測って得られる分布と、位相空間の構成の限界

量子力学の様々な構成方法　第5部 第6章 §5.6.5　★★ ホモダイン検出は $W$ の周辺分布を、8ポートのヘテロダイン検出は $Q$ を、光子計数は $P$ の積分を測る。位相空間の構成が書きにくいものは、多モード・非2次の動力学・有限次元の系・フェルミ粒子

どの分布を測っているか

3つの分布は計算の道具であるだけでなく、それぞれに対応する測定がある。

ホモダイン検出と $W$。強い局部発振光（位相 $\theta$ のコヒーレント状態）を信号とビームスプリッタで混ぜ、2つの出口の光電流の差を取ると、差は信号の直交位相 $\hat X_\theta$ に比例する（光学と量子エレクトロニクス 第31章）。$\hat X_\theta=\cos\theta\,\hat X_1+\sin\theta\,\hat X_2$ は $x,p$ の1次結合なので、第5部第2章の「1次結合の分布は $W$ を直線に沿って積分したもの」から、測られる分布は

$$\mathrm{Pr}_\theta(X)=\int W(\alpha)\,\delta\bigl(X-\cos\theta\,X_1-\sin\theta\,X_2\bigr)\,\mathrm{d}^2\alpha\tag{5.6.19}$$

で、$W$ の回転した軸への周辺分布である。$\theta$ を $0$ から $\pi$ まで回してすべての周辺分布を集めると、逆 Radon 変換で $W$ が決まる。回転した直交位相の分布と擬確率分布が互いに決め合うことは W. Vogel and H. Risken (1989), Phys. Rev. A 40, 2847 が示し、D. T. Smithey, M. Beck, M. G. Raymer and A. Faridani (1993), Phys. Rev. Lett. 70, 1244 がスクイーズド光の $W$ を実験で再構成した（光ホモダイン・トモグラフィー）。空洞に閉じ込めたマイクロ波の光子では、S. Deléglise et al. (2008), Nature 455, 510 が猫状態の $W$ を再構成し、損失で縞が消えていく様子を時刻ごとに示した。

ヘテロダイン検出と $Q$。信号を 50:50 のビームスプリッタで2つに分け、片方で $\hat X_1$、もう片方で $\hat X_2$ をホモダイン検出する（8ポートの検出器）。2つの読みを $\sqrt2$ 倍して $\alpha$ の実部と虚部と読むと、その同時分布は $Q$ に等しい。空いた入口から入る真空が、両方の読みに分散 $\frac14$ の雑音を足すためである。位置と運動量の同時測定の読みの分布が「$W$ を別の状態の $W$ でならした非負の分布」になることは 第5部第4章で Arthurs–Kelly の模型（E. Arthurs and J. L. Kelly, Jr. (1965), Bell Syst. Tech. J. 44, 725）として扱った。窓を真空に選んだものが $Q$ である。$Q$ が (W3) の周辺分布を満たさないのは、同時測定が真空の雑音を両方の読みに足すからである。

光子計数と $P$。光電子の計数は正規順序の量 $\langle (\hat a^\dagger)^m\hat a^m \rangle$ を測る（Glauber 1963、光学と量子エレクトロニクス 第32章）。定理 5.6.2 からこれは $\int P\lvert \alpha\rvert ^{2m}\mathrm{d}^2\alpha$ で、計数の統計が古典の場の揺らぎで書けるかどうかが、$P$ が確率分布かどうかと同じことになる。$P$ は直接に測られる分布ではなく、正規順序の期待値の母関数として現れる。

位相空間の構成の限界

第5部の構成は、1つの自由度の量子力学を、相空間の上の実数の関数1つと $\star$ 積で完全に書き直す。その代わりに、次のものは書きにくい。

第一に、自由度の数が増えると、$W$ は $2N$ 変数の関数になる。Gauss 型の状態は共分散行列（$2N\times2N$）だけで閉じるので多モードでも扱いやすいが、猫状態のような非 Gauss の状態では関数の情報量が自由度とともに指数関数的に増え、密度行列を Fock 空間で持つのと手間は変わらない。

第二に、$H$ が $x,p$ の2次でないと、Moyal 方程式は $\hbar^2$ の高階の微分を含み（第5部第3章）、Liouville 方程式のように相空間の点の流れとして読むことができなくなる。Kerr の $\hbar\kappa\hat n^2$ のように光子数で書いた方が簡単な $H$ では、位相空間の方が遠回りになる（第5部第4章の Kerr 発展は Fock 基底で解いた）。第5部第5章が示したように、$\hbar^2$ の項を摂動として扱う半古典近似も、時刻 $\propto1/\hbar$ の復活は書けない。

第三に、スピンや量子ビットのような有限次元の系には、連続の相空間が無い。離散の位相空間の Wigner 関数（第5部第5章の Wootters の $2\times2$ 点）や、球面の上の Wigner 関数を作ることはできるが、作り方が一意でなく、$\star$ 積の簡単な形も失われる。

第四に、フェルミ粒子は反交換関係 $\{\hat c,\hat c^\dagger\}_+=1$ を持つので、$\alpha$ を普通の複素数に置けない。コヒーレント状態の固有値を Grassmann 数に取れば形式的に同じ構成ができるが、分布はもはや数値の関数ではない（第6部第6章のコヒーレント状態の経路積分で導入する）。

第五に、$W$ の負の値と $P$ の特異さのため、3つの分布のどれも、量子の状態を古典の確率分布として標本を取ってシミュレーションする方法には、そのままでは使えない。$Q$ は非負だが、Kerr のような非線形の $H$ では $Q$ の時間発展の式が正定値でない拡散の項や3階以上の微分を含み、確率過程として解けない。位相空間の次元を倍にして、どんな状態にも非負の分布を与える一般化 $P$ 表示（P. D. Drummond and C. W. Gardiner (1980), J. Phys. A 13, 2353）はこの困難を避ける1つの方法で、その代わりに分布が状態に対して一意でなくなる。どの $s$ を選んでも、(W2)(W3)(W5) を同時に満たすことはできない。これは 第5部第1章の定理の帰結で、位相空間の構成に限界がある理由である。