量子の分布に何を求めるか

2026年10月17日9分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第5部第1章量子力学を「確率分布」で書けるか

5つの要請
素朴な候補：周辺分布の積
非負の要請は他と両立しない
木下の層

AI 生成・木下が未勉強

量子力学の様々な構成方法　第5部第1章 §5.1.2　★★★ 位相空間の構成の出発点の要請。5つは同時に課せるが、非負を加えると矛盾する

5つの要請

密度行列 $\hat\rho$ から位相空間の関数 $W_{\hat\rho}(x,p)$ を作る規則を考える。古典の分布の性質に合わせて、次の要請を並べる。

定義 5.1.1（位相空間の分布への要請）

密度行列 $\hat\rho$ に関数 $W_{\hat\rho}(x,p)$ を対応させる規則について、次の条件を考える。

(W1) $W_{\hat\rho}$ は実数値で、 $\int W_{\hat\rho}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p=1$ 。
(W2) $\hat\rho$ について線形： $\hat\rho=\sum_k q_k\hat\rho_k$ なら $W_{\hat\rho}=\sum_k q_kW_{\hat\rho_k}$ 。
(W3) 周辺分布が正しい： $\int W_{\hat\rho}\,\mathrm{d} p=\langle x | \hat\rho | x \rangle$ 、 $\int W_{\hat\rho}\,\mathrm{d} x=\langle p | \hat\rho | p \rangle$ 。
(W4) 平行移動と整合する：状態を位置で $a$ 、運動量で $p_0$ だけずらすと、 $W$ も $(x,p)\to(x-a,p-p_0)$ とずれる。
(W5) 至る所で非負： $W_{\hat\rho}(x,p)\ge0$ 。

(W2) は混合状態の扱いから要る。確率 $q_k$ で状態 $\hat\rho_k$ を用意するという操作は、古典では分布の重み付き和に対応する。量子でも同じ操作が $\hat\rho=\sum_kq_k\hat\rho_k$ になる（第4部第1章）ので、分布の側も重み付き和になってほしい。(W2) を純粋状態 $\hat\rho=| \psi \rangle \langle \psi |$ で読むと、 $W$ は $\psi$ と $\psi^*$ について1次ずつ、つまり $\psi$ の双線形な式になる。(W3) は、位置だけ・運動量だけを測る実験で、基準の Born の規則と同じ確率を出すための条件である。(W4) は、 $\psi(x)\to\psi(x-a)$ や $\psi(x)\to\mathrm{e}^{\mathrm{i} p_0x/\hbar}\psi(x)$ という操作が、位相空間の点を動かすだけになってほしいという条件である。

素朴な候補：周辺分布の積

最初に思いつく候補は、2つの周辺分布の積

$W^{\mathrm{prod}}_\psi(x,p)=\lvert \psi(x)\rvert ^2\,\lvert \varphi(p)\rvert ^2,\qquad \varphi(p)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int\psi(x)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} px/\hbar}\,\mathrm{d} x\tag{5.1.4}$

である。これは (W1)(W3)(W4)(W5) を満たす。しかし $\psi$ について4次の式なので (W2) を満たさない。さらに、積の候補は位置と運動量の相関を持てない。次の例題でこれを確かめる。

例題 5.1.2　チャープした Gauss 波束の相関 ★★★

オリジナル $\sigma>0$ 、 $\kappa$ を実数として、波束

$\psi(x)=(2\pi\sigma^2)^{-1/4}\exp\Bigl(-\frac{x^2}{4\sigma^2}+\mathrm{i}\kappa x^2\Bigr)$

を考える（位相が $x^2$ に比例するので「チャープした」波束と呼ぶ）。

(1) $\langle \hat x^2 \rangle$ と $\langle \hat p^2 \rangle$ を求めよ。
(2) 対称化した相関 $C=\tfrac12\langle \hat x\hat p+\hat p\hat x \rangle$ を求めよ。
(3) 積の候補 (5.1.4) で計算した $\int xp\,W^{\mathrm{prod}}_\psi\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p$ と比べよ。

解答

(1) $\lvert \psi\rvert ^2=(2\pi\sigma^2)^{-1/2}\mathrm{e}^{-x^2/(2\sigma^2)}$ は分散 $\sigma^2$ の正規分布なので $\langle \hat x^2 \rangle =\sigma^2$ 。 $\hat p\psi=-\mathrm{i}\hbar\psi'$ を計算すると

$\hat p\psi=-\mathrm{i}\hbar\Bigl(-\frac{x}{2\sigma^2}+2\mathrm{i}\kappa x\Bigr)\psi=\Bigl(\frac{\mathrm{i}\hbar}{2\sigma^2}+2\hbar\kappa\Bigr)x\,\psi .$

よって $\langle \hat p^2 \rangle =\int\lvert \hat p\psi\rvert ^2\mathrm{d} x=\bigl(\hbar^2/(4\sigma^4)+4\hbar^2\kappa^2\bigr)\sigma^2=\hbar^2/(4\sigma^2)+4\hbar^2\kappa^2\sigma^2$ 。

(2) 上の式から $\langle \hat x\hat p \rangle =\int\psi^*x\,\hat p\psi\,\mathrm{d} x=\bigl(\mathrm{i}\hbar/(2\sigma^2)+2\hbar\kappa\bigr)\sigma^2=\mathrm{i}\hbar/2+2\hbar\kappa\sigma^2$ 。 $\hat p\hat x=\hat x\hat p-\mathrm{i}\hbar$ なので $\langle \hat p\hat x \rangle =-\mathrm{i}\hbar/2+2\hbar\kappa\sigma^2$ 。平均を取って

$C=2\hbar\kappa\sigma^2 .$

$\kappa>0$ なら、右にいる粒子ほど正の運動量を持つ傾向がある。

(3) $W^{\mathrm{prod}}_\psi$ は $x$ の関数と $p$ の関数の積で、 $\lvert \varphi(p)\rvert ^2$ は偶関数なので $\int xp\,W^{\mathrm{prod}}_\psi\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p=\langle x \rangle \langle p \rangle =0$ になる。 $\kappa\ne0$ なら正しい値 $2\hbar\kappa\sigma^2$ と食い違う。自由粒子の波束は時間が経つとこの形のチャープを持つようになる（共通例題③）ので、積の候補では自由な広がりすら正しく書けない。

非負の要請は他と両立しない

積の候補が失敗したのは (W2) を満たさないからだった。では (W1)〜(W4) を満たしたうえで (W5) も満たす規則はあるか。答えは否で、(W2)(W3)(W5) の3つだけで矛盾が出る。

定理 5.1.2（非負で双線形な同時分布は無い ★★★）

純粋状態 $\psi$ に $\psi$ の双線形な式で $W_\psi(x,p)$ を対応させる規則で、(W3) と (W5) をすべての $\psi$ について満たすものは存在しない。

証明

そのような規則があったとする。 $x$ の上で互いに重ならない区間 $I_1$ 、 $I_2$ を取り、 $\psi_1$ は $I_1$ の外で、 $\psi_2$ は $I_2$ の外で $0$ になる規格化された波動関数とする。複素数 $c_1,c_2$ で $\psi=c_1\psi_1+c_2\psi_2$ と置くと、双線形性から

$W_\psi=\lvert c_1\rvert ^2W_1+\lvert c_2\rvert ^2W_2+c_1c_2^*W_{12}+c_1^*c_2W_{21}$

と書ける。 $W_1=W_{\psi_1}$ 、 $W_2=W_{\psi_2}$ で、 $W_{12}$ ・ $W_{21}$ は $\psi_1$ と $\psi_2$ の交差の項である。各点 $(x,p)$ で、これは $(c_1,c_2)$ についての Hermite 形式で、(W5) からその値はつねに $0$ 以上である。つまり $2\times2$ 行列 $\begin{pmatrix}W_1&W_{12}\\W_{21}&W_2\end{pmatrix}$ が各点で半正定値になる。

$x\notin I_2$ の点を考える。(W3) から $\int W_2\,\mathrm{d} p=\lvert \psi_2(x)\rvert ^2=0$ で、(W5) から $W_2\ge0$ なので、ほとんどすべての $p$ で $W_2(x,p)=0$ である。半正定値の $2\times2$ 行列の対角成分が $0$ なら、その行と列の非対角成分も $0$ になる（ $\lvert W_{12}\rvert ^2\le W_1W_2$ ）。したがって $x\notin I_2$ で $W_{12}=W_{21}=0$ 。同じ議論を $x\notin I_1$ に使えば、 $I_1$ と $I_2$ は重ならないので、すべての $x$ で $W_{12}=W_{21}=0$ となる。

すると $W_\psi=\lvert c_1\rvert ^2W_1+\lvert c_2\rvert ^2W_2$ で、 $x$ について積分すると (W3) から

$\lvert \varphi(p)\rvert ^2=\lvert c_1\rvert ^2\lvert \varphi_1(p)\rvert ^2+\lvert c_2\rvert ^2\lvert \varphi_2(p)\rvert ^2$

となるはずである。しかし実際の運動量分布は $\lvert c_1\varphi_1+c_2\varphi_2\rvert ^2$ で、干渉項 $2\operatorname{Re}(c_1c_2^*\varphi_1\varphi_2^*)$ を含む。2つの波束が離れた場所にあると $\varphi_1\varphi_2^*$ は $p$ について振動し、一般には $0$ でない（二重スリットの縞がこれである）。これは矛盾である。

この定理から、位相空間の構成は出発点で要請のどれかを諦めなければならない。Wigner は (W1)〜(W4) を残して (W5) を捨て、その結果 $W$ は負の値も取る「準確率分布」になる。(W5) を残して (W3) を捨てる道もあり、Husimi の $Q$ 関数がそれに当たる（第5部第6章）。どちらを選んでも、古典の分布と同じ性質をすべて持つ関数は作れない。上の証明の要は、重ね合わせの干渉項が運動量の周辺分布に現れることにある。このあたりの議論は Wigner 自身が後年まとめている（E. P. Wigner (1971)、“Quantum-mechanical distribution functions revisited”、Perspectives in Quantum Theory（W. Yourgrau・A. van der Merwe 編）、MIT Press、25 頁以降）。

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連載AI生成教科書『虎の巻』授業とは別に、分野をまたいで気になったことを AI（Claude）が教材にし、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。1787本の記事・木下智貴

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