中点と差の Fourier 変換：Wigner 変換と Weyl 記号

量子力学の様々な構成方法　第5部 第2章 §5.2.1　★★★ 状態にも物理量にも同じ変換を当てる。状態の変換が $W$、物理量の変換が Weyl 記号 $A_W$

前の章（第5部第1章）は、密度行列 $\hat\rho$ に位相空間の関数 $W(x,p)$ を対応させる規則として Wigner 関数

$$W(x,p)=\frac{1}{\pi\hbar}\int\langle x+y | \hat\rho | x-y \rangle \,\mathrm{e}^{-2\mathrm{i} py/\hbar}\,\mathrm{d} y$$

を選び、それが実数値・規格化・周辺分布・平行移動の要請を満たすことを示した。ただし、そこで確かめたのは位置だけ・運動量だけの関数の期待値までである。位相空間の構成を「量子力学の1つの構成」と呼ぶには、次の2つが要る。第一に、$W$ から $\hat\rho$ が元どおりに復元でき、状態の情報が何も失われていないこと。第二に、$\hat x$ と $\hat p$ が混ざった任意の物理量 $\hat A$ についても、期待値 $\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat A)$ が位相空間の積分で書けること。

この章は、部の型（出発点の要請 → 基本の対象 → 基準との同値 → 共通例題 → 得意な問題 → 限界）のうち「基準との同値」を受け持つ。計画の同値性の地図の「密度行列 ↔ 位相空間」の橋の置き場がこの章で、ここで両向きを証明する。道具は1つで、演算子の位置表示 $\langle x' | \hat A | x'' \rangle$ を中点と差の座標に書き直し、差について Fourier 変換する操作（Wigner 変換）である。これを状態にも物理量にも同じ形で当てると、物理量の側には Weyl 記号 $A_W(x,p)$ ができ、期待値は

$$\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat A)=\int W(x,p)\,A_W(x,p)\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p$$

になる。Weyl 記号は古典の関数と同じとは限らず、たとえば $\hat x\hat p$ の記号は $xp+\mathrm{i}\hbar/2$ である。どの演算子がどの関数に写るかを決める規則がWeyl 対応で、それは「$\hat x$ と $\hat p$ を対称に並べる」規則（Weyl 順序）と一致する。最後に、ハミルトニアンが2次以下なら $W$ が古典の流れに沿って運ばれるだけであることを示し、共通例題③（自由粒子の波束の広がり）を位相空間で解く。積 $\hat A\hat B$ が何に写るか（$\star$ 積）と時間発展の一般の式（Moyal 方程式）は第5部第3章で扱う。この章でも1次元・1粒子に話を限る。

演算子の Wigner 変換

基準の公理（第1部第2章）では、1次元の粒子の演算子 $\hat A$ は位置表示の行列要素 $\langle x' | \hat A | x'' \rangle$ で決まる。これは2つの位置 $x'$、$x''$ の関数で、位相空間の関数 $(x,p)$ と同じく2変数である。ただし変数の意味が違うので、そのまま位相空間の関数と読むことはできない。そこで $x'$、$x''$ を中点 $x$ と差 $y$ に取り替える。

$$x=\frac{x'+x''}{2},\qquad y=x''-x' .\tag{5.2.1}$$

対角線 $x'=x''$ の上が $y=0$ で、そこに並ぶ対角成分 $\langle x | \hat A | x \rangle$ は位置について「局所的な」情報を持つ。対角線から離れた成分は、位置 $x'$ と $x''$ の間の干渉、つまり位相の傾きの情報を持つ。位相の傾きは運動量なので、差 $y$ について Fourier 変換すれば、その共役変数を運動量と読める（図 5.2.1）。

これがこの巻で使う形で、Wigner 関数の定義とは前の係数と変数の取り方だけが違う。両者の関係は次のとおりである。

証明

(5.2.2) で $\hat A=\hat\rho$ とし、積分変数を $y=-2y'$ に替える。$\mathrm{d} y=2\,\mathrm{d} y'$（積分の向きが逆になる分は上下限の入れ替えで吸収する）なので

$$\rho_W(x,p)=2\int\langle x+y' | \hat\rho | x-y' \rangle \,\mathrm{e}^{-2\mathrm{i} py'/\hbar}\,\mathrm{d} y'=2\pi\hbar\,W(x,p) .$$

状態と物理量に同じ変換を当てていることが、この先の議論の要になる。状態の側だけ $2\pi\hbar$ で割るのは、$\int W\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p=1$ と規格化するためである。

簡単な演算子の記号

位置だけの関数 $f(\hat x)$ では $\langle x' | f(\hat x) | x'' \rangle =f(x')\delta(x'-x'')$ なので、(5.2.2) の $y$ の積分は $\delta(-y)$ で $y=0$ に落ち、$f(\hat x)$ の記号は $f(x)$ そのものになる。運動量だけの関数 $g(\hat p)$ では、平面波の完全性から$\langle x' | g(\hat p) | x'' \rangle =\int\frac{\mathrm{d} p'}{2\pi\hbar}\,g(p')\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} p'(x'-x'')/\hbar}$ で、$x'-x''=-y$ を入れて

$$\int\mathrm{d} y\int\frac{\mathrm{d} p'}{2\pi\hbar}\,g(p')\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} p'y/\hbar}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} py/\hbar}=\int\mathrm{d} p'\,g(p')\,\delta(p-p')=g(p)\tag{5.2.4}$$

となる。恒等演算子の記号は $1$ である。したがって

$$f(\hat x)\ \longmapsto\ f(x),\qquad g(\hat p)\ \longmapsto\ g(p),\qquad \hat 1\ \longmapsto\ 1 .\tag{5.2.5}$$

位置だけ・運動量だけの物理量については、記号は古典の関数と同じで、順序の問題は起きない。前の章の周辺分布 (W3) は、この事実と次節以降のトレースの公式を組み合わせたものとして読み直すことができる。$\hat x$ と $\hat p$ が混ざると、記号に $\hbar$ の項が付くことがある。