量子力学の様々な構成方法 第6部 第6章 §6.6.1 ★★★ 消滅演算子の固有状態は、互いに直交しないが単位の分解を与え、正規順序の演算子の行列要素を複素数の関数に変える
第6部の型（出発点の要請 → 基本の対象 → 基準との同値 → 共通例題 → 得意な問題 → 限界）のうち、この章は「得意な問題」の後半を受け持ち、第3部（経路積分）との合流点になる。第3部第2章（第3部第2章 ）は、時間発展を細かく刻み、刻みの間に位置の完全系 ∫ d x ∣ x ⟩ ⟨ x ∣ \int\mathrm{d} x| x \rangle \langle x | ∫ d x ∣ x ⟩ ⟨ x ∣ コヒーレント状態 （消滅演算子 a ^ \hat a a ^
取り替えると、積分の変数が位置 x k x_k x k α k \alpha_k α k a ^ \hat a a ^ α \alpha α H ( a ^ † , a ^ ) H(\hat a^\dagger,\hat a) H ( a ^ † , a ^ ) H ( α ˉ , α ) H(\bar\alpha,\alpha) H ( α ˉ , α )
S [ α ˉ , α ] = ∫ [ i ℏ 2 ( α ˉ α ˙ − α ˉ ˙ α ) − H ( α ˉ , α ) ] d t S[\bar\alpha,\alpha]=\int\Bigl[\frac{\mathrm{i}\hbar}{2}\bigl(\bar\alpha\dot\alpha-\dot{\bar\alpha}\alpha\bigr)-H(\bar\alpha,\alpha)\Bigr]\mathrm{d} t S [ α ˉ , α ] = ∫ [ 2 i ℏ ( α ˉ α ˙ − α ˉ ˙ α ) − H ( α ˉ , α ) ] d t
の位相の和になる。粒子数を固定しないので、場の理論と多体系の経路積分はこの形で書くのが標準になっている。同値性の地図（第1部第1章 ）の橋「第二量子化 ↔ 経路積分」は、この章で両向きに証明する。
この章が回収するのは、前の章から渡された次の5つである。
第6部第2章（第6部第2章 ）の粒子数を重ね合わせた状態と、第3部第2章のコヒーレント状態を挿んだ経路積分（6.6.1節・6.6.2 節）。
第6部第5章（第6部第5章 ）の大分配関数 Ξ \Xi Ξ 6.6.5 節）。
第6部第3章（第6部第3章 ）のフェルミ粒子には固有値が η 2 = 0 \eta^2=0 η 2 = 0 6.6.5 節）。
第10部第4・5章（第10部第4章 ・第10部第5章 ）の正則偏極の再生核 e w ˉ z \mathrm{e}^{\bar wz} e w ˉ z 6.6.4 節・6.6.6 節）。
第7部第3章（第7部第3章 ）の Gross–Pitaevskii 方程式が、コヒーレント状態の経路積分の停留点の方程式であること（6.6.3 節）。
共通例題は3つとも解く。①は虚時間の時間分割で Z Z Z ℏ ω / 2 \hbar\omega/2 ℏ ω /2 K K K
記号は第6部の前の章に揃え、1つのモードのボースの生成消滅演算子を a ^ † , a ^ \hat a^\dagger,\hat a a ^ † , a ^ c ^ † , c ^ \hat c^\dagger,\hat c c ^ † , c ^ α \alpha α α ˉ \bar\alpha α ˉ 6.6.2 節で理由を述べる）。複素共役を明示したいときだけ α ∗ \alpha^* α ∗ 第3部第6章 ）と同じく τ \tau τ β = 1 / ( k B T ) \beta=1/( k_{\mathrm B} T) β = 1/ ( k B T ) μ \mu μ Ω \Omega Ω Ω \Omega Ω Ω \Omega Ω A \mathcal A A
定義と固有値の式
1つのモードの Fock 空間で、複素数 α \alpha α
∣ α ⟩ = e − ∣ α ∣ 2 / 2 e α a ^ † ∣ 0 ⟩ = e − ∣ α ∣ 2 / 2 ∑ n = 0 ∞ α n n ! ∣ n ⟩ (6.6.1) | \alpha \rangle =\mathrm{e}^{-\lvert \alpha\rvert ^2/2}\,\mathrm{e}^{\alpha\hat a^\dagger}| 0 \rangle =\mathrm{e}^{-\lvert \alpha\rvert ^2/2}\sum_{n=0}^\infty\frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}| n \rangle\tag{6.6.1} ∣ α ⟩ = e − ∣ α ∣ 2 /2 e α a ^ † ∣0 ⟩ = e − ∣ α ∣ 2 /2 n = 0 ∑ ∞ n ! α n ∣ n ⟩ ( 6.6.1 )
と置く。これがコヒーレント状態 で、記法の正本と光の巻（光学と量子エレクトロニクス 第31章 ）の形と同じである。a ^ ∣ n ⟩ = n ∣ n − 1 ⟩ \hat a| n \rangle =\sqrt n| n-1 \rangle a ^ ∣ n ⟩ = n ∣ n − 1 ⟩
a ^ ∣ α ⟩ = α ∣ α ⟩ (6.6.2) \hat a| \alpha \rangle =\alpha| \alpha \rangle\tag{6.6.2} a ^ ∣ α ⟩ = α ∣ α ⟩ ( 6.6.2 )
を得る。a ^ \hat a a ^ a ^ † \hat a^\dagger a ^ † a ^ † \hat a^\dagger a ^ † ∣ ⟨ n ∣ α ⟩ ∣ 2 = e − ∣ α ∣ 2 ∣ α ∣ 2 n / n ! \lvert \langle n | \alpha \rangle \rvert ^2=\mathrm{e}^{-\lvert \alpha\rvert ^2}\lvert \alpha\rvert ^{2n}/n! ∣⟨ n ∣ α ⟩ ∣ 2 = e − ∣ α ∣ 2 ∣ α ∣ 2 n / n ! ∣ α ∣ 2 \lvert \alpha\rvert ^2 ∣ α ∣ 2 第6部第2章 ）で示したとおり、基準の N N N N N N N N N
2つのコヒーレント状態の内積は、(6.6.1) の和を項ごとにとると
⟨ β ∣ α ⟩ = exp ( − ∣ α ∣ 2 2 − ∣ β ∣ 2 2 + β ∗ α ) , ∣ ⟨ β ∣ α ⟩ ∣ 2 = e − ∣ α − β ∣ 2 (6.6.3) \langle \beta | \alpha \rangle =\exp\Bigl(-\frac{\lvert \alpha\rvert ^2}2-\frac{\lvert \beta\rvert ^2}2+\beta^*\alpha\Bigr),\qquad\lvert \langle \beta | \alpha \rangle \rvert ^2=\mathrm{e}^{-\lvert \alpha-\beta\rvert ^2}\tag{6.6.3} ⟨ β ∣ α ⟩ = exp ( − 2 ∣ α ∣ 2 − 2 ∣ β ∣ 2 + β ∗ α ) , ∣⟨ β ∣ α ⟩ ∣ 2 = e − ∣ α − β ∣ 2 ( 6.6.3 )
で、0 にならない。コヒーレント状態は互いに直交しない。それでも基底として使えるのは、次の単位の分解が成り立つからである。
命題 6.6.1（コヒーレント状態による単位の分解 ★★★）
d 2 α = d ( Re α ) d ( Im α ) \mathrm{d}^2\alpha=\mathrm{d}(\operatorname{Re}\alpha)\,\mathrm{d}(\operatorname{Im}\alpha) d 2 α = d ( Re α ) d ( Im α )
∫ C d 2 α π ∣ α ⟩ ⟨ α ∣ = 1 ^ , Tr A ^ = ∫ C d 2 α π ⟨ α ∣ A ^ ∣ α ⟩ (6.6.4) \int_{\mathbb{C}}\frac{\mathrm{d}^2\alpha}{\pi}| \alpha \rangle \langle \alpha |=\hat 1,\qquad
\operatorname{Tr}\hat A=\int_{\mathbb{C}}\frac{\mathrm{d}^2\alpha}{\pi}\langle \alpha | \hat A | \alpha \rangle\tag{6.6.4} ∫ C π d 2 α ∣ α ⟩ ⟨ α ∣ = 1 ^ , Tr A ^ = ∫ C π d 2 α ⟨ α ∣ A ^ ∣ α ⟩ ( 6.6.4 )
が成り立つ（トレースの式は A ^ \hat A A ^
証明 左辺の ⟨ m ∣ ⋯ ∣ n ⟩ \langle m |\cdots| n \rangle ⟨ m ∣ ⋯ ∣ n ⟩ ∫ d 2 α π e − ∣ α ∣ 2 α m α ∗ n m ! n ! \int\frac{\mathrm{d}^2\alpha}\pi\mathrm{e}^{-\lvert \alpha\rvert ^2}\frac{\alpha^m\alpha^{*n}}{\sqrt{m!\,n!}} ∫ π d 2 α e − ∣ α ∣ 2 m ! n ! α m α ∗ n α = r e i θ \alpha=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} α = r e i θ θ \theta θ e i ( m − n ) θ \mathrm{e}^{\mathrm{i}(m-n)\theta} e i ( m − n ) θ m ≠ n m\ne n m = n m = n m=n m = n 2 π π ∫ 0 ∞ e − r 2 r 2 n n ! r d r = 1 n ! ∫ 0 ∞ s n e − s d s = 1 \frac{2\pi}{\pi}\int_0^\infty\mathrm{e}^{-r^2}\frac{r^{2n}}{n!}r\,\mathrm{d} r=\frac1{n!}\int_0^\infty s^n\mathrm{e}^{-s}\mathrm{d} s=1 π 2 π ∫ 0 ∞ e − r 2 n ! r 2 n r d r = n ! 1 ∫ 0 ∞ s n e − s d s = 1 s = r 2 s=r^2 s = r 2 Tr A ^ = ∑ n ⟨ n ∣ A ^ ∣ n ⟩ \operatorname{Tr}\hat A=\sum_n\langle n | \hat A | n \rangle Tr A ^ = ∑ n ⟨ n ∣ A ^ ∣ n ⟩ ∑ n ⟨ n ∣ α ⟩ ⟨ α ∣ A ^ ∣ n ⟩ = ⟨ α ∣ A ^ ∣ α ⟩ \sum_n\langle n | \alpha \rangle \langle \alpha | \hat A | n \rangle =\langle \alpha | \hat A | \alpha \rangle ∑ n ⟨ n ∣ α ⟩ ⟨ α ∣ A ^ ∣ n ⟩ = ⟨ α ∣ A ^ ∣ α ⟩
この積分は、第2部第4章（第2部第4章 ）の Bargmann 表示の内積 ∫ f ‾ g e − ∣ z ∣ 2 d 2 z / π \int\overline{f}g\,\mathrm{e}^{-\lvert z\rvert ^2}\mathrm{d}^2z/\pi ∫ f g e − ∣ z ∣ 2 d 2 z / π ∣ ψ ⟩ | \psi \rangle ∣ ψ ⟩ ψ ( z ˉ ) = e ∣ z ∣ 2 / 2 ⟨ z ∣ ψ ⟩ \psi(\bar z)=\mathrm{e}^{\lvert z\rvert ^2/2}\langle z | \psi \rangle ψ ( z ˉ ) = e ∣ z ∣ 2 /2 ⟨ z ∣ ψ ⟩ a ^ † \hat a^\dagger a ^ † z ˉ \bar z z ˉ a ^ \hat a a ^ z ˉ \bar z z ˉ 6.6.6 節で使う）。第10部第4章（第10部第4章 ）はこれを相空間の正則偏極として組み立て直し、⟨ β ∣ α ⟩ \langle \beta | \alpha \rangle ⟨ β ∣ α ⟩ e β ∗ α \mathrm{e}^{\beta^*\alpha} e β ∗ α
正規順序の演算子は複素数の関数になる
生成演算子を全部左、消滅演算子を全部右に並べた形を正規順序 という。正規順序の単項式 ( a ^ † ) k a ^ l (\hat a^\dagger)^k\hat a^l ( a ^ † ) k a ^ l a ^ l \hat a^l a ^ l ∣ α ⟩ | \alpha \rangle ∣ α ⟩ ( a ^ † ) k (\hat a^\dagger)^k ( a ^ † ) k ⟨ β ∣ \langle \beta | ⟨ β ∣
⟨ β ∣ ( a ^ † ) k a ^ l ∣ α ⟩ = ( β ∗ ) k α l ⟨ β ∣ α ⟩ , ⟨ β ∣ H ( a ^ † , a ^ ) ∣ α ⟩ ⟨ β ∣ α ⟩ = H ( β ∗ , α ) (6.6.5) \langle \beta | (\hat a^\dagger)^k\hat a^l | \alpha \rangle =(\beta^*)^k\alpha^l\,\langle \beta | \alpha \rangle ,\qquad
\frac{\langle \beta | H(\hat a^\dagger,\hat a) | \alpha \rangle }{\langle \beta | \alpha \rangle }=H(\beta^*,\alpha)\tag{6.6.5} ⟨ β ∣ ( a ^ † ) k a ^ l ∣ α ⟩ = ( β ∗ ) k α l ⟨ β ∣ α ⟩ , ⟨ β ∣ α ⟩ ⟨ β ∣ H ( a ^ † , a ^ ) ∣ α ⟩ = H ( β ∗ , α ) ( 6.6.5 )
となる。ここで H ( a ^ † , a ^ ) H(\hat a^\dagger,\hat a) H ( a ^ † , a ^ ) H ( β ∗ , α ) H(\beta^*,\alpha) H ( β ∗ , α ) (6.6.5) が、第二量子化のハミルトニアンを経路積分の作用に移す鍵になる。正規順序でない演算子は、交換関係で正規順序に直してから置き換える。例えば a ^ a ^ † = a ^ † a ^ + 1 \hat a\hat a^\dagger=\hat a^\dagger\hat a+1 a ^ a ^ † = a ^ † a ^ + 1 a ^ a ^ † \hat a\hat a^\dagger a ^ a ^ † β ∗ α + 1 \beta^*\alpha+1 β ∗ α + 1 1 1 1 ℏ ω / 2 \hbar\omega/2 ℏ ω /2 6.6.3 節）。
モードが多数あるときは、モードごとのコヒーレント状態のテンソル積 ∣ { α j } ⟩ = ⨂ j ∣ α j ⟩ | \{\alpha_j\} \rangle =\bigotimes_j| \alpha_j \rangle ∣ { α j }⟩ = ⨂ j ∣ α j ⟩ ψ ^ ( x ) = ∑ j φ j ( x ) a ^ j \hat\psi(x)=\sum_j\varphi_j(x)\hat a_j ψ ^ ( x ) = ∑ j φ j ( x ) a ^ j 第6部第1章 ）に当てると
ψ ^ ( x ) ∣ { α j } ⟩ = ϕ ( x ) ∣ { α j } ⟩ , ϕ ( x ) = ∑ j α j φ j ( x ) (6.6.6) \hat\psi(x)| \{\alpha_j\} \rangle =\phi(x)| \{\alpha_j\} \rangle ,\qquad\phi(x)=\sum_j\alpha_j\varphi_j(x)\tag{6.6.6} ψ ^ ( x ) ∣ { α j }⟩ = ϕ ( x ) ∣ { α j }⟩ , ϕ ( x ) = j ∑ α j φ j ( x ) ( 6.6.6 )
で、場の演算子の固有状態になる。以下、この状態を ∣ ϕ ⟩ | \phi \rangle ∣ ϕ ⟩ ϕ ( x ) \phi(x) ϕ ( x ) 場の振幅 と呼ぶ。密度の期待値は ⟨ ϕ ∣ ψ ^ † ( x ) ψ ^ ( x ) ∣ ϕ ⟩ = ∣ ϕ ( x ) ∣ 2 \langle \phi | \hat\psi^\dagger(x)\hat\psi(x) | \phi \rangle =\lvert \phi(x)\rvert ^2 ⟨ ϕ ∣ ψ ^ † ( x ) ψ ^ ( x ) ∣ ϕ ⟩ = ∣ ϕ ( x ) ∣ 2 ∫ ∣ ϕ ∣ 2 d x = ∑ j ∣ α j ∣ 2 \int\lvert \phi\rvert ^2\mathrm{d} x=\sum_j\lvert \alpha_j\rvert ^2 ∫ ∣ ϕ ∣ 2 d x = ∑ j ∣ α j ∣ 2
例題 6.6.1 コヒーレント状態の重なりと粒子数 ★★
オリジナル
(1) α = 1 \alpha=1 α = 1 β = i \beta=\mathrm{i} β = i ∣ ⟨ β ∣ α ⟩ ∣ 2 \lvert \langle \beta | \alpha \rangle \rvert ^2 ∣⟨ β ∣ α ⟩ ∣ 2 (2) α = 3 \alpha=3 α = 3 (3) 正規順序の置き換え (6.6.5) を使って ⟨ α ∣ a ^ a ^ † ∣ α ⟩ \langle \alpha | \hat a\hat a^\dagger | \alpha \rangle ⟨ α ∣ a ^ a ^ † ∣ α ⟩ ⟨ α ∣ a ^ † a ^ ∣ α ⟩ \langle \alpha | \hat a^\dagger\hat a | \alpha \rangle ⟨ α ∣ a ^ † a ^ ∣ α ⟩ α \alpha α
解答 (1) (6.6.3) より ∣ ⟨ β ∣ α ⟩ ∣ 2 = e − ∣ 1 − i ∣ 2 = e − 2 = 0.1353 \lvert \langle \beta | \alpha \rangle \rvert ^2=\mathrm{e}^{-\lvert 1-\mathrm{i}\rvert ^2}=\mathrm{e}^{-2}=0.1353 ∣⟨ β ∣ α ⟩ ∣ 2 = e − ∣ 1 − i ∣ 2 = e − 2 = 0.1353
(2) ⟨ α ∣ n ^ ∣ α ⟩ = ⟨ α ∣ a ^ † a ^ ∣ α ⟩ = ∣ α ∣ 2 = 9 \langle \alpha | \hat n | \alpha \rangle =\langle \alpha | \hat a^\dagger\hat a | \alpha \rangle =\lvert \alpha\rvert ^2=9 ⟨ α ∣ n ^ ∣ α ⟩ = ⟨ α ∣ a ^ † a ^ ∣ α ⟩ = ∣ α ∣ 2 = 9 n ^ 2 = a ^ † a ^ a ^ † a ^ = ( a ^ † ) 2 a ^ 2 + a ^ † a ^ \hat n^2=\hat a^\dagger\hat a\hat a^\dagger\hat a=(\hat a^\dagger)^2\hat a^2+\hat a^\dagger\hat a n ^ 2 = a ^ † a ^ a ^ † a ^ = ( a ^ † ) 2 a ^ 2 + a ^ † a ^ ⟨ n ^ 2 ⟩ = ∣ α ∣ 4 + ∣ α ∣ 2 \langle \hat n^2 \rangle =\lvert \alpha\rvert ^4+\lvert \alpha\rvert ^2 ⟨ n ^ 2 ⟩ = ∣ α ∣ 4 + ∣ α ∣ 2 ∣ α ∣ 2 = 9 \lvert \alpha\rvert ^2=9 ∣ α ∣ 2 = 9 P ( 9 ) = e − 9 9 9 / 9 ! = 0.1318 P(9)=\mathrm{e}^{-9}9^9/9!=0.1318 P ( 9 ) = e − 9 9 9 /9 ! = 0.1318
(3) a ^ † a ^ \hat a^\dagger\hat a a ^ † a ^ ∣ α ∣ 2 \lvert \alpha\rvert ^2 ∣ α ∣ 2 a ^ a ^ † = a ^ † a ^ + 1 \hat a\hat a^\dagger=\hat a^\dagger\hat a+1 a ^ a ^ † = a ^ † a ^ + 1 ∣ α ∣ 2 + 1 \lvert \alpha\rvert ^2+1 ∣ α ∣ 2 + 1 1 1 1 [ a ^ , a ^ † ] = 1 \left[\hat a,\,\hat a^\dagger\right]=1 [ a ^ , a ^ † ] = 1 α ∗ \alpha^* α ∗ α \alpha α 1 1 1
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
