猫状態：干渉の縞と、損失で縞が消えるまで

量子力学の様々な構成方法　第5部 第6章 §5.6.4　★★ 2つのコヒーレント状態の重ね合わせの $W$ には原点に負の値を含む縞が立ち、$Q$ では縞が $\mathrm{e}^{-\lvert \alpha_0\rvert ^2}$ だけ小さくなる。損失は $P$ を縮めるだけ、$W$ は縮めてからならす

$| \gamma \rangle \langle \delta |$ の Wigner 関数

重ね合わせの $W$ を出すには、2つのコヒーレント状態の「非対角」の演算子 $| \gamma \rangle \langle \delta |$ の Wigner 関数があればよい。第5部第4章で示した「$W$ はずらしたパリティの期待値」を $\alpha$ の単位で書くと $W(\beta)=\frac2\pi\operatorname{Tr}\bigl(\hat\rho\,\hat D(\beta)\hat\Pi\hat D(\beta)^\dagger\bigr)$ である（$\hat\Pi=(-1)^{\hat a^\dagger\hat a}$）。$\hat\Pi| \gamma \rangle =| -\gamma \rangle$、$\hat D(\beta)| \gamma \rangle =\mathrm{e}^{(\beta\gamma^*-\beta^*\gamma)/2}| \beta+\gamma \rangle$ を順に当てると

$$\hat D(\beta)\hat\Pi\hat D(-\beta)| \gamma \rangle =\mathrm{e}^{(\beta^*\gamma-\beta\gamma^*)/2}\hat D(\beta)| \beta-\gamma \rangle =\mathrm{e}^{\beta^*\gamma-\beta\gamma^*}| 2\beta-\gamma \rangle$$

となる。$\langle \delta |$ を掛け、$\langle \delta | \gamma' \rangle =\exp(-\lvert \delta\rvert ^2/2-\lvert \gamma'\rvert ^2/2+\delta^*\gamma')$ を使って指数を整理すると

$$W_{| \gamma \rangle \langle \delta |}(\beta)=\frac2\pi\langle \delta | \gamma \rangle \exp\bigl(-2(\beta-\gamma)(\beta^*-\delta^*)\bigr)\tag{5.6.13}$$

を得る。$\gamma=\delta$ ではコヒーレント状態の $\frac2\pi\mathrm{e}^{-2\lvert \beta-\gamma\rvert ^2}$ に戻る。

偶と奇の猫状態

$\alpha_0>0$ を実数に選び、偶と奇の猫状態 $| \psi_\pm \rangle =N_\pm(| \alpha_0 \rangle \pm| -\alpha_0 \rangle )$、$N_\pm^2=1/\bigl(2(1\pm\mathrm{e}^{-2\alpha_0^2})\bigr)$ を考える。(5.6.13) で $\gamma=\alpha_0$、$\delta=-\alpha_0$ と置くと $\langle -\alpha_0 | \alpha_0 \rangle =\mathrm{e}^{-2\alpha_0^2}$ で、指数は $-2\lvert \beta\rvert ^2+2\alpha_0^2-4\mathrm{i}\alpha_0X_2$ になるから、2つの交差項を足して

$$W_\pm(\beta)=\frac2\pi N_\pm^2\Bigl[\mathrm{e}^{-2\lvert \beta-\alpha_0\rvert ^2}+\mathrm{e}^{-2\lvert \beta+\alpha_0\rvert ^2}\pm2\,\mathrm{e}^{-2\lvert \beta\rvert ^2}\cos(4\alpha_0X_2)\Bigr]\tag{5.6.14}$$

である。両側の2つの Gauss 関数が「古典的に2か所にある」部分で、原点の Gauss 関数に掛かった縞 $\cos(4\alpha_0X_2)$ が干渉の部分である。縞の間隔は $X_2$ の方向に $\pi/(2\alpha_0)$ で、2つの成分が離れるほど細かくなる。原点の値は $W_\pm(0)=\frac2\pi N_\pm^2\bigl(2\mathrm{e}^{-2\alpha_0^2}\pm2\bigr)=\pm\frac2\pi$ で、偶の猫状態は偶数の光子だけ、奇の猫状態は奇数の光子だけを含むから、パリティの期待値 $\pm1$ がそのまま出ている（第5部第4章の $W(0,0)=(P_{\text{偶}}-P_{\text{奇}})/(\pi\hbar)$）。

$Q$ は (5.6.7) から $\lvert \langle \beta | \psi_\pm \rangle \rvert ^2/\pi$ で、$\langle \beta | \alpha_0 \rangle =\exp(-\lvert \beta\rvert ^2/2-\alpha_0^2/2+\beta^*\alpha_0)$ から

$$Q_\pm(\beta)=\frac{N_\pm^2}{\pi}\Bigl[\mathrm{e}^{-\lvert \beta-\alpha_0\rvert ^2}+\mathrm{e}^{-\lvert \beta+\alpha_0\rvert ^2}\pm2\,\mathrm{e}^{-\lvert \beta\rvert ^2-\alpha_0^2}\cos(2\alpha_0X_2)\Bigr]\tag{5.6.15}$$

となる。$W$ との違いは縞の項の係数 $\mathrm{e}^{-\alpha_0^2}$ で、縞は2つの成分の山より $\mathrm{e}^{-\alpha_0^2}$ 倍だけ低い谷の中にしか立たない。$Q$ は非負なので縞は負にならず、2つの成分が離れると縞は指数関数的に見えにくくなる。$W$ の縞は成分がどれだけ離れても原点で $\pm\frac2\pi$ の高さを保つ。

$P$ では状況がさらに悪い。交差項 $| \alpha_0 \rangle \langle -\alpha_0 |$ の正規順序の特性関数は $\operatorname{Tr}(| \alpha_0 \rangle \langle -\alpha_0 |\mathrm{e}^{\xi\hat a^\dagger}\mathrm{e}^{-\xi^*\hat a})=\langle -\alpha_0 | \alpha_0 \rangle \mathrm{e}^{-\xi\alpha_0-\xi^*\alpha_0}=\mathrm{e}^{-2\alpha_0^2}\mathrm{e}^{-2\alpha_0\operatorname{Re}\xi}$ で、$\operatorname{Re}\xi\to-\infty$ の向きに指数関数的に増える。この Fourier 変換は緩増加超関数として存在せず、形式的には虚数の方向へずらした $\delta$ 関数、つまり $\delta$ 関数のすべての階数の微分の和になる。

損失：ビームスプリッタで真空を混ぜる

光のモードの損失は、透過率 $\eta$ のビームスプリッタで、空いた入口から真空を混ぜ、反射した光を捨てることとして厳密に書くことができる。ビームスプリッタのユニタリ変換はコヒーレント状態を積のまま送り、$| \gamma \rangle | 0 \rangle \to| \sqrt\eta\gamma \rangle | \sqrt{1-\eta}\gamma \rangle$ となる（光学と量子エレクトロニクス 第33章）。$| \gamma \rangle \langle \delta |\otimes| 0 \rangle \langle 0 |$ を送ってから捨てる側のモードのトレースを取ると、残る因子は $\langle \sqrt{1-\eta}\delta | \sqrt{1-\eta}\gamma \rangle$ で、上の重なりの式の指数がすべて $1-\eta$ 倍になるから

$$| \gamma \rangle \langle \delta |\ \longrightarrow\ \langle \delta | \gamma \rangle ^{1-\eta}\,| \sqrt\eta\gamma \rangle \langle \sqrt\eta\delta |\tag{5.6.16}$$

である。$\gamma=\delta$ では係数は 1 で、コヒーレント状態は振幅が $\sqrt\eta$ 倍になるだけで純粋なまま残る。

(5.6.8) と組み合わせると、$P$ 表示は損失で単に縮む：$P_{\text{out}}(\beta)=\frac1\eta P_{\text{in}}(\beta/\sqrt\eta)$。$P$ の上の損失は確率の再配分ではなく座標の縮小だけである。$W$ は、出口の消滅演算子 $\hat a_{\text{out}}=\sqrt\eta\,\hat a+\sqrt{1-\eta}\,\hat b$（$\hat b$ は真空の入口）を $\hat D$ に入れると、真空の側が $\mathrm{e}^{-(1-\eta)\lvert \xi\rvert ^2/2}$ を出すので

$$\chi_{0,\text{out}}(\xi)=\chi_{0,\text{in}}(\sqrt\eta\,\xi)\,\mathrm{e}^{-(1-\eta)\lvert \xi\rvert ^2/2}\tag{5.6.17}$$

で、$W_{\text{out}}$ は $W_{\text{in}}$ を $\sqrt\eta$ 倍に縮めてから $G_{(1-\eta)/2}$ でならしたものである。この式は $P$ が存在しない状態にもそのまま当てはまる。

猫状態に当てると、(5.6.16) から2つの成分は $\pm\sqrt\eta\alpha_0$ に縮み、交差項 $| \alpha_0 \rangle \langle -\alpha_0 |$ には係数 $\langle -\alpha_0 | \alpha_0 \rangle ^{1-\eta}$ が掛かる。縮んだ交差項 $| \sqrt\eta\alpha_0 \rangle \langle -\sqrt\eta\alpha_0 |$ の $W$ は、(5.6.13) の前置きの $\mathrm{e}^{-2\eta\alpha_0^2}$ と指数の $\mathrm{e}^{+2\eta\alpha_0^2}$ が打ち消して $\frac2\pi\mathrm{e}^{-2\lvert \beta\rvert ^2}\mathrm{e}^{-4\mathrm{i}\sqrt\eta\alpha_0X_2}$ になる。したがって出力の $W$ は、(5.6.14) の $\alpha_0$ を $\sqrt\eta\alpha_0$ に置き換え（$N_\pm$ は元のまま）、縞の項に

$$c=\langle -\alpha_0 | \alpha_0 \rangle ^{1-\eta}=\mathrm{e}^{-2\alpha_0^2(1-\eta)}\tag{5.6.18}$$

を掛けたものである。$\eta=1-\epsilon$ で $c\approx\mathrm{e}^{-2\alpha_0^2\epsilon}$ で、成分の振幅がほとんど減らないわずかな損失でも、縞は $2\alpha_0^2$ 倍の速さで消える。

損失が時間とともに連続に起こるときは、第4部第5章の Lindblad 方程式で $\hat L=\sqrt\Gamma\,\hat a$ と置いた振幅減衰で、$\eta=\mathrm{e}^{-\Gamma t}$ のビームスプリッタと同じ写像になる。縞の消える速さ $2\alpha_0^2\Gamma$ は同じ章で導いた猫状態のデコヒーレンスの速さと一致する。光のモードを Lindblad 方程式で扱うのは、外の電磁場の連続のモードを Markov 近似で消去したものである。