量子力学の様々な構成方法 第5部 第6章 §5.6.1 ★★★ 特性関数に e s ∣ ξ ∣ 2 / 2 \mathrm{e}^{s\lvert \xi\rvert ^2/2} e s ∣ ξ ∣ 2 /2 F s F_s F s P P P s = 1 s=1 s = 1 W W W s = 0 s=0 s = 0 Q Q Q s = − 1 s=-1 s = − 1 s s s s s s
第5部はここまで、1粒子の位置 x x x p p p 第5部第1章 で Wigner 関数 W W W 第5部第2章 で密度行列と1対1に対応することを、第5部第3章 で演算子の積が ⋆ \star ⋆ 第5部第4章 は W W W 第5部第5章 は共通例題①を位相空間の道具だけで解いた。
この章は部の型（出発点の要請 → 基本の対象 → 基準との同値 → 共通例題 → 得意な問題 → 限界）の最後の2つ、「得意な問題」と「限界」を受け持つ。位相空間の構成が最も使われている分野は量子光学で、そこでは1つの光のモードの状態を、W W W P P P Q Q Q a ^ , a ^ † \hat a,\hat a^\dagger a ^ , a ^ † どの順に並べた期待値を与えるか で分かれる。P P P a ^ † \hat a^\dagger a ^ † W W W Q Q Q a ^ \hat a a ^ 5.6.6 節で両向きに示す。
出発点に置くのは前の章までの結果と、第2部の生成消滅演算子 a ^ \hat a a ^ [ a ^ , a ^ † ] = 1 \left[\hat a,\,\hat a^\dagger\right]=1 [ a ^ , a ^ † ] = 1 5.6.2 節で共通例題⑤（熱的な光）を3つの分布で解き、5.6.3 節でコヒーレント状態とスクイーズド状態、5.6.4 節で猫状態と損失による縞の消え方を扱う。5.6.5 節は、実験で測られる分布がどれかと、位相空間の構成の限界をまとめる。1つのモードの x , p x,p x , p
複素の座標 α \alpha α
角周波数 ω \omega ω H ^ = ℏ ω ( a ^ † a ^ + 1 2 ) \hat H=\hbar\omega(\hat a^\dagger\hat a+\frac12) H ^ = ℏ ω ( a ^ † a ^ + 2 1 )
α = 1 2 ℏ ( m ω x + i p m ω ) = X 1 + i X 2 , d 2 α ≔ d X 1 d X 2 = d x d p 2 ℏ (5.6.1) \alpha=\frac{1}{\sqrt{2\hbar}}\Bigl(\sqrt{m\omega}\,x+\frac{\mathrm{i} p}{\sqrt{m\omega}}\Bigr)=X_1+\mathrm{i} X_2,\qquad
\mathrm{d}^2\alpha\coloneqq\mathrm{d} X_1\,\mathrm{d} X_2=\frac{\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p}{2\hbar}\tag{5.6.1} α = 2ℏ 1 ( mω x + mω i p ) = X 1 + i X 2 , d 2 α : = d X 1 d X 2 = 2ℏ d x d p ( 5.6.1 )
を置く。α \alpha α a ^ \hat a a ^ 第6部第1章 の古典の複素振幅と同じ）、第5部第4章 がコヒーレント状態の中心として使ったものと同じ規格化である。実部と虚部 X 1 , X 2 X_1,X_2 X 1 , X 2 X ^ θ = ( a ^ e − i θ + a ^ † e i θ ) / 2 \hat X_\theta=(\hat a\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}+\hat a^\dagger\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta})/2 X ^ θ = ( a ^ e − i θ + a ^ † e i θ ) /2 θ = 0 , π / 2 \theta=0,\pi/2 θ = 0 , π /2 光学と量子エレクトロニクス 第31章 と同じ 1 2 \frac12 2 1 1 4 \frac14 4 1
この章の分布は、すべて d 2 α \mathrm{d}^2\alpha d 2 α d x d p \mathrm{d} x\,\mathrm{d} p d x d p W ( x , p ) W(x,p) W ( x , p )
W ( α ) = 2 ℏ W ( x , p ) (5.6.2) W(\alpha)=2\hbar\,W(x,p)\tag{5.6.2} W ( α ) = 2ℏ W ( x , p ) ( 5.6.2 )
の関係にある。W ( α ) W(\alpha) W ( α ) W ( x , p ) W(x,p) W ( x , p ) W ( x , p ) = 1 π ℏ e − 2 H / ( ℏ ω ) W(x,p)=\frac{1}{\pi\hbar}\mathrm{e}^{-2H/(\hbar\omega)} W ( x , p ) = π ℏ 1 e − 2 H / ( ℏ ω ) H / ( ℏ ω ) = ∣ α ∣ 2 H/(\hbar\omega)=\lvert \alpha\rvert ^2 H / ( ℏ ω ) = ∣ α ∣ 2 W ( α ) = 2 π e − 2 ∣ α ∣ 2 W(\alpha)=\frac2\pi\mathrm{e}^{-2\lvert \alpha\rvert ^2} W ( α ) = π 2 e − 2 ∣ α ∣ 2
特性関数の族
変位演算子 D ^ ( ξ ) = exp ( ξ a ^ † − ξ ∗ a ^ ) \hat D(\xi)=\exp(\xi\hat a^\dagger-\xi^*\hat a) D ^ ( ξ ) = exp ( ξ a ^ † − ξ ∗ a ^ ) 光学と量子エレクトロニクス 第31章 の D ^ \hat D D ^ ξ a ^ † \xi\hat a^\dagger ξ a ^ † − ξ ∗ a ^ -\xi^*\hat a − ξ ∗ a ^ [ ξ a ^ † , − ξ ∗ a ^ ] = ∣ ξ ∣ 2 \left[\xi\hat a^\dagger,\,-\xi^*\hat a\right]=\lvert \xi\rvert ^2 [ ξ a ^ † , − ξ ∗ a ^ ] = ∣ ξ ∣ 2 e A ^ + B ^ = e A ^ e B ^ e − [ A ^ , B ^ ] / 2 \mathrm{e}^{\hat A+\hat B}=\mathrm{e}^{\hat A}\mathrm{e}^{\hat B}\mathrm{e}^{-\left[\hat A,\,\hat B\right]/2} e A ^ + B ^ = e A ^ e B ^ e − [ A ^ , B ^ ] /2
D ^ ( ξ ) = e − ∣ ξ ∣ 2 / 2 e ξ a ^ † e − ξ ∗ a ^ = e + ∣ ξ ∣ 2 / 2 e − ξ ∗ a ^ e ξ a ^ † (5.6.3) \hat D(\xi)=\mathrm{e}^{-\lvert \xi\rvert ^2/2}\,\mathrm{e}^{\xi\hat a^\dagger}\mathrm{e}^{-\xi^*\hat a}=\mathrm{e}^{+\lvert \xi\rvert ^2/2}\,\mathrm{e}^{-\xi^*\hat a}\mathrm{e}^{\xi\hat a^\dagger}\tag{5.6.3} D ^ ( ξ ) = e − ∣ ξ ∣ 2 /2 e ξ a ^ † e − ξ ∗ a ^ = e + ∣ ξ ∣ 2 /2 e − ξ ∗ a ^ e ξ a ^ † ( 5.6.3 )
となる。中央の形では a ^ † \hat a^\dagger a ^ † a ^ \hat a a ^ e ∓ ∣ ξ ∣ 2 / 2 \mathrm{e}^{\mp\lvert \xi\rvert ^2/2} e ∓ ∣ ξ ∣ 2 /2
定義 5.6.1（s s s
実数 s s s ρ ^ \hat\rho ρ ^ s s s
χ s ( ξ ) = Tr ( ρ ^ D ^ ( ξ ) ) e s ∣ ξ ∣ 2 / 2 , F s ( α ) = 1 π 2 ∫ χ s ( ξ ) e α ξ ∗ − α ∗ ξ d 2 ξ (5.6.4) \chi_s(\xi)=\operatorname{Tr}\bigl(\hat\rho\hat D(\xi)\bigr)\mathrm{e}^{s\lvert \xi\rvert ^2/2},\qquad
F_s(\alpha)=\frac{1}{\pi^2}\int\chi_s(\xi)\,\mathrm{e}^{\alpha\xi^*-\alpha^*\xi}\,\mathrm{d}^2\xi\tag{5.6.4} χ s ( ξ ) = Tr ( ρ ^ D ^ ( ξ ) ) e s ∣ ξ ∣ 2 /2 , F s ( α ) = π 2 1 ∫ χ s ( ξ ) e α ξ ∗ − α ∗ ξ d 2 ξ ( 5.6.4 )
で定める。s = 1 s=1 s = 1 P P P s = 0 s=0 s = 0 W W W s = − 1 s=-1 s = − 1 Q Q Q
(5.6.3) から χ 1 ( ξ ) = Tr ( ρ ^ e ξ a ^ † e − ξ ∗ a ^ ) \chi_1(\xi)=\operatorname{Tr}(\hat\rho\,\mathrm{e}^{\xi\hat a^\dagger}\mathrm{e}^{-\xi^*\hat a}) χ 1 ( ξ ) = Tr ( ρ ^ e ξ a ^ † e − ξ ∗ a ^ ) χ − 1 ( ξ ) = Tr ( ρ ^ e − ξ ∗ a ^ e ξ a ^ † ) \chi_{-1}(\xi)=\operatorname{Tr}(\hat\rho\,\mathrm{e}^{-\xi^*\hat a}\mathrm{e}^{\xi\hat a^\dagger}) χ − 1 ( ξ ) = Tr ( ρ ^ e − ξ ∗ a ^ e ξ a ^ † ) χ 0 \chi_0 χ 0 Tr ( ρ ^ D ^ ( ξ ) ) \operatorname{Tr}(\hat\rho\hat D(\xi)) Tr ( ρ ^ D ^ ( ξ )) 177 , 1857；同 1882）。P P P 131 , 2766 と E. C. G. Sudarshan (1963), Phys. Rev. Lett. 10 , 277 が、Q Q Q 22 , 264–314 が最初に書いた。
χ 0 \chi_0 χ 0 ξ = ξ 1 + i ξ 2 \xi=\xi_1+\mathrm{i}\xi_2 ξ = ξ 1 + i ξ 2 (5.6.1) で a ^ \hat a a ^ x ^ , p ^ \hat x,\hat p x ^ , p ^ ξ a ^ † − ξ ∗ a ^ = i ( a x ^ + b p ^ ) / ℏ \xi\hat a^\dagger-\xi^*\hat a=\mathrm{i}(a\hat x+b\hat p)/\hbar ξ a ^ † − ξ ∗ a ^ = i ( a x ^ + b p ^ ) /ℏ a = − ξ 2 2 ℏ m ω a=-\xi_2\sqrt{2\hbar m\omega} a = − ξ 2 2ℏ mω b = ξ 1 2 ℏ / ( m ω ) b=\xi_1\sqrt{2\hbar/(m\omega)} b = ξ 1 2ℏ/ ( mω ) χ 0 ( ξ ) \chi_0(\xi) χ 0 ( ξ ) 第5部第2章 の量子の特性関数 χ ( a , b ) = Tr ( ρ ^ e i ( a x ^ + b p ^ ) / ℏ ) \chi(a,b)=\operatorname{Tr}(\hat\rho\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(a\hat x+b\hat p)/\hbar}) χ ( a , b ) = Tr ( ρ ^ e i ( a x ^ + b p ^ ) /ℏ ) W W W (5.6.4) の F 0 F_0 F 0 (5.6.2) の W ( α ) W(\alpha) W ( α )
並べ方の定理と、Gauss 関数の畳み込み
定理 5.6.2（s s s
F s F_s F s a ^ † \hat a^\dagger a ^ † m m m a ^ \hat a a ^ n n n s s s { ( a ^ † ) m a ^ n } s \{(\hat a^\dagger)^m\hat a^n\}_s {( a ^ † ) m a ^ n } s
Tr ( ρ ^ { ( a ^ † ) m a ^ n } s ) = ∫ F s ( α ) ( α ∗ ) m α n d 2 α . (5.6.5) \operatorname{Tr}\bigl(\hat\rho\{(\hat a^\dagger)^m\hat a^n\}_s\bigr)=\int F_s(\alpha)\,(\alpha^*)^m\alpha^n\,\mathrm{d}^2\alpha .\tag{5.6.5} Tr ( ρ ^ {( a ^ † ) m a ^ n } s ) = ∫ F s ( α ) ( α ∗ ) m α n d 2 α . ( 5.6.5 )
s = 1 s=1 s = 1 { ⋅ } 1 \{\cdot\}_1 { ⋅ } 1 ( a ^ † ) m a ^ n (\hat a^\dagger)^m\hat a^n ( a ^ † ) m a ^ n s = − 1 s=-1 s = − 1 a ^ n ( a ^ † ) m \hat a^n(\hat a^\dagger)^m a ^ n ( a ^ † ) m s = 0 s=0 s = 0 m + n m+n m + n
証明 s s s e ξ a ^ † − ξ ∗ a ^ e s ∣ ξ ∣ 2 / 2 = ∑ m , n ξ m ( − ξ ∗ ) n m ! n ! { ( a ^ † ) m a ^ n } s \mathrm{e}^{\xi\hat a^\dagger-\xi^*\hat a}\mathrm{e}^{s\lvert \xi\rvert ^2/2}=\sum_{m,n}\frac{\xi^m(-\xi^*)^n}{m!\,n!}\{(\hat a^\dagger)^m\hat a^n\}_s e ξ a ^ † − ξ ∗ a ^ e s ∣ ξ ∣ 2 /2 = ∑ m , n m ! n ! ξ m ( − ξ ∗ ) n {( a ^ † ) m a ^ n } s s = 1 s=1 s = 1 (5.6.3) の中央の形から左辺は e ξ a ^ † e − ξ ∗ a ^ \mathrm{e}^{\xi\hat a^\dagger}\mathrm{e}^{-\xi^*\hat a} e ξ a ^ † e − ξ ∗ a ^ s = − 1 s=-1 s = − 1 s = 0 s=0 s = 0 ( ξ a ^ † − ξ ∗ a ^ ) m + n (\xi\hat a^\dagger-\xi^*\hat a)^{m+n} ( ξ a ^ † − ξ ∗ a ^ ) m + n a ^ † \hat a^\dagger a ^ † a ^ \hat a a ^ χ s ( ξ ) \chi_s(\xi) χ s ( ξ ) (5.6.4) の Fourier 変換を逆に解くと χ s ( ξ ) = ∫ F s ( α ) e ξ α ∗ − ξ ∗ α d 2 α \chi_s(\xi)=\int F_s(\alpha)\mathrm{e}^{\xi\alpha^*-\xi^*\alpha}\mathrm{d}^2\alpha χ s ( ξ ) = ∫ F s ( α ) e ξ α ∗ − ξ ∗ α d 2 α ∫ e ( α − β ) ξ ∗ − ( α − β ) ∗ ξ d 2 ξ = π 2 δ 2 ( α − β ) \int\mathrm{e}^{(\alpha-\beta)\xi^*-(\alpha-\beta)^*\xi}\mathrm{d}^2\xi=\pi^2\delta^2(\alpha-\beta) ∫ e ( α − β ) ξ ∗ − ( α − β ) ∗ ξ d 2 ξ = π 2 δ 2 ( α − β ) e ξ α ∗ − ξ ∗ α = ∑ m , n ξ m ( − ξ ∗ ) n m ! n ! ( α ∗ ) m α n \mathrm{e}^{\xi\alpha^*-\xi^*\alpha}=\sum_{m,n}\frac{\xi^m(-\xi^*)^n}{m!\,n!}(\alpha^*)^m\alpha^n e ξ α ∗ − ξ ∗ α = ∑ m , n m ! n ! ξ m ( − ξ ∗ ) n ( α ∗ ) m α n ξ m ( − ξ ∗ ) n \xi^m(-\xi^*)^n ξ m ( − ξ ∗ ) n (5.6.5) を得る。
定理の要点は、量子の期待値が古典の確率分布と同じ積分 ∫ F f d 2 α \int F\,f\,\mathrm{d}^2\alpha ∫ F f d 2 α s s s (5.6.4) から直ちに読み取ることができる。
命題 5.6.3（s s s
G σ ( α ) = 1 π σ e − ∣ α ∣ 2 / σ G_\sigma(\alpha)=\frac{1}{\pi\sigma}\mathrm{e}^{-\lvert \alpha\rvert ^2/\sigma} G σ ( α ) = π σ 1 e − ∣ α ∣ 2 / σ σ > 0 \sigma>0 σ > 0 ∫ G σ d 2 α = 1 \int G_\sigma\mathrm{d}^2\alpha=1 ∫ G σ d 2 α = 1 σ / 2 \sigma/2 σ /2 s > s ′ s>s' s > s ′
F s ′ = F s ∗ G ( s − s ′ ) / 2 , とくに W = P ∗ G 1 / 2 , Q = W ∗ G 1 / 2 = P ∗ G 1 . (5.6.6) F_{s'}=F_s*G_{(s-s')/2},\qquad\text{とくに}\quad W=P*G_{1/2},\quad Q=W*G_{1/2}=P*G_1 .\tag{5.6.6} F s ′ = F s ∗ G ( s − s ′ ) /2 , とくに W = P ∗ G 1/2 , Q = W ∗ G 1/2 = P ∗ G 1 . ( 5.6.6 )
証明 (5.6.4) から χ s ′ ( ξ ) = χ s ( ξ ) e − ( s − s ′ ) ∣ ξ ∣ 2 / 2 \chi_{s'}(\xi)=\chi_s(\xi)\mathrm{e}^{-(s-s')\lvert \xi\rvert ^2/2} χ s ′ ( ξ ) = χ s ( ξ ) e − ( s − s ′ ) ∣ ξ ∣ 2 /2 G σ G_\sigma G σ ∫ G σ ( α ) e ξ α ∗ − ξ ∗ α d 2 α = e − σ ∣ ξ ∣ 2 \int G_\sigma(\alpha)\mathrm{e}^{\xi\alpha^*-\xi^*\alpha}\mathrm{d}^2\alpha=\mathrm{e}^{-\sigma\lvert \xi\rvert ^2} ∫ G σ ( α ) e ξ α ∗ − ξ ∗ α d 2 α = e − σ ∣ ξ ∣ 2 ξ = k 1 + i k 2 \xi=k_1+\mathrm{i} k_2 ξ = k 1 + i k 2 2 i ( k 2 X 1 − k 1 X 2 ) 2\mathrm{i}(k_2X_1-k_1X_2) 2 i ( k 2 X 1 − k 1 X 2 ) e − ( s − s ′ ) ∣ ξ ∣ 2 / 2 \mathrm{e}^{-(s-s')\lvert \xi\rvert ^2/2} e − ( s − s ′ ) ∣ ξ ∣ 2 /2 G ( s − s ′ ) / 2 G_{(s-s')/2} G ( s − s ′ ) /2 (5.6.6) を得る。G σ ∗ G σ ′ = G σ + σ ′ G_{\sigma}*G_{\sigma'}=G_{\sigma+\sigma'} G σ ∗ G σ ′ = G σ + σ ′
Q Q Q P P P ∣ α ⟩ | \alpha \rangle ∣ α ⟩ Tr ( ρ ^ a ^ n ( a ^ † ) m ) \operatorname{Tr}(\hat\rho\,\hat a^n(\hat a^\dagger)^m) Tr ( ρ ^ a ^ n ( a ^ † ) m ) a ^ n \hat a^n a ^ n ( a ^ † ) m (\hat a^\dagger)^m ( a ^ † ) m ∫ ∣ α ⟩ ⟨ α ∣ d 2 α / π = 1 \int| \alpha \rangle \langle \alpha |\,\mathrm{d}^2\alpha/\pi=1 ∫ ∣ α ⟩ ⟨ α ∣ d 2 α / π = 1 a ^ ∣ α ⟩ = α ∣ α ⟩ \hat a| \alpha \rangle =\alpha| \alpha \rangle a ^ ∣ α ⟩ = α ∣ α ⟩
Tr ( ρ ^ a ^ n ( a ^ † ) m ) = ∫ ⟨ α ∣ ρ ^ ∣ α ⟩ π α n ( α ∗ ) m d 2 α \operatorname{Tr}\bigl(\hat\rho\,\hat a^n(\hat a^\dagger)^m\bigr)=\int\frac{\langle \alpha | \hat\rho | \alpha \rangle }{\pi}\,\alpha^n(\alpha^*)^m\,\mathrm{d}^2\alpha Tr ( ρ ^ a ^ n ( a ^ † ) m ) = ∫ π ⟨ α ∣ ρ ^ ∣ α ⟩ α n ( α ∗ ) m d 2 α
となる。これがすべての m , n m,n m , n (5.6.5) の s = − 1 s=-1 s = − 1
Q ( α ) = ⟨ α ∣ ρ ^ ∣ α ⟩ π ≥ 0 (5.6.7) Q(\alpha)=\frac{\langle \alpha | \hat\rho | \alpha \rangle }{\pi}\ \ge0\tag{5.6.7} Q ( α ) = π ⟨ α ∣ ρ ^ ∣ α ⟩ ≥ 0 ( 5.6.7 )
である。逆に、ρ ^ \hat\rho ρ ^
ρ ^ = ∫ P ( α ) ∣ α ⟩ ⟨ α ∣ d 2 α (5.6.8) \hat\rho=\int P(\alpha)| \alpha \rangle \langle \alpha |\,\mathrm{d}^2\alpha\tag{5.6.8} ρ ^ = ∫ P ( α ) ∣ α ⟩ ⟨ α ∣ d 2 α ( 5.6.8 )
に書けたとすると、正規順序の期待値は Tr ( ρ ^ ( a ^ † ) m a ^ n ) = ∫ P ( α ) ⟨ α ∣ ( a ^ † ) m a ^ n ∣ α ⟩ d 2 α = ∫ P ( α ∗ ) m α n d 2 α \operatorname{Tr}(\hat\rho(\hat a^\dagger)^m\hat a^n)=\int P(\alpha)\langle \alpha | (\hat a^\dagger)^m\hat a^n | \alpha \rangle \mathrm{d}^2\alpha=\int P\,(\alpha^*)^m\alpha^n\mathrm{d}^2\alpha Tr ( ρ ^ ( a ^ † ) m a ^ n ) = ∫ P ( α ) ⟨ α ∣ ( a ^ † ) m a ^ n ∣ α ⟩ d 2 α = ∫ P ( α ∗ ) m α n d 2 α s = 1 s=1 s = 1 (5.6.5) と一致する。(5.6.8) の重み P P P P P P P P P (5.6.8) は「コヒーレント状態（古典の場）を確率 P P P
第5部第1章の要請との関係
第5部第1章 は、位相空間の分布への要請 (W1)〜(W5) のうち (W2) 線形性・(W3) 周辺分布・(W5) 非負の3つが両立しないことを示し、W W W Q Q Q (5.6.7) から (W5) を守り、代わりに (W3) を捨てる。Q Q Q X 1 X_1 X 1 X 1 X_1 X 1 1 4 \frac14 4 1 P P P
例題 5.6.1 1光子の状態 ∣ 1 ⟩ | 1 \rangle ∣1 ⟩
オリジナル ∣ 1 ⟩ | 1 \rangle ∣1 ⟩ Q Q Q (5.6.7) から求めよ。次に P ( α ) = ( 1 + ∂ α ∂ α ∗ ) δ 2 ( α ) P(\alpha)=\bigl(1+\partial_\alpha\partial_{\alpha^*}\bigr)\delta^2(\alpha) P ( α ) = ( 1 + ∂ α ∂ α ∗ ) δ 2 ( α ) (5.6.6) の Q = P ∗ G 1 Q=P*G_1 Q = P ∗ G 1 Q Q Q P P P W = P ∗ G 1 / 2 W=P*G_{1/2} W = P ∗ G 1/2 第5部第5章 の W 1 W_1 W 1 α \alpha α α ∗ \alpha^* α ∗
解答 ⟨ α ∣ 1 ⟩ = e − ∣ α ∣ 2 / 2 α ∗ \langle \alpha | 1 \rangle =\mathrm{e}^{-\lvert \alpha\rvert ^2/2}\alpha^* ⟨ α ∣1 ⟩ = e − ∣ α ∣ 2 /2 α ∗ Q = ∣ α ∣ 2 e − ∣ α ∣ 2 / π Q=\lvert \alpha\rvert ^2\mathrm{e}^{-\lvert \alpha\rvert ^2}/\pi Q = ∣ α ∣ 2 e − ∣ α ∣ 2 / π
δ 2 \delta^2 δ 2 P ∗ G σ = ( 1 + ∂ α ∂ α ∗ ) G σ P*G_\sigma=(1+\partial_\alpha\partial_{\alpha^*})G_\sigma P ∗ G σ = ( 1 + ∂ α ∂ α ∗ ) G σ ∂ α ∗ e − α α ∗ / σ = − α σ e − α α ∗ / σ \partial_{\alpha^*}\mathrm{e}^{-\alpha\alpha^*/\sigma}=-\frac{\alpha}{\sigma}\mathrm{e}^{-\alpha\alpha^*/\sigma} ∂ α ∗ e − α α ∗ / σ = − σ α e − α α ∗ / σ ∂ α \partial_\alpha ∂ α ∂ α ∂ α ∗ e − ∣ α ∣ 2 / σ = ( ∣ α ∣ 2 σ 2 − 1 σ ) e − ∣ α ∣ 2 / σ \partial_\alpha\partial_{\alpha^*}\mathrm{e}^{-\lvert \alpha\rvert ^2/\sigma}=\bigl(\frac{\lvert \alpha\rvert ^2}{\sigma^2}-\frac1\sigma\bigr)\mathrm{e}^{-\lvert \alpha\rvert ^2/\sigma} ∂ α ∂ α ∗ e − ∣ α ∣ 2 / σ = ( σ 2 ∣ α ∣ 2 − σ 1 ) e − ∣ α ∣ 2 / σ
( 1 + ∂ α ∂ α ∗ ) G σ = 1 π σ ( 1 − 1 σ + ∣ α ∣ 2 σ 2 ) e − ∣ α ∣ 2 / σ . (1+\partial_\alpha\partial_{\alpha^*})G_\sigma=\frac{1}{\pi\sigma}\Bigl(1-\frac1\sigma+\frac{\lvert \alpha\rvert ^2}{\sigma^2}\Bigr)\mathrm{e}^{-\lvert \alpha\rvert ^2/\sigma} . ( 1 + ∂ α ∂ α ∗ ) G σ = π σ 1 ( 1 − σ 1 + σ 2 ∣ α ∣ 2 ) e − ∣ α ∣ 2 / σ .
σ = 1 \sigma=1 σ = 1 ∣ α ∣ 2 e − ∣ α ∣ 2 / π \lvert \alpha\rvert ^2\mathrm{e}^{-\lvert \alpha\rvert ^2}/\pi ∣ α ∣ 2 e − ∣ α ∣ 2 / π Q Q Q σ = 1 2 \sigma=\frac12 σ = 2 1
W ( α ) = 2 π ( 4 ∣ α ∣ 2 − 1 ) e − 2 ∣ α ∣ 2 . W(\alpha)=\frac2\pi\bigl(4\lvert \alpha\rvert ^2-1\bigr)\mathrm{e}^{-2\lvert \alpha\rvert ^2} . W ( α ) = π 2 ( 4 ∣ α ∣ 2 − 1 ) e − 2 ∣ α ∣ 2 .
u = 2 H / ( ℏ ω ) = 2 ∣ α ∣ 2 u=2H/(\hbar\omega)=2\lvert \alpha\rvert ^2 u = 2 H / ( ℏ ω ) = 2 ∣ α ∣ 2 (5.6.2) で x , p x,p x , p W ( x , p ) = 1 π ℏ ( 2 u − 1 ) e − u = − 1 π ℏ e − u L 1 ( 2 u ) W(x,p)=\frac{1}{\pi\hbar}(2u-1)\mathrm{e}^{-u}=-\frac{1}{\pi\hbar}\mathrm{e}^{-u}L_1(2u) W ( x , p ) = π ℏ 1 ( 2 u − 1 ) e − u = − π ℏ 1 e − u L 1 ( 2 u ) W 1 W_1 W 1 Q Q Q 0 0 0 W W W ∣ α ∣ 2 < 1 4 \lvert \alpha\rvert ^2<\frac14 ∣ α ∣ 2 < 4 1 P P P δ \delta δ s s s
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
