量子力学の様々な構成方法 第6部 第6章 §6.6.6 ★★★ 時間分割したコヒーレント状態の積分は正規順序のハミルトニアンの時間発展と厳密に結びつき、逆に短い時間の核の再生の性質から Bargmann 表示の Schrödinger 方程式が出る
両向きの証明
同値性の地図の橋「第二量子化 ↔ 経路積分」を、モードが有限個の場合に両向きに示す。状態 ∣ ψ ⟩ | \psi \rangle ∣ ψ ⟩ ψ ( z ˉ ) ≔ e ∣ z ∣ 2 / 2 ⟨ z ∣ ψ ⟩ = ∑ n ⟨ n ∣ ψ ⟩ z ˉ n / n ! \psi(\bar z)\coloneqq\mathrm{e}^{\lvert z\rvert ^2/2}\langle z | \psi \rangle =\sum_n\langle n | \psi \rangle \,\bar z^n/\sqrt{n!} ψ ( z ˉ ) : = e ∣ z ∣ 2 /2 ⟨ z ∣ ψ ⟩ = ∑ n ⟨ n ∣ ψ ⟩ z ˉ n / n ! a ^ † \hat a^\dagger a ^ † z ˉ \bar z z ˉ a ^ \hat a a ^ ∂ z ˉ \partial_{\bar z} ∂ z ˉ z z z
命題 6.6.2（コヒーレント状態の経路積分と第二量子化の同値 ★★★）
モードが有限個で、H ^ = H ( a ^ † , a ^ ) \hat H=H(\hat a^\dagger,\hat a) H ^ = H ( a ^ † , a ^ ) N ^ \hat N N ^
(i) （第二量子化 → 経路積分）T ^ ϵ ≔ 1 − i ϵ H ^ / ℏ \hat T_\epsilon\coloneqq1-\mathrm{i}\epsilon\hat H/\hbar T ^ ϵ : = 1 − i ϵ H ^ /ℏ
K N ( α f ∗ , α i ) = ∫ ∏ k = 1 N − 1 d 2 α k π ∏ k = 0 N − 1 ⟨ α k + 1 ∣ α k ⟩ [ 1 − i ϵ ℏ H ( α k + 1 ∗ , α k ) ] K_N(\alpha_f^*,\alpha_i)=\int\prod_{k=1}^{N-1}\frac{\mathrm{d}^2\alpha_k}\pi\prod_{k=0}^{N-1}\langle \alpha_{k+1} | \alpha_k \rangle \Bigl[1-\frac{\mathrm{i}\epsilon}\hbar H(\alpha_{k+1}^*,\alpha_k)\Bigr] K N ( α f ∗ , α i ) = ∫ k = 1 ∏ N − 1 π d 2 α k k = 0 ∏ N − 1 ⟨ α k + 1 ∣ α k ⟩ [ 1 − ℏ i ϵ H ( α k + 1 ∗ , α k ) ]
は ⟨ α f ∣ T ^ ϵ N ∣ α i ⟩ \langle \alpha_f | \hat T_\epsilon^N | \alpha_i \rangle ⟨ α f ∣ T ^ ϵ N ∣ α i ⟩ N → ∞ N\to\infty N → ∞ ⟨ α f ∣ e − i H ^ t / ℏ ∣ α i ⟩ \langle \alpha_f | \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar} | \alpha_i \rangle ⟨ α f ∣ e − i H ^ t /ℏ ∣ α i ⟩ α f ∗ \alpha_f^* α f ∗ α i \alpha_i α i (ii) （経路積分 → 第二量子化）1つの刻みの核を Bargmann 関数に当てた
ψ k + 1 ( w ˉ ) = ∫ d 2 z π e − ∣ z ∣ 2 e w ˉ z [ 1 − i ϵ ℏ H ( w ˉ , z ) ] ψ k ( z ˉ ) \psi_{k+1}(\bar w)=\int\frac{\mathrm{d}^2z}{\pi}\,\mathrm{e}^{-\lvert z\rvert ^2}\,\mathrm{e}^{\bar wz}\Bigl[1-\frac{\mathrm{i}\epsilon}\hbar H(\bar w,z)\Bigr]\psi_k(\bar z) ψ k + 1 ( w ˉ ) = ∫ π d 2 z e − ∣ z ∣ 2 e w ˉ z [ 1 − ℏ i ϵ H ( w ˉ , z ) ] ψ k ( z ˉ )
は ψ k + 1 = ψ k − i ϵ ℏ H ( w ˉ , ∂ w ˉ ) ψ k \psi_{k+1}=\psi_k-\frac{\mathrm{i}\epsilon}\hbar H(\bar w,\partial_{\bar w})\psi_k ψ k + 1 = ψ k − ℏ i ϵ H ( w ˉ , ∂ w ˉ ) ψ k w ˉ \bar w w ˉ ∂ w ˉ \partial_{\bar w} ∂ w ˉ ϵ → 0 \epsilon\to0 ϵ → 0 i ℏ ∂ t ψ = H ( w ˉ , ∂ w ˉ ) ψ \mathrm{i}\hbar\partial_t\psi=H(\bar w,\partial_{\bar w})\psi i ℏ ∂ t ψ = H ( w ˉ , ∂ w ˉ ) ψ
証明 (i) 正規順序の置き換え (6.6.5) により ⟨ α k + 1 ∣ α k ⟩ [ 1 − i ϵ ℏ H ( α k + 1 ∗ , α k ) ] = ⟨ α k + 1 ∣ T ^ ϵ ∣ α k ⟩ \langle \alpha_{k+1} | \alpha_k \rangle [1-\frac{\mathrm{i}\epsilon}\hbar H(\alpha_{k+1}^*,\alpha_k)]=\langle \alpha_{k+1} | \hat T_\epsilon | \alpha_k \rangle ⟨ α k + 1 ∣ α k ⟩ [ 1 − ℏ i ϵ H ( α k + 1 ∗ , α k )] = ⟨ α k + 1 ∣ T ^ ϵ ∣ α k ⟩ ∫ d 2 α k π ∣ α k ⟩ ⟨ α k ∣ \int\frac{\mathrm{d}^2\alpha_k}\pi| \alpha_k \rangle \langle \alpha_k | ∫ π d 2 α k ∣ α k ⟩ ⟨ α k ∣ 6.6.1 ）なので、積分は ⟨ α f ∣ T ^ ϵ N ∣ α i ⟩ \langle \alpha_f | \hat T_\epsilon^N | \alpha_i \rangle ⟨ α f ∣ T ^ ϵ N ∣ α i ⟩ H ^ \hat H H ^ N ^ \hat N N ^ T ^ ϵ \hat T_\epsilon T ^ ϵ n n n T ^ ϵ N = ( 1 − i t H ^ / ( ℏ N ) ) N → e − i H ^ t / ℏ \hat T_\epsilon^N=(1-\mathrm{i} t\hat H/(\hbar N))^N\to\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar} T ^ ϵ N = ( 1 − i t H ^ / ( ℏ N ) ) N → e − i H ^ t /ℏ ⟨ α f ∣ ⋅ ∣ α i ⟩ e ( ∣ α f ∣ 2 + ∣ α i ∣ 2 ) / 2 \langle \alpha_f | \cdot | \alpha_i \rangle \mathrm{e}^{(\lvert \alpha_f\rvert ^2+\lvert \alpha_i\rvert ^2)/2} ⟨ α f ∣ ⋅ ∣ α i ⟩ e (∣ α f ∣ 2 + ∣ α i ∣ 2 ) /2 α f ∗ \alpha_f^* α f ∗ α i \alpha_i α i m ! n ! \sqrt{m!\,n!} m ! n !
(ii) z ˉ \bar z z ˉ g g g ∫ d 2 z π e − ∣ z ∣ 2 e w ˉ z g ( z ˉ ) = g ( w ˉ ) \int\frac{\mathrm{d}^2z}\pi\mathrm{e}^{-\lvert z\rvert ^2}\mathrm{e}^{\bar wz}g(\bar z)=g(\bar w) ∫ π d 2 z e − ∣ z ∣ 2 e w ˉ z g ( z ˉ ) = g ( w ˉ ) g = z ˉ m g=\bar z^m g = z ˉ m e w ˉ z \mathrm{e}^{\bar wz} e w ˉ z 6.6.1 の証明と同じ極座標の積分で m m m H ( w ˉ , z ) H(\bar w,z) H ( w ˉ , z ) z l z^l z l z l e w ˉ z = ∂ w ˉ l e w ˉ z z^l\mathrm{e}^{\bar wz}=\partial_{\bar w}^l\mathrm{e}^{\bar wz} z l e w ˉ z = ∂ w ˉ l e w ˉ z ∂ w ˉ l \partial_{\bar w}^l ∂ w ˉ l w ˉ k \bar w^k w ˉ k ψ k + 1 ( w ˉ ) = [ 1 − i ϵ ℏ H ( w ˉ , ∂ w ˉ ) ] ψ k ( w ˉ ) \psi_{k+1}(\bar w)=[1-\frac{\mathrm{i}\epsilon}\hbar H(\bar w,\partial_{\bar w})]\psi_k(\bar w) ψ k + 1 ( w ˉ ) = [ 1 − ℏ i ϵ H ( w ˉ , ∂ w ˉ )] ψ k ( w ˉ ) w ˉ \bar w w ˉ ∂ w ˉ \partial_{\bar w} ∂ w ˉ ( a ^ † ) k a ^ l (\hat a^\dagger)^k\hat a^l ( a ^ † ) k a ^ l N N N
(i) で被積分関数の 1 − i ϵ H / ℏ 1-\mathrm{i}\epsilon H/\hbar 1 − i ϵH /ℏ e − i ϵ H / ℏ \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon H/\hbar} e − i ϵH /ℏ (6.6.7) は、刻みあたり O ( ϵ 2 ) \mathcal{O}(\epsilon^2) O ( ϵ 2 ) H H H 6.6.2 で確かめた）。(ii) は第3部第5章（第3部第5章 ）の「短い時間の核から Schrödinger 方程式を出す」をコヒーレント状態で行ったもので、位置の経路積分では Gauss 型の核の2次のモーメントを計算する必要があったのが、ここでは再生の性質1つで済む。第10部第4章が正則偏極の再生核 e w ˉ z \mathrm{e}^{\bar wz} e w ˉ z
例題 6.6.7 1つの刻みと1階の作用 ★★
オリジナル
(1) H ^ = ℏ ω a ^ † a ^ \hat H=\hbar\omega\hat a^\dagger\hat a H ^ = ℏ ω a ^ † a ^ ψ k ( z ˉ ) = z ˉ n \psi_k(\bar z)=\bar z^n ψ k ( z ˉ ) = z ˉ n 6.6.2 (ii) の1つの刻みを当て、ψ k + 1 = ( 1 − i ϵ ω n ) z ˉ n \psi_{k+1}=(1-\mathrm{i}\epsilon\omega n)\bar z^n ψ k + 1 = ( 1 − i ϵ ω n ) z ˉ n (2) α = ( x / ℓ + i ℓ p / ℏ ) / 2 \alpha=(x/\ell+\mathrm{i}\ell p/\hbar)/\sqrt2 α = ( x / ℓ + i ℓ p /ℏ ) / 2 i ℏ α ∗ α ˙ = 1 2 ( p x ˙ − x p ˙ ) + i ℏ 2 d d t ∣ α ∣ 2 \mathrm{i}\hbar\alpha^*\dot\alpha=\frac12(p\dot x-x\dot p)+\frac{\mathrm{i}\hbar}2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\lvert \alpha\rvert ^2 i ℏ α ∗ α ˙ = 2 1 ( p x ˙ − x p ˙ ) + 2 i ℏ d t d ∣ α ∣ 2 ∫ ( i ℏ α ∗ α ˙ − H ) d t \int(\mathrm{i}\hbar\alpha^*\dot\alpha-H)\mathrm{d} t ∫ ( i ℏ α ∗ α ˙ − H ) d t ∫ ( p x ˙ − H ) d t \int(p\dot x-H)\mathrm{d} t ∫ ( p x ˙ − H ) d t
解答 (1) H ( w ˉ , ∂ w ˉ ) = ℏ ω w ˉ ∂ w ˉ H(\bar w,\partial_{\bar w})=\hbar\omega\bar w\partial_{\bar w} H ( w ˉ , ∂ w ˉ ) = ℏ ω w ˉ ∂ w ˉ ψ k + 1 = w ˉ n − i ϵ ω w ˉ ⋅ n w ˉ n − 1 = ( 1 − i ϵ ω n ) w ˉ n \psi_{k+1}=\bar w^n-\mathrm{i}\epsilon\omega\bar w\cdot n\bar w^{n-1}=(1-\mathrm{i}\epsilon\omega n)\bar w^n ψ k + 1 = w ˉ n − i ϵ ω w ˉ ⋅ n w ˉ n − 1 = ( 1 − i ϵ ω n ) w ˉ n z ˉ n \bar z^n z ˉ n n ! ∣ n ⟩ \sqrt{n!}| n \rangle n ! ∣ n ⟩ ℏ ω n \hbar\omega n ℏ ω n e − i ϵ ω n \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon\omega n} e − i ϵ ω n
(2) α ∗ α ˙ = 1 2 ( x / ℓ − i ℓ p / ℏ ) ( x ˙ / ℓ + i ℓ p ˙ / ℏ ) = 1 2 [ x x ˙ / ℓ 2 + ℓ 2 p p ˙ / ℏ 2 + i ( x p ˙ − p x ˙ ) / ℏ ] \alpha^*\dot\alpha=\frac12(x/\ell-\mathrm{i}\ell p/\hbar)(\dot x/\ell+\mathrm{i}\ell\dot p/\hbar)=\frac12[x\dot x/\ell^2+\ell^2p\dot p/\hbar^2+\mathrm{i}(x\dot p-p\dot x)/\hbar] α ∗ α ˙ = 2 1 ( x / ℓ − i ℓ p /ℏ ) ( x ˙ / ℓ + i ℓ p ˙ /ℏ ) = 2 1 [ x x ˙ / ℓ 2 + ℓ 2 p p ˙ / ℏ 2 + i ( x p ˙ − p x ˙ ) /ℏ ] i ℏ \mathrm{i}\hbar i ℏ 1 2 ( p x ˙ − x p ˙ ) \frac12(p\dot x-x\dot p) 2 1 ( p x ˙ − x p ˙ ) i ℏ 2 ( x x ˙ / ℓ 2 + ℓ 2 p p ˙ / ℏ 2 ) = i ℏ 2 d d t ∣ α ∣ 2 \frac{\mathrm{i}\hbar}2(x\dot x/\ell^2+\ell^2p\dot p/\hbar^2)=\frac{\mathrm{i}\hbar}2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\lvert \alpha\rvert ^2 2 i ℏ ( x x ˙ / ℓ 2 + ℓ 2 p p ˙ / ℏ 2 ) = 2 i ℏ d t d ∣ α ∣ 2 1 2 ( p x ˙ − x p ˙ ) = p x ˙ − 1 2 d d t ( x p ) \frac12(p\dot x-x\dot p)=p\dot x-\frac12\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(xp) 2 1 ( p x ˙ − x p ˙ ) = p x ˙ − 2 1 d t d ( x p ) − 1 2 d d t ( x p ) + i ℏ 2 d d t ∣ α ∣ 2 -\frac12\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(xp)+\frac{\mathrm{i}\hbar}2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\lvert \alpha\rvert ^2 − 2 1 d t d ( x p ) + 2 i ℏ d t d ∣ α ∣ 2 x x x α ( 0 ) \alpha(0) α ( 0 ) α ˉ ( t ) \bar\alpha(t) α ˉ ( t )
各部の書き方と並べる
コヒーレント状態の経路積分を、位置の経路積分（第3部）と第二量子化（この部）の書き方と並べると表 6.6.1 になる。
表 6.6.1 第二量子化・コヒーレント状態の経路積分・位置の経路積分の対応 第二量子化（Fock 空間） コヒーレント状態の経路積分 位置の経路積分（第3部） 挿む完全系 数の基底 ∣ { n j } ⟩ | \{n_j\} \rangle ∣ { n j }⟩ ∫ d 2 α π ∣ α ⟩ ⟨ α ∣ \int\frac{\mathrm{d}^2\alpha}\pi| \alpha \rangle \langle \alpha | ∫ π d 2 α ∣ α ⟩ ⟨ α ∣ ∫ d x ∣ x ⟩ ⟨ x ∣ \int\mathrm{d} x| x \rangle \langle x | ∫ d x ∣ x ⟩ ⟨ x ∣ 積分の変数 — 複素数 α \alpha α α ˉ \bar\alpha α ˉ η \eta η η ˉ \bar\eta η ˉ 実数 x x x 作用の運動の項 — i ℏ α ˉ α ˙ \mathrm{i}\hbar\bar\alpha\dot\alpha i ℏ α ˉ α ˙ m 2 x ˙ 2 \frac m2\dot x^2 2 m x ˙ 2 p p p ハミルトニアン 正規順序の H ( a ^ † , a ^ ) H(\hat a^\dagger,\hat a) H ( a ^ † , a ^ ) H ( α ˉ , α ) H(\bar\alpha,\alpha) H ( α ˉ , α ) H ( p , x ) H(p,x) H ( p , x ) 順序の曖昧さ 交換関係で決まる 時間の並び α ˉ k + 1 α k \bar\alpha_{k+1}\alpha_k α ˉ k + 1 α k 評価点（左端・中点） 境界の条件 — α ( 0 ) \alpha(0) α ( 0 ) α ˉ ( t ) \bar\alpha(t) α ˉ ( t ) x ( 0 ) x(0) x ( 0 ) x ( t ) x(t) x ( t ) 虚時間のトレース Tr e − β ( H ^ − μ N ^ ) \operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\beta(\hat H-\mu\hat N)} Tr e − β ( H ^ − μ N ^ ) 周期（ボース）／反周期（フェルミ） 周期 x ( β ℏ ) = x ( 0 ) x(\beta\hbar)=x(0) x ( β ℏ ) = x ( 0 ) 統計 交換子／反交換子 1 / det M 1/\det M 1/ det M det M \det M det M 経路の入れ替えの符号 粒子数 決まる・重ねる両方 重ねた状態が自然 粒子数ごとに別の積分
最後の行が、場の理論と多体系でコヒーレント状態の経路積分が使われる理由である。位置の経路積分で N N N 解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第5部第1章 ）を N N N 6.6.3 に、この章が架けた橋を同値性の地図の中に描く。
図 6.6.3 この章が架けた橋。実線の両矢印は両向きに証明した同値、点線は1つのモードで作用が境界の項だけ違うという対応を表す。
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
