古典の統計力学は位相空間の分布で書かれている

量子力学の様々な構成方法　第5部 第1章 §5.1.1　★★ 量子に求める形の手本。分布・周辺分布・期待値・Liouville 方程式の4つをそろえる

古典の統計力学では、系の状態を位相空間 $(x,p)$ 上の確率分布 $\rho_{\mathrm{cl}}(x,p)$ で表し、どの物理量の期待値も $\int A\,\rho_{\mathrm{cl}}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p$ という同じ形の積分で計算する。量子力学の基準（第1部第2章）では、状態は密度行列 $\hat\rho$ で、期待値は $\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat A)$ である。第5部は、量子力学を古典と同じ「位相空間の上の関数」の言葉で組み立て直す構成を扱う。この構成は、密度行列の代わりに位相空間の関数 $W(x,p)$ を状態とみなし、期待値も時間発展もこの関数の上で書く、という要請を出発点に置く。

この章は、部の型（出発点の要請 → 基本の対象 → 基準との同値 → 共通例題 → 得意な問題 → 限界）のうち、最初の「出発点の要請」を受け持つ。古典の分布が持つ性質を並べ、そのうちどれを量子の分布にも課せるかを決める。結論は次の3点にまとめられる。第一に、実数値・規格化・状態についての線形性・位置と運動量の周辺分布・平行移動との整合の5つは同時に満たせる。E. P. Wigner が 1932 年に書いた関数 $W$ がその答えである。第二に、これに「至る所で非負」を加えると矛盾する。この矛盾は、重ね合わせの干渉項が周辺分布に現れることから直接示せる。第三に、$W$ は高さが $1/(\pi\hbar)$ を超えず、面積 $2\pi\hbar$ より狭い領域に集まれない。Wigner がこの関数を持ち出した目的は熱平衡の量子補正の計算で、5節でその計算を最後まで行う。$W$ と密度行列の両向きの対応（Weyl 対応）は次の章（第5部第2章）、時間発展の式（Moyal 方程式）は 第5部第3章、負の値の意味は第5部第4章で扱う。この章では1次元・1粒子に話を限る。

1次元の粒子の古典統計力学を、この章で使う形に書いておく。状態は位相空間の確率密度$\rho_{\mathrm{cl}}(x,p,t)$ で、次の3つを満たす。

$$\rho_{\mathrm{cl}}(x,p,t)\ge 0,\qquad \int\rho_{\mathrm{cl}}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p=1,\qquad \langle A \rangle =\int A(x,p)\,\rho_{\mathrm{cl}}(x,p,t)\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p .\tag{5.1.1}$$

ここでは測度を $\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p$ のままにし、$\rho_{\mathrm{cl}}$ が $\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p$ について規格化されるように取る。『解析力学から様々な理論分野を組み立てる』（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部第3章）は測度を $\mathrm{d} q\,\mathrm{d} p/(2\pi\hbar)$ に取っているので、分布の値はそちらの $1/(2\pi\hbar)$ 倍になる。後で比べる $W$ も $\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p$ について規格化するので、こちらの取り方に揃えた。

$\rho_{\mathrm{cl}}$ を $p$ について積分すると位置の分布 $P(x)=\int\rho_{\mathrm{cl}}\,\mathrm{d} p$、$x$ について積分すると運動量の分布 $\tilde P(p)=\int\rho_{\mathrm{cl}}\,\mathrm{d} x$ が得られる。これを周辺分布と呼ぶ。古典では、もっと一般に $u=ax+bp$（$a,b$ は実数）という1次結合の分布も、$\rho_{\mathrm{cl}}$ を直線 $ax+bp=u$ に沿って積分すれば得られる。1つの関数 $\rho_{\mathrm{cl}}$ が、あらゆる組み合わせの物理量の分布を同時に持っている。

時間発展は Liouville 方程式

$$\frac{\partial \rho_{\mathrm{cl}}}{\partial t}=\{H,\rho_{\mathrm{cl}}\} =\frac{\partial H}{\partial x}\frac{\partial \rho_{\mathrm{cl}}}{\partial p}-\frac{\partial H}{\partial p}\frac{\partial \rho_{\mathrm{cl}}}{\partial x}\tag{5.1.2}$$

で決まる（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部第1章）。分布の各点が Hamilton 方程式に沿って流れ、相空間の体積が保たれることをこの式は表している。温度 $T$ の熱平衡は $\{H,\rho_{\mathrm{cl}}\}=0$ を満たすカノニカル分布

$$\rho_{\mathrm{cl}}(x,p)=\frac{\mathrm{e}^{-\beta H(x,p)}}{\int\mathrm{e}^{-\beta H}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p},\qquad \beta=\frac{1}{ k_{\mathrm B} T}\tag{5.1.3}$$

である。

量子力学でも、位置だけの関数 $f(\hat x)$ の期待値は $\int f(x)\langle x | \hat\rho | x \rangle \,\mathrm{d} x$、運動量だけの関数 $g(\hat p)$ の期待値は $\int g(p)\langle p | \hat\rho | p \rangle \,\mathrm{d} p$ と、それぞれ確率分布の積分で書ける。古典と違い、$\hat x$ と $\hat p$ は交換しないので、両方をまとめた「同時の分布」は基準の公理の中に用意されていない。この章の問いは、その同時の分布を作れるか、作れるとしたら何を諦めることになるか、である。