の別の記号の規則に対応する。生成消滅演算子の正規順序は Glauber–Sudarshan の $P$ 表示に、反正規順序は Husimi の $Q$ 表示に対応し（第5部第6章）、順序の曖昧さは「どの準確率分布で期待値を書くか」の選択として読み替えられる。

幾何学的量子化へ：規則を全部守る代わりに既約性を捨てる

Groenewold–van Hove の定理は「規則を全部守る」「既約である」を同時に要求すると不可能だと言う。幾何学的量子化は、まず既約性を捨てて規則を全部守る写像を作る。シンプレクティック形式 $\omega=\mathrm{d} q\wedge\mathrm{d} p$、$\mathrm{d}\theta=\omega$ となる $\theta=-p\,\mathrm{d} q$、Hamilton ベクトル場$X_f=\frac{\partial f}{\partial p}\partial_q-\frac{\partial f}{\partial q}\partial_p$ を使って、相空間の関数 $\Psi(q,p)$ に作用する前量子化の演算子を

$$\hat f_{\mathrm{pre}}=-\mathrm{i}\hbar X_f+\theta(X_f)+f\tag{2.2.19}$$

と定める（第10部第3章）。$f=q$ なら $X_q=-\partial_p$、$\theta(X_q)=0$ で $\hat q_{\mathrm{pre}}=\mathrm{i}\hbar\partial_p+q$、$f=p$ なら $X_p=\partial_q$、$\theta(X_p)=-p$ で $\hat p_{\mathrm{pre}}=-\mathrm{i}\hbar\partial_q$ となる。この写像はすべての $f$、$g$ について$\left[\hat f_{\mathrm{pre}},\,\hat g_{\mathrm{pre}}\right]=\mathrm{i}\hbar\,\widehat{\{f,g\}}_{\mathrm{pre}}$ を満たすが、$\Psi$ が $q$ と $p$ の両方に依存するので既約でない（例題 2.2.6）。既約にするために $\Psi$ を $q$ だけの関数に制限する操作が偏極（第10部第4章）で、制限すると位置表示 (2.2.18) が戻ってくる。制限した後に正しく作用する $f$ は、偏極を保つもの（$p$ について1次以下の関数など）に限られる。こうして「どの関数が規則どおりに量子化できるか」の範囲が幾何で決まる。