積の Weyl 記号：$\star$ 積を導く

量子力学の様々な構成方法　第5部 第3章 §5.3.1　★★★ 指数関数の演算子の積は BCH の位相1つで書ける。それを Fourier の重ね合わせで広げると、積の記号は $\star$ 積という双微分演算子で決まる

前の章（第5部第2章）で、密度行列 $\hat\rho$ と Wigner 関数 $W$、物理量 $\hat A$ と Weyl 記号 $A_W$ が1対1に対応し、期待値が $\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat A)=\int W A_W\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p$ と位相空間の積分になることを示した。ただし、そこで写したのは状態と物理量の「値」だけで、演算子どうしの積 $\hat A\hat B$ がどの関数に写るかは決めていない。量子力学の時間発展は交換子 $\left[\hat A,\,\hat H\right]$ で書かれるので、積の行き先が決まらないかぎり、位相空間の構成は時間発展を書けない。

この章は、部の型（出発点の要請 → 基本の対象 → 基準との同値 → 共通例題 → 得意な問題 → 限界）のうち、「基準との同値」の後半を受け持つ。前の章が状態と物理量の対応を作ったのに対し、この章は積と時間発展の対応を作る。出発点に置くのは、前の章の Weyl 対応$\hat A\mapsto A_W$ と、その逆の Weyl 量子化 $\mathcal Q_{\mathrm W}[f]$ だけである。そこから積の記号

$$(\hat A\hat B)_W=A_W\star B_W,\qquad f\star g=f\exp\Bigl[\frac{\mathrm{i}\hbar}{2}\bigl(\overleftarrow{\partial_x}\overrightarrow{\partial_p}-\overleftarrow{\partial_p}\overrightarrow{\partial_x}\bigr)\Bigr]g$$

が一意に決まり（$\star$ 積）、交換子は Moyal 括弧 $\{\!\{f,g\}\!\}=(f\star g-g\star f)/(\mathrm{i}\hbar)$ に、von Neumann 方程式は Moyal 方程式$\partial_tW=\{\!\{H,W\}\!\}$ に写る。Moyal 括弧を $\hbar$ で展開すると最初の項が Poisson 括弧 $\{f,g\}$ なので、$\hbar\to0$ で Moyal 方程式は古典の統計力学の Liouville 方程式になる。計画の同値性の地図では「行列力学 ↔ 位相空間 ↔ 古典」の橋がこの章の置き場で、Heisenberg 方程式と Moyal 方程式の同値は両向きに証明する。前の章と同じく1次元・1粒子に話を限る。

指数関数どうしの積

Weyl 対応で最も扱いやすい演算子は、前の章の命題（指数関数の Weyl 記号）にある

$$\hat E(\bm{\ell})=\mathrm{e}^{\mathrm{i}(a\hat x+b\hat p)/\hbar},\qquad (\hat E(\bm{\ell}))_W=e_{\bm{\ell}}(x,p)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}(ax+bp)/\hbar},\qquad \bm{\ell}=(a,b)$$

である（$e_{\bm{\ell}}$ は平面波で、ここだけの記号）。任意の演算子はこれの重ね合わせ

$$\hat A=\int\frac{\mathrm{d} a\,\mathrm{d} b}{(2\pi\hbar)^2}\,\tilde A(\bm{\ell})\,\hat E(\bm{\ell}),\qquad \tilde A(\bm{\ell})=\int A_W(x,p)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(ax+bp)/\hbar}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p\tag{5.3.1}$$

で書ける（第5部第2章の Weyl の Fourier 形）。したがって、2つの平面波の演算子の積が分かれば、一般の積も分かる。

2つの指数の肩 $\hat X=\mathrm{i}(a\hat x+b\hat p)/\hbar$、$\hat Y=\mathrm{i}(a'\hat x+b'\hat p)/\hbar$ の交換子は、$\left[\hat x,\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbar$ から

$$\left[\hat X,\,\hat Y\right]=-\frac{1}{\hbar^2}\left[a\hat x+b\hat p,\,a'\hat x+b'\hat p\right]=-\frac{1}{\hbar^2}(ab'-ba')\,\mathrm{i}\hbar=-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}(ab'-ba')$$

で、ただの数である。数は $\hat X$ とも $\hat Y$ とも交換するので、Baker–Campbell–Hausdorff の公式は2項目で止まり、$\mathrm{e}^{\hat X}\mathrm{e}^{\hat Y}=\mathrm{e}^{\hat X+\hat Y}\mathrm{e}^{\left[\hat X,\,\hat Y\right]/2}$ が厳密に成り立つ。よって

$$\hat E(\bm{\ell})\,\hat E(\bm{\ell}')=\exp\Bigl[-\frac{\mathrm{i}}{2\hbar}(ab'-ba')\Bigr]\hat E(\bm{\ell}+\bm{\ell}') .\tag{5.3.2}$$

右辺の Weyl 記号は $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(ab'-ba')/(2\hbar)}e_{\bm{\ell}+\bm{\ell}'}=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(ab'-ba')/(2\hbar)}e_{\bm{\ell}}e_{\bm{\ell}'}$ である。積の記号は「記号の積」$e_{\bm{\ell}}e_{\bm{\ell}'}$ に、$\bm{\ell}$ と $\bm{\ell}'$ の作る面積 $ab'-ba'$ に比例する位相が掛かったものになる。

位相を微分で書く

この位相を、$e_{\bm{\ell}}$ と $e_{\bm{\ell}'}$ に対する微分で書き直す。左の関数だけに作用する微分を $\overleftarrow\partial$、右の関数だけに作用する微分を $\overrightarrow\partial$ と書き、

$$\overleftrightarrow{\Pi}=\overleftarrow{\partial_x}\overrightarrow{\partial_p}-\overleftarrow{\partial_p}\overrightarrow{\partial_x}\tag{5.3.3}$$

と置く。$f\overleftrightarrow\Pi g=\partial_xf\,\partial_pg-\partial_pf\,\partial_xg=\{f,g\}$ で、これは Poisson 括弧（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部第11章、$\{x,p\}=1$ の流儀）そのものである。平面波に当てると $\partial_x\to\mathrm{i} a/\hbar$、$\partial_p\to\mathrm{i} b/\hbar$ なので

$$e_{\bm{\ell}}\,\overleftrightarrow\Pi\,e_{\bm{\ell}'}=\Bigl(\frac{\mathrm{i} a}{\hbar}\frac{\mathrm{i} b'}{\hbar}-\frac{\mathrm{i} b}{\hbar}\frac{\mathrm{i} a'}{\hbar}\Bigr)e_{\bm{\ell}}e_{\bm{\ell}'} =-\frac{ab'-ba'}{\hbar^2}\,e_{\bm{\ell}}e_{\bm{\ell}'} ,$$

$n$ 回なら $(-(ab'-ba')/\hbar^2)^n$ が掛かる。したがって

$$e_{\bm{\ell}}\exp\Bigl[\frac{\mathrm{i}\hbar}{2}\overleftrightarrow\Pi\Bigr]e_{\bm{\ell}'} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\Bigl(\frac{\mathrm{i}\hbar}{2}\Bigr)^n\Bigl(-\frac{ab'-ba'}{\hbar^2}\Bigr)^n e_{\bm{\ell}}e_{\bm{\ell}'} =\exp\Bigl[-\frac{\mathrm{i}}{2\hbar}(ab'-ba')\Bigr]e_{\bm{\ell}}e_{\bm{\ell}'}$$

となり、(5.3.2) の位相と一致する。

証明

(5.3.1) を $\hat A$ と $\hat B$ の両方に使い、(5.3.2) で積をまとめると

$$\hat A\hat B=\int\frac{\mathrm{d}^2\ell\,\mathrm{d}^2\ell'}{(2\pi\hbar)^4}\,\tilde A(\bm{\ell})\tilde B(\bm{\ell}')\, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(ab'-ba')/(2\hbar)}\,\hat E(\bm{\ell}+\bm{\ell}') .$$

Weyl 記号は線形なので、積分の中の $\hat E(\bm{\ell}+\bm{\ell}')$ をその記号 $e_{\bm{\ell}}e_{\bm{\ell}'}$ に替えてよい。直前の計算から$\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(ab'-ba')/(2\hbar)}e_{\bm{\ell}}e_{\bm{\ell}'}=e_{\bm{\ell}}\star e_{\bm{\ell}'}$ なので

$$(\hat A\hat B)_W=\int\frac{\mathrm{d}^2\ell\,\mathrm{d}^2\ell'}{(2\pi\hbar)^4}\,\tilde A(\bm{\ell})\tilde B(\bm{\ell}')\,e_{\bm{\ell}}\star e_{\bm{\ell}'} .$$

$\star$ 積は $f$ についても $g$ についても線形な微分演算なので、積分を $\star$ の両側に入れ、$\int\frac{\mathrm{d}^2\ell}{(2\pi\hbar)^2}\tilde A\,e_{\bm{\ell}}=A_W$ を使うと $A_W\star B_W$ を得る。2つ目の式は、1つ目の式の両辺に $\mathcal Q_{\mathrm W}$ を当てたものである（Weyl 対応が1対1であることは前の章で示した）。

この積は H. J. Groenewold が 1946 年に Weyl 対応の積の構造として導き¹1H. J. Groenewold (1946), Physica 12, 405–460.下の脚注へ閉じる、J. E. Moyal が 1949 年に位相空間の統計の理論として時間発展を書いた²2J. E. Moyal (1949), Proc. Cambridge Philos. Soc. 45, 99–124.下の脚注へ閉じる。証明の要点は、指数の肩の交換子が数であることの1点にある。$\hat x$ と $\hat p$ の交換子が数でなければ BCH の級数は止まらず、積の記号がこのように閉じた形にはならない。

1　H. J. Groenewold (1946), Physica 12, 405–460.

2　J. E. Moyal (1949), Proc. Cambridge Philos. Soc. 45, 99–124.