時間分割：Fock 空間の振幅を複素数の経路の和へ

量子力学の様々な構成方法　第6部 第6章 §6.6.2　★★★ 刻みの間にコヒーレント状態の単位の分解を挿むと、伝播関数は1階の作用 $\int[\mathrm{i}\hbar\bar\alpha\dot\alpha-H]\mathrm{d} t$ の位相の和になり、停留点の方程式は古典の場の Hamilton 方程式になる

完全系を挿む

ハミルトニアン $\hat H=H(\hat a^\dagger,\hat a)$ を正規順序の多項式とし、コヒーレント状態の間の伝播関数 $\langle \alpha_f | \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar} | \alpha_i \rangle$ を求める。時間を $N$ 等分して $\epsilon=t/N$ とし、$\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}=(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon\hat H/\hbar})^N$ の因子の間に単位の分解 (6.6.4) を $N-1$ 個挿む。番号を $\alpha_0=\alpha_i$、$\alpha_N=\alpha_f$ とし、1つの刻みの行列要素を (6.6.5) で

$$\langle \alpha_{k+1} | \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon\hat H/\hbar} | \alpha_k \rangle =\langle \alpha_{k+1} | \alpha_k \rangle \Bigl[1-\frac{\mathrm{i}\epsilon}\hbar H(\alpha_{k+1}^*,\alpha_k)+\mathcal{O}(\epsilon^2)\Bigr]$$

と書く。$\langle \alpha_{k+1} | \alpha_k \rangle$ に (6.6.3) を入れ、$1-\mathrm{i}\epsilon H/\hbar$ を $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon H/\hbar}$ に置き換えると、伝播関数は

$$\langle \alpha_f | \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar} | \alpha_i \rangle =\lim_{N\to\infty}\int\prod_{k=1}^{N-1}\frac{\mathrm{d}^2\alpha_k}{\pi}\; \exp\sum_{k=0}^{N-1}\Bigl[-\frac{\lvert \alpha_{k+1}\rvert ^2}2-\frac{\lvert \alpha_k\rvert ^2}2+\alpha_{k+1}^*\alpha_k-\frac{\mathrm{i}\epsilon}\hbar H(\alpha_{k+1}^*,\alpha_k)\Bigr]\tag{6.6.7}$$

となる。これがコヒーレント状態の経路積分の定義である。

指数の最初の3項は、恒等的に

$$-\frac{\lvert \alpha_{k+1}\rvert ^2}2-\frac{\lvert \alpha_k\rvert ^2}2+\alpha_{k+1}^*\alpha_k=-\frac12\alpha_{k+1}^*(\alpha_{k+1}-\alpha_k)+\frac12(\alpha_{k+1}^*-\alpha_k^*)\alpha_k$$

と書き直せる。経路が滑らかだとして $\alpha_{k+1}-\alpha_k\approx\epsilon\dot\alpha$ と置き、和を積分にすると

$$\langle \alpha_f | \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar} | \alpha_i \rangle =\int\mathcal D\bar\alpha\,\mathcal D\alpha\;\mathrm{e}^{\mathrm{i} S[\bar\alpha,\alpha]/\hbar},\qquad S[\bar\alpha,\alpha]=\int_0^t\Bigl[\frac{\mathrm{i}\hbar}2\bigl(\bar\alpha\dot\alpha-\dot{\bar\alpha}\alpha\bigr)-H(\bar\alpha,\alpha)\Bigr]\mathrm{d} s\tag{6.6.8}$$

を得る。$\frac{\mathrm{i}\hbar}2(\bar\alpha\dot\alpha-\dot{\bar\alpha}\alpha)$ は $\mathrm{i}\hbar\bar\alpha\dot\alpha$ と時間の全微分 $\frac{\mathrm{i}\hbar}2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s}(\bar\alpha\alpha)$ だけ違うので、境界の項を別に扱えば作用を $\int(\mathrm{i}\hbar\bar\alpha\dot\alpha-H)\mathrm{d} s$ と書いてもよい。

この作用は時間の1階微分しか含まない。第3部第2章の位置の経路積分では、運動量の積分を先に済ませて $\frac m2\dot x^2$ の2階の形にしたが、コヒーレント状態では $\alpha$ が位置と運動量の両方を含む複素数なので、もとから相空間の経路積分になっている。実際、$\alpha=(x/\ell+\mathrm{i}\ell p/\hbar)/\sqrt2$（$\ell=\sqrt{\hbar/(m\omega)}$）を入れると $\mathrm{i}\hbar\alpha^*\dot\alpha=\frac12(p\dot x-x\dot p)+\frac{\mathrm{i}\hbar}2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s}\lvert \alpha\rvert ^2$ で、実部は相空間の作用の $p\dot x$ と全微分だけ違う（6.6.6節の例題）。解析力学の巻の1階の Lagrangian（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第11章）と同じ形である。

境界の条件と停留点

(6.6.7) の指数に、両端の変数がどう入っているかを見る。$\alpha_0=\alpha_i$ は $\alpha_1^*\alpha_0$ を通して $\alpha_0$ の形でだけ入り（$\lvert \alpha_0\rvert ^2$ は定数）、$\alpha_N=\alpha_f$ は $\alpha_N^*\alpha_{N-1}$ を通して $\alpha_N^*$ の形でだけ入る。したがって境界で固定されるのは $\alpha(0)=\alpha_i$ と $\bar\alpha(t)=\alpha_f^*$ の2つだけで、$\bar\alpha(0)$ と $\alpha(t)$ は決まっていない。1階の方程式に4つの条件を課すと解けなくなるが、2つなら解がある。

積分の変数 $\alpha_k$ と $\alpha_k^*$ を独立に動かして指数を停留させると、$\alpha_k^*$（$1\le k\le N-1$）について$-\alpha_k+\alpha_{k-1}-\frac{\mathrm{i}\epsilon}\hbar\partial H/\partial\bar\alpha=0$、$\alpha_k$ について $\alpha_{k+1}^*-\alpha_k^*-\frac{\mathrm{i}\epsilon}\hbar\partial H/\partial\alpha=0$ を得る。$\epsilon\to0$ で

$$\mathrm{i}\hbar\,\dot\alpha=\frac{\partial H}{\partial \bar\alpha},\qquad-\mathrm{i}\hbar\,\dot{\bar\alpha}=\frac{\partial H}{\partial \alpha}\tag{6.6.9}$$

となる。これは第6部第1章の古典の複素振幅の Poisson 括弧 $\{\alpha,\alpha^*\}=-\mathrm{i}/\hbar$ による Hamilton 方程式である。ただし境界の条件が $\alpha(0)$ と $\bar\alpha(t)$ に分かれているので、停留点の解では $\bar\alpha(s)$ が $\alpha(s)$ の複素共役になるとは限らない。経路積分の変数 $\alpha$ と $\bar\alpha$ を独立に書くのはこのためである。積分の路を複素平面の中で動かして停留点を通すと、停留点は実の積分路の外にあってよい（停留位相の一般の形。第3部第4章 第3部第4章）。

ハミルトニアンが $\hat a^\dagger$ と $\hat a$ の2次以下なら、指数は積分の変数の2次式で、Gauss 積分は停留点の値で厳密に決まる。次の例題で調和振動子について確かめる。